15.1 分式（第1课时）
教学内容
分式的概念．
教学过程
一、导入新课
让学生完成填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，则宽为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm．21教育网
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高为 cm． 21cnjy.com
二、探究新知
1．分式的概念
师生可得到的答案依次是：
上面问题中得到的式子中哪些不是我们学过的整式？它们有什么共同的特征？
学生归纳，教师指出类比分数的形式，可得
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式． 分式中，A 叫做分子，B叫做分母． 21·cn·jy·com
2．分式有意义的条件
思考：要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？
因为分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） （2） （3） （4）
学生独立思考，完成此题的解答，教师及时点评．
3．分式等零的条件
下列分式中的x 满足什么条件时，分式的值为零？
（1） （2）
学生独立思考，完成对上题的解答，教师及时点评．
参考答案：（1）无解 （2）x＝
提示：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：①分母不能为零；②分子为零，最后求两个条件的公共部分，就是这类题目的解．21世纪教育网版权所有
4．符号的规律
思考：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
（1） （2）
让学生求出结果，并观察结果，找出规律．
提示：一个负号走来走去，两个负号统统枪毙，三个负号留个老弟．
答案：（1） （2）
三、课堂小结
1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．
2．能确定分式有意义、等零、去负号的条件．
四、课后作业
习题15.1第1、2、3题．
教学反思：
15.1 分式（第2课时）
教学内容
约分．
教学过程
一、导入新课
判断：分数，，，是否相等并说出判断的理由．
二、探究新知
1．分式的基本性质
让学生借助由分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．猜想分式的基本性质？21世纪教育网版权所有
学生独立思考，教师及时点评，得出分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．21cnjy.com
上述的性质可以用式子表示为
其中A，B，C是整式．
判断：下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由．
（1） （2）
参考答案：（1）正确．分子分母除以x；（2）不正确，分子乘x，而分母没乘x．
提示：（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式．
2．约分
例2 填空：
（1）
（2）
学生独立思考，完成此题的解答，教师及时点评．
让学生观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你能得到什么结论？21教育网
归纳：像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．21·cn·jy·com
教师指导学生完成例3，在此过程中，教师可以进行点评．
提示：①找准分子，分母的公因式；②多项式要先分解因式后，再找公因式．
三、课堂小结
1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．
2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
四、课后作业
习题15.1第4题．
教学反思：
15.1 分式（第3课时）
教学内容
通分．
教学过程
一、导入新课
让学生回忆分数的通分，由分数的通分思考如何对分式通分呢？
二、探究新知
1．通分
类比分数的通分，利用分式的基本性质，让学生填空．
括号中应分别填为：a、2ab－b2．
学生观察解题过程，发现：利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．21世纪教育网版权所有
2．最简公分母
观察并思考上例中的分母，我们知道通分时，首先要分式的分母相同．那么，为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
根据定义，我们可以得出最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积（分母是多项式时，先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母）．21教育网
3．通分的应用
让学生完成例4，学生独立思考，完成此题的解答，教师及时点评．
三、课堂小结
1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母．
2．能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想．
四、课后作业
习题15.1第4题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第1课时）
教学内容
分式的乘除．
教学过程
一、导入新课
让学生思考一下问题：
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少?21世纪教育网版权所有
问题2 大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？21教育网
二、探究新知
1．分式的乘除法法则
教师指出为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算．让学生回忆分数的乘除法法则，类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？21cnjy.com
学生进行初步猜想，师及时点评．
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
上述法则用式子表示为
2．法则的应用
例1 计算：
（1） （2）
学生独立思考，完成此题的解答，教师及时点评．
三、课堂小结
1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．
2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算．
四、课后作业
习题15.2第1题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第2课时）
