11.1 与三角形有关的线段（第1课时）
教学目标
1．理解三角形及其有关概念及三角形的分类．
2．理解“三角形两边的和大于第三边”，并运用这个性质解决问题．
3．理解三角形的高、中线、角平分线的概念．
4．了解三角形的重心的概念．
5．了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性．
教学重点与难点
理解“三角形两边的和大于第三边”
运用及理解三角形的高、中线、角平分线的概念．
教学过程
一、创设情境，引入课题
三角形是一种基本的几何图形．从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．那么，什么是三角形？它有哪些性质呢？
教师引导学生观察教材第1页章首图，让学生说一说三角形是怎样的图形．
二、探究新知，讲授新课
1．三角形的定义
教师引导学生观察下图，然后同桌讨论，教师统一学生观点并板书．
定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形．
强调三条线段以下两点：不在同一条直线上；首尾顺次相接．
2．会用符号表示三角形
提出问题：说出上图中三角形及其三角形的边、顶点与内角吗？
学生展开讨论，选代表发言．
在上图中，线段AB，BC，CA是三角形的边．点A，B，C是三角形的顶点．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．21世纪教育网版权所有
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如上图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边a，c用b表示，顶点C所对的边a，b用c表示．21cnjy.com
3．三角形的分类
我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？21·cn·jy·com
学生思考后，师生画出结构图．
练习：下列说法正确的有_______？
（1）锐角三角形是三条边都不相等的三角形；
（2）直角三角形不是等腰三角形；
（3）等腰三角形是等边三角形；
（4）等边三角形是等腰三角形．
答案:（4）
4．三角形三边的关系
提出问题：任意画一个△ABC，一只小虫从点B 出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条线路的长一样吗？你能运用所学知识解释你的结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系？www.21-cn-jy.com
学生展开讨论，选代表发言．
AB＋AC＞BC， ①
AC＋BC＞AB， ②
AB＋BC＞AC． ③
即三角形两边的和大于第三边．
对以上不等式移项后可得：三角形两边的差小于第三边．
三、典例探究
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，5； （2）5，6，11； （3）5，6，10．
解：（1）能．因为3 ＋ 4＞5，3 ＋ 5＞4，4 ＋ 5＞3，符合三角形两边的和大于第三边．
（2）不能．因为5 ＋ 6 ＝11，不符合三角形两边的和大于第三边．
（3）能．因为5 ＋ 6＞10，10 ＋ 6＞5，10 ＋ 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边．
教师总结判断方法：用较小两条线段的和与第三条线段做比较；若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和大于第三条线段．21教育网
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？2·1·c·n·j·y
学生思考后，选代表发言，师及时对照答案
（1）三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（2）不能围成腰长为4 的等腰三角形．可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
四、课堂小结
1．三角形按角怎样分类？按边呢？
2．三角形的边具有怎样的性质？是怎样得到的？
五、布置作业
习题11.1 第1、2、6、7题．
教学反思：
11.1 与三角形有关的线段（第2课时）
教学内容
三角形的高、中线与角平分线．
教学过程
一、新课导入
与三角形有关的线段，除了三条边外，还有哪些呢？
二、探究新知
1．三角形高
你还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，点D是垂足，则AD是△ABC的边BC上的高，此时
∠ADB＝∠ADC＝90°．
学生记忆定义．
2．三角形的中线
定义：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线．
如图(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．21世纪教育网版权所有
3．三角形的重心
如上图（2），三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
学生记忆定义．
4．三角形角平分线
定义：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线．
学生记忆定义．
三、课堂练习
教材第5、6页第1、2题．
学生独自完成，小组内评点．
四、课堂小结
三角形的高、中线、重心和角平分线的定义．
五、布置作业
习题11.1 第3题．
教学反思：
11.1 与三角形有关的线段（第3课时）
教学内容
三角形的稳定性．
教学过程
一、新课导入
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？
二、探究新知
1．提出问题
如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
学生独立思考后，再与同伴交流，选代表发言．
2．师生得出结论
三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状改变．就是说三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性．
3．三角形的稳定性的应用举例
