3.1 变化率与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平均变化率的定义中，自变量在处的增量应满足
A． B．
C． D．
【答案】D
2．某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列理解正确的是
A．称为函数值增量 B．称为函数值增量
C．称为函数值增量 D．称为函数值增量
【答案】C
【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确．故选C．
3．如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则
A． B．1
C．2 D．0
【答案】C
【解析】易知．由导数的几何意义知．故．故选C．
4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
则，故选B．
5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
【答案】B
6．已知，则
A．1 B．2
C．3 D．6
【答案】D
【解析】原式=，
解得．故选D．
7．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时，点的坐标为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，则
，即，则，此时，故点的坐标为．故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．已知函数，则在区间上的平均变化率为______________．
【答案】2
【解析】由平均变化率的定义得．
9．设函数满足，则______________．
【答案】1
【解析】由题意可得．
10．已知曲线在点M处的瞬时变化率为，则点M的坐标为______________．
【答案】
11．曲线在点处的切线方程为______________．
【答案】
【解析】点在曲线上．
因为，
所以切线方程为，即．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知，其中g＝10m/s2．
（1）求t从秒到秒的平均速度；
（2）求t从秒到秒的平均速度；
（3）求t＝秒时的瞬时速度．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1），，
则．
（2），，
则．
（3）由瞬时速度的定义，可知，
，则．
13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为，其中（单位：°C）为蜥蜴的体温，t（单位：min）为太阳落山后的时间．
（1）从到，蜥蜴的体温下降了多少?
（2）从到，蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?
（3）求，并解释它的实际意义．
【答案】（1）°C；（2）°C，它表示从到这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降°C；（3），它表示时，蜥蜴体温下降的速度为°C/min．
（3），
当趋近于0时，趋近于，即，
它表示时，蜥蜴体温下降的速度为°C/min．
14．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求函数在处的导数；
（2）求函数的解析式；
（3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
（2）由曲线在点处的切线方程为，得，
又由（1）可知，于是，解得或．
因为a，b∈Z，所以．
（3）在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令得，则切线与直线的交点为．
令得，则切线与直线的交点为．
又直线与直线的交点为，
从而所围三角形的面积为．
所以，所围成的三角形的面积为定值2．
3.2 导数的计算
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以A项应为；由知B项正确；由可知C项错误；D项中，，所以D项是错误的，综上所述，正确选项为B．
2．已知函数在点P处的导数值为3，则P点的坐标为
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
3．已知函数的导函数为，且满足，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵函数的导函数为，且满足，
∴，把代入可得，解得．故选B．
4．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以切线的斜率为，切线方程为，令得；令得，故围成的三角形的面积为，故选A．
5．已知函数，则
A． B．
C． D．
【答案】C
6．已知，则等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，，因此，
则根据求导公式有，所以．故选C．
7．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数
A． B．
C． D．
【答案】B
8．若，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则，∵，∴，若，则，即，解得或（舍去），故不等式的解集为，故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．函数的导函数为______________．
【答案】
【解析】，则．
10．设函数，若，则______________．
【答案】
【解析】由题意得，又，解得．
11．已知函数的导函数为，且满足，则______________．
【答案】
【解析】∵，∴，
令，则，∴；令，则，
∴，∴．
12．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为______________．
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
．
【解析】（1）因为，所以．
（2）．
（3）
．
（4）因为，所以．
14．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，该定值为6．
（2）设为曲线上任一点，
由，知曲线在点处的切线方程为，
即．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令得，从而得切线与直线的交点坐标为，
所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为．
故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，
此定值为6．
3.3.1函数的单调性与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数在内是
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
【答案】A
【解析】因为恒成立，所以函数在内是增函数，故选A．
2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【答案】B
3．定义域为的可导函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，在上单调递减，又等价于，从而．故选C．
4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，所以，而在区间上单调递减，所以，故实数的取值范围是．故选D．
5．已知函数在上不单调，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
6．设，则
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】因为，所以是奇函数．
又，所以单调递增，故既是奇函数又是增函数．故选B．
7．已知函数为定义在实数集上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是奇函数，则，则不等式为，即．设，则是偶函数，又，所以是上的减函数，是上的增函数，，，又，所以，即．故选A．
8．（2016新课标全国I文）若函数在单调递增，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．函数，的单调递减区间为______________．
【答案】（也可写为）
【解析】由题意得，令且，则．
10．已知定义在上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】令，则，故函数在上单调递减，又由题设知，则，故，即．故实数的取值范围是．
11．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是______________．
【答案】1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知，证明：．
【答案】证明见解析．
【解析】令，则．
∵，∴，
∴在上单调递增，
∴．
从而，命题得证．
13．已知函数，试讨论的单调性．
【答案】见解析．
【解析】，．
当时，易知在上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．
14．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上是减函数，求实数a的最小值．
【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．
（2）因为在上为减函数，且，
所以在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．
15．（2016新课标全国I文）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
（i）设，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
（ii）设，由得或．
①若，则，所以在上单调递增．
②若，则，故当时，；
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．
③若，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）（i）设，则由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．
又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点．
（ii）设a=0，则，所以只有一个零点．
（iii）设a<0，若，则由（1）知，在上单调递增．
又当时，，故不存在两个零点；
若，则由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．
又当时，故不存在两个零点．
综上，a的取值范围为．
【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解．
3.3.2 函数的极值与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2016四川文）已知a为函数的极小值点，则
A．–4 B．–2
C．4 D．2
【答案】D
2．设函数，则
A．x＝1为的极大值点 B．x＝1为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【答案】D
【解析】本题考查函数的极值点．由题意得，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点．故选D．
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，，，并且当时，；当时，，则函数有极大值．又当时，；当时，，则函数有极小值．故选D．
4．函数在内有极小值，则
A． B．
C． D．
【答案】C