教学内容
分式的乘除．
教学过程
一、导入新课
让学生完成下题．
下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
二、探究新知
1．分子或分母是多项式的两个分式乘除
教师指出借助约分，我们可以完成分子或分母是多项式的两个分式乘除．
例2 计算
（1） （2）
学生独立思考，完成此题的解答，师及时点评．
提示：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．21世纪教育网版权所有
计算：（1）； （2）（ab－b2）÷ ．
答案（1） （2）b
2．实际应用题
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．21cnjy.com
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
学生独立思考，完成此题的解答，师及时点评．
归纳解题步骤：①先根据题意分别列出表示两个量的代数式；②再根据题意列出相应的算式；③最后通过计算解决问题． 21教育网
三、课堂小结
1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．
2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算．
四、课后作业
习题15.2第2题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第3课时）
教学内容
分式的乘除．
教学过程
一、导入新课
复习上节内容，导入新课的教学．
二、探究新知
1．分式乘除的混合运算
例4
学生独立思考，完成解答，教师及时点评．
提示：乘除的混合运算可以统一为乘法运算．
2．分式的乘方法则
思考：
让学生根据乘方的意义和分式的乘法法则，写出上式的结果．并猜想：n 为正整数时的值，师生共同完成推导过程：21世纪教育网版权所有
一般地，当n是正整数时，
这就是说，分式乘法要把分子，分母分别乘方．
例5 计算：
（1） （2）
学生独立思考，完成例5的解答，教师及时点评．
三、课堂小结
1．理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算．
2．能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算．
四、课后作业
习题15.2第3题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第4课时）
教学内容
分式的加减．
教学过程
一、导入新课
问题3 甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？21世纪教育网版权所有
（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
二、探究新知
1．分式的加减法法则
学生独立思考问题3，教师及时点评．从以上的问题可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的加减运算．
思考：分式的加减法与分数的加减法类似．它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 21教育网
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．即21cnjy.com
2．分式的加减法法则
例6 计算：
（1） （2）
学生独立思考，完成例6的解答，教师及时点评．
三、课堂小结
1．理解分式的加减法法则．
2．会运用法则进行分式的加减运算．
四、课后作业
习题15.2第4题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第5课时）
教学内容
分式的加减．
教学过程
一、导入新课
让学生回忆分数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
二、探究新知
师生共同得出分式的混合运算顺序：从高到低、从左到右、括号从小到大．
例7 计算
学生独立思考，完成例7的解答，师及时点评．
提示：对于不带括号的分式混合运算，（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．21世纪教育网版权所有
练习：计算
答案：
例8 计算：
（1） （2）
学生独立思考，完成例8的解答，教师及时点评．
提示：对于带括号的分式混合运算，（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．21教育网
三、课堂小结
1．理解分式混合运算的顺序．
2．会正确进行分式的混合运算．
四、课后作业
习题15.2第6题．
教学反思：
15.2 分式的运算（第6课时）
教学内容
整数指数幂．
教学过程
一、导入新课
让学生回忆正整数指数幂的意义. 正整数指数幂有哪些运算性质呢？
思考如在正整数指数幂的运算性质中，指数am中m的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？21cnjy.com
二、探究新知
1．负整数指数幂
教师通过以下问题，引导学生思考：
（1）根据分式的约分，当a≠0 时，如何计算a3÷a5？
（2）如果把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am-n（a≠0，m，n是正整数，m >n）中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5情形也能使用，如何计算？ 21世纪教育网版权所有
师生共同认识负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，
＝（a≠0）．
2．整数指数幂
教师让学生思考引入负整数指数和0指数后，am÷an＝am-n这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？21·cn·jy·com
让学生用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？www.21-cn-jy.com
师生归纳，得出am÷an＝am-n这条性质对于m，n 是任意整数仍适用．
3． 整数指数幂的应用
例9 计算：
（1）a－2÷a5； （2）； （3）(a－1b2)3； （4）a－2b2·(a2b－2)－3．
学生独立思考，完成例9的解答，教师及时点评．
4．整数指数幂的性质
让学生思考能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并，并填写下题？
（1）同底数的幂的乘法：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
5．科学记数法
让学生思考如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢，并填写下题？