（1）窗框在安装好之前斜钉一根木条，分成两个三角形，由于三角形具有稳定性，斜钉一根木条的窗框在安装好之前不会变形．21世纪教育网版权所有
（2）钢架桥的钢架做成三角形．
（3）起重机的力臂做成三角形．
（4）房顶钢架做成三角形．
4．四边形的不稳定性的应用举例
（1）活动挂架．
（2）放缩尺．
三、归纳小结
1．三角形的稳定性，四边形没有稳定性．
2．稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用．
四、布置作业
习题11.1 第5、10题．
教学反思：
11.2 与三角形有关的角（第1课时）
教学目标
1．探索并证明三角形内角和定理．
2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．
3．使学生在操作活动中，探索出三角形的外角的两条性质，并利用学过的定理论证这些性质．
4．能利用三角形的外角性质解决实际问题．
教学过程
一、创设情境，引入课题
三角形是一种基本的几何图形．从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．那么，什么是三角形？它有哪些性质呢？
教师引导学生观察教材第1页章首图，让学生说一说三角形是怎样的图形．
二、探究新知，讲授新课
1．三角形的定义
教师引导学生观察下图，然后同桌讨论，教师统一学生观点并板书．
定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形．
强调三条线段以下两点：不在同一条直线上；首尾顺次相接．
2．会用符号表示三角形
提出问题：说出上图中三角形及其三角形的边、顶点与内角吗？
学生展开讨论，选代表发言．
在上图中，线段AB，BC，CA是三角形的边．点A，B，C是三角形的顶点．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．www.21-cn-jy.com
△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如上图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边a，c用b表示，顶点C所对的边a，b用c表示．2·1·c·n·j·y
3．三角形的分类
我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？21·cn·jy·com
学生思考后，师生画出结构图．
练习：下列说法正确的有_______？
（1）锐角三角形是三条边都不相等的三角形；
（2）直角三角形不是等腰三角形；
（3）等腰三角形是等边三角形；
（4）等边三角形是等腰三角形．
答案:（4）
4．三角形三边的关系
提出问题：任意画一个△ABC，一只小虫从点B 出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条线路的长一样吗？你能运用所学知识解释你的结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系？21世纪教育网版权所有
学生展开讨论，选代表发言．
AB＋AC＞BC， ①
AC＋BC＞AB， ②
AB＋BC＞AC． ③
即三角形两边的和大于第三边．
对以上不等式移项后可得：三角形两边的差小于第三边．
三、典例探究
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，5； （2）5，6，11； （3）5，6，10．
解：（1）能．因为3 ＋ 4＞5，3 ＋ 5＞4，4 ＋ 5＞3，符合三角形两边的和大于第三边．
（2）不能．因为5 ＋ 6 ＝11，不符合三角形两边的和大于第三边．
（3）能．因为5 ＋ 6＞10，10 ＋ 6＞5，10 ＋ 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边．
教师总结判断方法：用较小两条线段的和与第三条线段做比较；若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和大于第三条线段．21教育网
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？21cnjy.com
学生思考后，选代表发言，师及时对照答案
（1）三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（2）不能围成腰长为4 的等腰三角形．可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
四、课堂小结
1．三角形按角怎样分类？按边呢？
2．三角形的边具有怎样的性质？是怎样得到的？
五、布置作业
习题11.1 第1、2、6、7题．
教学反思：
11.2 与三角形有关的角（第2课时）
教学内容
三角形的高、中线与角平分线．
教学过程
一、新课导入
与三角形有关的线段，除了三条边外，还有哪些呢？
二、探究新知
1．三角形高
你还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，点D是垂足，则AD是△ABC的边BC上的高，此时
∠ADB＝∠ADC＝90°．
学生记忆定义．
2．三角形的中线
定义：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线．
如图(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．21世纪教育网版权所有
3．三角形的重心
如上图（2），三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
学生记忆定义．
4．三角形角平分线
定义：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线．
学生记忆定义．
三、课堂练习
教材第5、6页第1、2题．
学生独自完成，小组内评点．
四、课堂小结
三角形的高、中线、重心和角平分线的定义．
五、布置作业
习题11.1 第3题．
教学反思：
11.2 与三角形有关的角（第3课时）
教学内容
三角形的稳定性．
教学过程
一、新课导入
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？
二、探究新知
1．提出问题
如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
学生独立思考后，再与同伴交流，选代表发言．
