13.1 轴对称（第1课时）
教学目标
1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用． 【来源：21·世纪·教育·网】
3．了解线段垂直平分线的概念．
教学重点难点
轴对称的概念和性质．
教学内容
轴对称．
教学过程
一、导入新课
我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．21·cn·jy·com
轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十三章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．21·世纪*教育网
教师引导学生观察教材第58页图13.1-1．
二、探究新知
1．轴对称图形
学生会发现这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
让学生按照教材图13.1-2把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．师生得出结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．21世纪教育网版权所有
2．对称轴的条数
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条．21cnjy.com
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
明晰：上面五图分别有4、4、无数、2、7条对称轴．
3．两个图形关于这条直线（成轴）对称
思考：下面的每对图形有什么共同特点？
学生发现上面每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形完全重合．
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
教师可以让学生再举出一些两个图形成轴对称的例子，还可以让学生结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？21教育网
提示：（1）两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称． www.21-cn-jy.com
（2）两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合．
4．线段的垂直平分线
如下图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？2·1·c·n·j·y
观察：图中A、A′是对称点，设A A′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B ′C ′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有2-1-c-n-j-y
AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°．
所以A A′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段A A′、BB′和CC′的中点．
对于其他的对应点，也有类似的情况．因此对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
结论：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
同时还可以得到成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．www-2-1-cnjy-com
类似的还得到：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、课堂小结
1．记住两个图形成轴对称性的性质，记住轴对称图形的性质．
2．能区分两个图形成轴对称性与轴对称图形．
3．记住线段垂直平分线的定义．
四、课后作业
习题13.1 第1、2、3、4、5题．
教学反思：
13.1 轴对称（第2课时）
教学内容
线段的垂直平分线的性质．
教学过程
一、导入新课
如下图，直线l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？21世纪教育网版权所有
二、探究新知
1． 线段垂直平分线的性质
让学生用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、…讨论发现什么样的规律．会发现线段AP1＝BP1，AP2＝BP2，…．21教育网
学生如将线段AB沿直线l对折，线段AP1与BP1，AP2与BP2 … 是重合的．即线段AP1＝BP1，AP2＝BP2，…．所以可得到结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质．
如右图，直线l垂直于⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上，求证：PA＝PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA＝∠PCB．
又 AC＝CB，PC＝PC，
∴ △PCA≌△PCB（SAS）．
∴ PA＝PB．
2． 线段垂直平分线性质的反用
反过来，如果PA＝PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
学生按照几何证明的一般步骤写出上题的过程，教师及时点评．
已知：如上图，PA＝PB．
求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴AC＝BC．
又 PC⊥AB，
∴点P 在线段AB的垂直平分线上．
3．画线段的垂线
让学生思考如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线，学生思考后，师及时点评．
让学生阅读教材上用尺规过直线外一点作已知直线的垂线的作法．
三、课堂小结
1．记住线段垂直平分线的性质及反向应用．
2．能证明线段垂直平分线的性质及反向定理．
3．会用尺规作图的方法过一点作线段垂线的方法．
四、课后作业
习题13.1第6、9题．
教学反思：
13.1 轴对称（第3课时）
教学内容
作轴对称图形的对称轴．
教学过程
一、导入新课
思考：有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 21世纪教育网版权所有
二、探究新知
1．对称轴与线段的垂直平分线
通过复习成轴对称的两个图形的性质，学生易得结论：如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． 21教育网
2．对称轴的作法
如下图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线．
作法：如下图．
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD 就是所求作的直线．
学生记忆上述作法．
3．轴对称图形的对称轴
轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
让学生思考如何画出五角星的对称轴，尝试完成作法．
让学生阅读教材第63页画出五角星的对称轴作法．
4．练习
作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
提示：有些图形不止一条对称轴．
三、课堂小结
1．能用尺规作线段的垂直平分线．
2．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．
3．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．
四、课后作业
习题13.1 第10、12题．
教学反思：
13.2 画轴对称图形（第1课时）
教学目标
1．理解图形轴对称变换的性质．
2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．
3．理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律．
4．掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．
教学重点难点
画轴对称图形及点的坐标的变化规律．
教学内容
画轴对称图形．
教学过程
一、导入新课
如下图，在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，如何由此得到相应的右脚印？
师生共同总结：在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印．把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．21教育网
二、探究新知
1．轴对称的性质
学生完成刚才的任务后，再做一个图形，找出规律．
归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．21cnjy.com
2．作图
思考：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如下图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l 对称的图形．
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形．21·cn·jy·com
画法：
（1）如下图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A 关于直线l 的对称点；www.21-cn-jy.com
（2）同理，分别画点B，C 关于直线l 的对称点B′，C′；
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
提示：几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．21世纪教育网版权所有
三、课堂小结
1．理解图形轴对称变换的性质．
2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．
四、课后作业
习题13.2第1题．
教学反思：
13.2 画轴对称图形（第2课时）
教学内容
用坐标表示轴对称．
教学过程
一、导入新课
探究：在直角坐标系中，分别以x轴和y轴为对称轴时，一对对称点的坐标之间有什么关系？
二、探究新知
1．对称点的规律
思考：如下图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，根据下图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？21世纪教育网版权所有
让学生在平面直角坐标系中画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入下表中，找出每对对称点的坐标有怎样的规律．21cnjy.com
师生从表中得到规律：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．www.21-cn-jy.com
即关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．21教育网
2．对称点的应用
例2 如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．21·cn·jy·com
提示：对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．2·1·c·n·j·y
步骤简述为：（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．
三、课堂小结