0.003 5＝3．5×0．001＝ 0.000 098 2＝9.82×0.000 01＝ ．
观察这两个结果，你能发现10的指数与什么有关呢？
师生合作，得到规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．21教育网
例10 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm ＝10-9 m．把1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3 的空间可以放多少个1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
学生独立思考，完成例10的解答，教师及时点评．
练习 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）－0.000 78； （3）0.000 020 09．
答案 （1） 3×10-1 （2） －7.8×10-4 （3） 2.009×10-5
三、课堂小结
1．了解负整数指数幂的意义．
2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．
四、课后作业
习题15.2第8、9题．
教学反思：
15.3 分式方程（第1课时）
教学内容
分式方程．
教学过程
一、导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆 流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？21世纪教育网版权所有
二、探究新知
1．分式方程
学生解题时可得到了方程
让学生仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
提示：我们以前学习的方程都是整式方程，因为它们的未知数不在分母中．所以区分的关键是分母中是否含有未知数．21教育网
2．分式方程的解答
让学生试解分式方程 ？
思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
学生写出解方程的过程，师及时点评，让学生阅读教材，对照答案．
提示：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就可化为整式方程．（2）利用等式的性质可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．21cnjy.com
解分式方程 ．
学生独立思考，写出此方程的解答过程，师及时点评．
让学生检查得到的解x＝5是分式方程的解，并说出为什么？可得到x＝5是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．21·cn·jy·com
原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．www.21-cn-jy.com
提示：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．2·1·c·n·j·y
例1 解方程
学生独立思考，写出此方程的解答过程，师及时点评．
解方程的步骤（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
三、课堂小结
1．了解分式方程的概念．
2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，
3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．
四、课后作业
习题15.3第1题．
教学反思：
15.3 分式方程（第2课时）
教学内容
分式方程．
教学过程
一、导入新课
解方程 ．
二、探究新知
1．解分式方程
学生独立思考，写出此方程的解答过程，师及时点评．
提示：整数别忘同乘最简公分母．
练习：解方程．
答案：无解
2．解含字母的分式方程
解方程．
学生独立思考，写出此方程的解答过程，师及时点评．
解：方程两边同乘 x－a，得
a＋b(x－a)＝(x－a)．
去括号，得 a＋bx－ab＝x－a．
移项、合并同类项，得 (b－1)x＝ab－2a．
∵b≠1,
∴b－1≠0．
∴x＝．
当x＝时，x－a≠0，所以x＝是原分式方程的解．
3．分式方程的应用
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
让学生由题意填写下题：甲队1个月完成总工程的_____,设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的____，乙队半个月完成总工程的____，两队半个月完成总工程的 ．21世纪教育网版权所有
让学生找出问题中的哪个等量关系，列出方程．学生独立思考，写出此方程的解答过程，师及时点评．
三、课堂小结
1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．
2．能够列分式方程解决简单的实际问题．
四、课后作业
习题15.3第2、3题．
教学反思：
15.3 分式方程（第3课时）
教学内容
分式方程的应用．
教学过程
一、导入新课
例4 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？21世纪教育网版权所有
二、探究新知
教师指出这是一道行程问题的应用题，本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，基本关系是：速度＝路程/时间．等量关系是：提速前所用的时间＝提速后所用的时间．设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础． 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意．21cnjy.com
让学生认真审题，然后回答下列问题：
1．速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？
2．怎样设未知数，根据哪个关系？
3．题中有哪些相等关系？怎样列方程？
学生独立思考，写出例4的解答过程，师及时点评．让学生阅读教材，对照答案．
提示：上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例4中列出的方程是以x为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．21教育网
练习：商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18．6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
答案：第一次购进1 000件T恤衫．
三、课堂小结
列分式方程解决简单的实际问题．
四、课后作业
习题15.3第4、5题．
教学反思：