2．师生得出结论
三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状改变．就是说三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性．
3．三角形的稳定性的应用举例
（1）窗框在安装好之前斜钉一根木条，分成两个三角形，由于三角形具有稳定性，斜钉一根木条的窗框在安装好之前不会变形．21世纪教育网版权所有
（2）钢架桥的钢架做成三角形．
（3）起重机的力臂做成三角形．
（4）房顶钢架做成三角形．
4．四边形的不稳定性的应用举例
（1）活动挂架．
（2）放缩尺．
三、归纳小结
1．三角形的稳定性，四边形没有稳定性．
2．稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用．
四、布置作业
习题11.1 第5、10题．
教学反思：
11.3 多边形及其内角和（第1课时）
教学目标
1．了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值．
2．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
3．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
教学重点与难点
多边形内角和（外角和）公式的探索与证明过程．
教学过程
一、新课导入
教师引导学生观察教材图11.3-1，从中找出几个由一些线段围成的图形．
二、探究新知
1．多边形的定义
在同学讨论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
（1）它们在同一平面内．
（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？
明晰：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）21世纪教育网版权所有
2．多边形的边、顶点、内角和外角．
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
让学生画出五边形的所有对角线．
提示：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线n(n－3)/2条．21教育网
例如：十边形有________条对角线．在这里n＝10，就可套用对角线条数公式n(n－3)/2＝10(10－3)/2＝35（条）．21cnjy.com
4．凸多边形与凹多边形
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形．今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．21·cn·jy·com
5．正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
三、课堂小结
1．了解多边形中的有关概念
2．会求多边形的对角线条数
3．知道凸多边形与正多边形的定义
四、布置作业
习题11.3 第1、2题．
教学反思：
11.3 多边形及其内角和（第2课时）
教学内容
多边形的内角和．
教学过程
一、新课导入
说出正方形、长方形的内角和都等于 度，其他四边形的内角和等于多少？
二、探究新知
1．多边形的内角和
让学生任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？21世纪教育网版权所有
提示：能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？
要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可．学生独立思考交流后，师生完成证明过程．21·cn·jy·com
如下图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．
由此可得
∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D）．
∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，
∠2＋∠4＋∠D＝180°，
∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°．
即四边形的内角和等于360°．
类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？请填空：
边数
图形
对角线条数
分割的三角形个数
多边形内角和
三角形
3－3＝0
3－2＝1
180°
四边形
4－3＝1
4－2＝2
360°
五边形
5－3＝2
5－2＝3
540°
六边形
6－3＝3
6－2＝4
720°
……
n边形
n－3
n－2
(n－2) ×180°
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
2．内角和的应用
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°．
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
3．多边形的外角和
例2 如下图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？21教育网
分析：考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
联系这些问题，考虑外角和的求法．
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于21cnjy.com
6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°．
思考：如果将例2中六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
教师引导学生进行思考，然后师生共同得到：多边形的外角和等于360°．
三、课堂小结
1．记住多边形内角和定理及其推导过程．
2．知道把多边形分成三角形的两种方法．
3．记住多边形外角和定理及其推导过程．
2．能利用多边形外角和定理解答有关问题．
四、布置作业
习题11.3第4、5、6题．
教学反思：