5．设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，由题意可知，即，．①若，由，得，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以是的极大值点．②若，则由，得或．是函数的极大值点，，解得．综合①②可得，实数的取值范围是．故选B．
6．已知，若在区间上只有一个极值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题易得，设，则，
当时，在上恒成立，即函数在区间上为增函数，而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上，故为函数在上唯一的极小值点；
当时，在区间上恒成立，则函数在上为增函数，又此时，所以在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值；
当时，，因为，所以总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以函数在区间上无极值．
综上，，故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是______________．
【答案】
8．已知函数，，则函数的极小值为______________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，令，得，所以的单调递增区间是；令，得，所以的单调递减区间是，故函数在处取得极小值，所以．
9．已知函数，其中，是的导函数，则函数的极大值为______________．
【答案】
【解析】由题可得，则，易得函数在上单调递增；在上单调递减，所以函数的极大值为．
10．若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是______________．
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】函数的定义域为，．
（1）当时，，，
则，，
故在点处的切线方程为，即．
（2）由可知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值;
②当时，由，解得．
当时，；当时，．
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值．
12．已知函数（为实数），．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）极大值为，无极小值．
（2）函数的定义域为，，
由可得；由，可得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，为，无极小值．
13．（2016山东文）设．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由可得，
则，
当时，时，，函数单调递增；
当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）知，．
①当时，单调递增．
所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
所以在x=1处取得极小值，不合题意．
②当时， ，由(1)知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意．
③当时，，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意．
④当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，合题意．
综上可知，实数的取值范围为．
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
【答案】D
【解析】由极值与最值的概念可知应选D．
2．函数在上的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】A
3．若函数在上的最大值为，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，时，，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D．
4．已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
5．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于函数在开区间上有最小值，则函数的极小值点在内，且在上的单调性是先减再增．，当时，，当，，所以函数的极小值为．又函数在区间上有最小值，所以，由，解得，故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
6．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________．
【答案】
【解析】，则由，得或；由，得，所以是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以，即，解得．
7．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为______________．
【答案】
8．抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为______________．
【答案】
【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为，
则抛物线与轴所围成的封闭图形的内接矩形的面积，
所以，令，可得．
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，且．
9．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________．
【答案】
【解析】对任意的恒成立等价于对任意的恒成立．令，，则，（8分）
由（1）可知，当时，恒成立，令，得；令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为，所以，所以，故实数的取值范围为．
10．已知函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______________．
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．已知函数，求函数在上的最大值和最小值．
【答案】最大值为，最小值为．
【解析】．
当变化时，，的变化情况如下表：
1
+
0
–
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，
又，所以函数在上的最大值为，最小值为．
12．已知函数在处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若有极大值28，求在上的最小值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
由于在点处取得极值，故有，
即，化简得，解得．
（2）由（1）知，．令，得．
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数．
由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．
由题设条件知，得，
此时，
因此在上的最小值为．
13．（2015新课标全国II文）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
（2）由（1）知，当时，在上无最大值；
当时，在处取得最大值，最大值为．
因此， ．
令，则在上是增函数，，
于是，当时，；当时，，因此实数a的取值范围是．
14．已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在正数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
要使在区间上单调递增，只需，
即在上恒成立即可，
易知在上单调递增，所以只需即可，
易知当时，取最小值，，所以，
故实数的取值范围是．
（2）不等式即，即，
令，由题意可得，
易得，
令，则在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故实数的取值范围为．
3.4 生活中的优化问题举例
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为零的时刻是
A．0秒 B．1秒末
C．2秒末 D．1秒末和2秒末
【答案】D
2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为
A．cm B．100cm
C．20cm D．cm
【答案】A
【解析】设高为xcm，则底面半径为cm，
所以圆锥形漏斗的体积，，
令，得或（舍去），则当cm时，体积最大．故选A．
3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
【答案】D
【解析】设箱底一边的长度为m，箱子的总造价为元，
根据题意，得，．
令，解得或(舍去)．当时，；当时，；
故当时，取得最小值，为816．
因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
4．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．
【答案】和
5．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件．
【答案】9
【解析】由，得，由，得（舍去），．
当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数，
所以当时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】（1），；（2）隔热层5cm厚时，总费用最小为70万元．
（2），令，解得或（舍去）．
当时，；当时，，
故是的最小值点，对应的最小值是．
故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．
7．请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【答案】（1）；（2）当时取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为．
（2），
由，得(舍去)或．
当时，；当时，．
所以当时，取得极大值，也是最大值．
此时，即包装盒的高与底面边长的比值为．
8．如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．则当的长为多少时，三棱锥的体积最大？
图1 图2
【答案】当时，三棱锥的体积最大．
【解析】在如题图1所示的中，设，则．
由， 知，为等腰直角三角形，所以．
由折起前知，折起后（如题图2），，，且，
所以平面．
因为，所以．
于是．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时，三棱锥的体积最大．
9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的r．
【答案】（1）；（2）．
（2）由（1）得，
因为，所以，当时，．
令，则．所以．
①当，即时，令，解得．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以是函数的极小值点，也是最小值点．
②当，即时，当时，，函数单调递减，
所以是函数的最小值点．
综上所述，当时，该容器的建造费用最小时；
当时，该容器的建造费用最小时．
10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【答案】（1），；（2）见解析．
（2）因为V(r)＝(300r－4r3)（），所以．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝（因为r2＝不在定义域内，舍去）．
当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