1．记住在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律．
2．能在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．
四、课后作业
习题13.2第3题．
教学反思：
13.3 等腰三角形（第1课时）
教学目标
1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念．
2．记住等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法．
3．能用等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法解答相关题目．
教学重点难点
等腰三角形、等边三角形的性质以及判定方法
教学内容
等腰三角形的性质．
教学过程
一、导入新课
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．那么三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？下面，我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质．21世纪教育网版权所有
二、探究新知
1．等腰三角形的性质
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB＝AC．所以△ABC是等腰三角形．
让学生仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，探究等腰三角形的性质．学生仔细观察，教师及时点评，得到等腰三角形的性质：21教育网
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
教师指导学生证明等腰三角形的性质1，可以小组讨论，完成此题的初步证明，在此过程中教师要及时规范学生的标准步骤．21·cn·jy·com
如右图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD．
∵ AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴ △BAD≌△CAD（SSS）．
∴ ∠B＝∠C．
2．等腰三角形性质的应用
例1 如图，△ABC中，AB＝AC，点D 在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
由∠BDC＝∠A＋∠ABD，得到∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A．
由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．21cnjy.com
让学生思考后，完成此题的初步证明，师及时规范学生的标准步骤．
三、课堂小结
1．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论．
2．能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系．
四、课后作业
习题13.3第1题．
教学反思：
13.3 等腰三角形（第2课时）
教学内容
等腰三角形的性质．
教学过程
一、导入新课
思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 21教育网
二、探究新知
1．等腰三角形的判定定理
让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）．
作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中，
∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB＝AC．
由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
2．判定定理的应用
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB＝AC．
分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．21世纪教育网版权所有
证明：∵AD∥BC，
∴ ∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C．
∴ AB＝AC（等角对等边）．
3．作等腰三角形
例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
作法:（1）作线段AB＝a．
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D．
（3）在MN上取一点C，使DC＝h．
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
三、课堂小结
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图．
四、课后作业
习题13.3第2题．
教学反思：
13.3 等腰三角形（第3课时）
教学内容
等边三角形．
教学过程
一、导入新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．21教育网
二、探究新知
1．等边三角形的性质
思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？21世纪教育网版权所有
学生独立思考，教师及时点评．由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
①等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
教师指出以上没有严格的证明，让学生完成②的证明．
提示：这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．21cnjy.com
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴ BC＝AC，AC＝AB．
∴ AB＝BC＝AC．
∴ △ABC 是等边三角形．
练习：学生仿照上例完成例③的证明．
2．判定方法的应用
例4 如下图，△ABC是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 21·cn·jy·com
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴ ∠A＝∠B＝∠C．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED．
∴ △ADE 是等边三角形．
练习：若点D、E 在边AB、AC 的延长线上（如下图），且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴ ∠A＝∠ABC＝∠ACB．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC ＝∠ADE，
∠ACB ＝∠AED．
∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED．
∴ △ADE 是等边三角形．
三、课堂小结
1．理解并掌握等边三角形的性质定理及判定方法．
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
四、课后作业
习题13.3第14题．
教学反思：
13.3 等腰三角形（第4课时）
教学内容
等边三角形性质的应用．
教学过程
一、导入新课
回顾等边三角形的有关性质，导入新课的教学．
二、探究新知
1．等边三角形的对称轴
学生回答出上节所学的性质：
①等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
活动1：思考等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴，并画出对称轴？
学生尝试画出图形，教师及时点评．
总结：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，且对称轴是顶角平分线，底边上的中线、底边上的高所在的直线．21世纪教育网版权所有
活动2 在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
提示：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AD为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而21教育网
∠ADC＝90°，∠l＝∠2，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求．
2．等边三角形的判断
活动3 △ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么？
①在边AB、AC上分别截取AD＝AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
让学生独立思考，并初步作答，教师及时点评，三种方法都对．
三、课堂小结
1．会画出等边三角形的对称轴，并知道它的特殊性．
2．能运用等边三角形的对称轴进行计算和证明．
四、课后作业
习题13.3第7题．
教学反思：
13.3 等腰三角形（第5课时）
教学内容
含30°角的直角三角形的性质．
教学过程
一、导入新课
让学生用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．21世纪教育网版权所有
二、探究新知
1．含30°角的直角三角形的性质
让学生完成上面的拼图，并找出有关猜想．说出你猜想，能否并结合图形，证明出来．
结合图形，学生说出猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
让学生思考如何证明，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．21教育网
数学语言：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C ＝90°，∠A ＝30°，
∴ BC＝AB．
2．性质的应用
例5 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB＝7．4 cm，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？21·cn·jy·com
让学生思考如何求解，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．
练习 如下图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，∠ABC＝120°，求证：AB＝2BC．21cnjy.com
让学生思考如何求解，并初步作答，师及时点评，并规范作答步骤．
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E．
∵DB⊥BC（已知）
∴∠AED＝90°（两直线平行内错角相等）
在△ADE和△CDB中，
∠E＝∠CBD，∠AED＝∠BDC（对顶角相等），AD＝CD，
∴△ADE≌△CDB（AAS）
∴AE＝CB（全等三角形的对应边相等）．
∵∠ABC＝120o，DB⊥BC（已知），
∴∠ABD＝30°．
在Rt△ABE中，∠ABD＝30°，
∴AE＝AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴BC＝AB，即AB＝2BC．
三、课堂小结
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
四、课后作业
习题13.3第15题．
教学反思：
