《一元二次方程1》教材分析
这节课是九年制义务教育初级中学教材鲁教版八年级下册第八章第一节《一元二次方程》第一课时。
方程在数学中占有很重要的地位，是描述丰富多彩的现实世界的最重要的语言，是解决实际问题的有效手段，一元二次方程是方程中的重要组成部分，是对方程学习的总结与提升。而第一课时的一元二次方程的定义是本章的一个概念教学，它在概念生成的过程中，既使学生体会到方程的模型思想，又关注了学生观察、猜想、归纳的发展，并进一步提高学生使用方程分析解决实际问题的能力。尤其是二次项系数a不等于0的条件为以后“根与系数的关系应用”打下了重要基础。
这一课时由三部分内容组成，一是由具体情境列出方程，构建方程模型；二是根据类比的思想，由一元一次方程的概念自然生成一元二次方程的概念；三是一元二次方程的识别练习。教材通过问题情境设计了学生活动，通过所列方程利用类比的方法生成一元二次方程的定义，让学生获得数学经验同时，培养学生观察，归纳及类比的能力。
《一元二次方程1》教学设计
学科
数学
课题
8.1（1）一元二次方程
课型
新授
主备人
单位
教学目标
知识目标：
经历一元二次方程概念的生成过程，理解一元二次方程及其相关概念。
能力目标：
通过一元二次方程概念的学习，进一步培养学生的观察、归纳、自主学习的能力，并从中体会方程的模型思想。
情感目标：
在学习中，借助观察，类比，归纳，培养学生对数学转化思想的理解与认识；并通过“问题情境-建立模型-拓展应用”的模式，感悟生活中处处有数学，激发学生的求知欲。
教学重点
会判断一个方程是一元二次方程，会把每一个一元二次方程转化成一般形式，并知道相关信息。
教学难点
字母系数方程的判断与识别
教学准备
多媒体课件
教学措施
在教师的指导下，学生观察，猜想，归纳，从而加深对所学的内容的理解.
教法、学法
引导启发、小组合作学习
教 学 过 程
一、导入新知（10分钟）
同学们，我们知道方程是刻画实际生活中的数量关系的一个有效的数学模型，很多实际问题都可以借助于方程解决，为此我们学习过一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，今天我们学习另外一个重要的整式方程-一元二次方程：（板书）
1、看你行不行？--生活中的数学
（1）一块四周镶有宽度相等花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央矩形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?
若设所求宽度为x米，那么你能列出的方程是
（2）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m. 若设梯子底端滑动X m，则滑动后梯子底端距墙 m，根据题意，可得方程：
设计目的：学生由自主探究来经历“情境—建模”的过程，体会方程刻画现实世界的等量关系的模型作用。
二、探究新知（20分钟）
1、小回顾：
同学们回顾一下什么是一元一次方程？一元一次方程的一般形式是什么？(板书)
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1次的整式方程叫一元一次方程
（1） 只含有 一个未知数
（2）未知数的 次数是1
（3）都是 整式 方程
（4）都能化成 ax+b=0(a≠0) 的形式。
2、大猜想：
现在请同学们把你所列的方程进行整理化简：
x2-8x-20＝0
x2+12x-15＝0
2x2-13x+11＝0
观察一下，这几个方程有什么共同特征？
（1） 只含有 一个未知数
（2）未知数的 最高次数是2
（3）都是 整式 方程
（4）都能化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式。
根据特征你能够猜想出一元二次方程的定义么？
学生试着用自己的语言抽象出一元二次方程的定义，老师进行指导、纠正。
3、新概念：
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。所有的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
总结归纳：
判断一个方程是一元二次方程的条件：
只含有一个未知数。
未知数的最高次数是2
③整式方程
注意：1、方程必须要整理成一般形式再判断
2、各项的系数一定包括系数本身的符号
3、二次项系数a≠0
设计目的：通过类比的思想，使学生由一元一次方程的定义及其一般形式自然生成一元二次方程概念及其一般形式。老师引导学生进行归纳总结，得到注意事项。
三、新知应用：(10分钟)
例1：判断下列方程是不是关于的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数，一次项系数和常数项：（小组内交流解决--提示先整理）
（1）3x（x+2）=4（x-1）+7可化为
（2）（2x+3）2=（x+1）（4x–1）可化为
1、勇士榜 — 挑战数字系数
判断下列方程中，哪些是一元二次方程？
7x2－6x＝0 ( )
2x2－5xy＋6y＝0 ( )
( )
( )
（x+3）(x-1)＝1＋x2 ( )
2、点将台 – 挑战字母系数
（1）关于x的方程（m-1）x2+2x=1是一元二次方程么？为什么？
（2）已知关于x的方程：(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，原方程是一元二次方程；当k 时，原方程是一元一次方程。
（学生小组讨论后展示，教师做出点评）
设计目的：本环节利用勇士榜和点将台两个形式，以轻松愉悦的方式使学生将一元二次方程的概念用层层递进的方式进行巩固，既照顾了不同层次学生的学习需求，又使学生从中获得学习的满足感。
四、总结提升： （两个学生进行小结展示）
本节课你有哪些收获？（组内交流）
1．一元二次方程的定义；
2. 一元二次方程的一般形式：
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
3. 一元二次方程的有关概念：
二次项、一次项、常数项；
二次项系数、一次项系数．
4．会用一元二次方程表示实际生活中的数量
关系
设计目的：学生自己归纳总结本节课的收获，提高对所学知识的理解，初步形成基本概括技能。
五、达标检阅：（5分钟）
必做题：
1.判断下列是否是一元二次方程？
（1）3x2-x=2 ( )
(2)2(x-1)2=3y ( )
(3)3 x2-2x+5 ( )
(4) ( )
(5)(m2+5)x2+7x-1=0 ( )
2.一个面积为54m2的矩形，一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为Xm,所列方程为 ，其一般形式是 ，其中常数项是 。
选做题：
3.当 时，方程（m-2）x +3x=0是关于的一元二次方程。
六、板书设计：
一元一次方程 一元二次方程
定义: （1） 只含有 一个未知数 定义：（1）只含有 一个未知数
（2）未知数的次数是1 （2）未知数的 最高次数是2
（3）都是 整式 方程 （3）都是 整式 方程
一般形式：ax+b=0 (a≠0) 一般形式：ax２＋bx＋c＝０
（a，b，c为常数，a≠０）
《一元二次方程1》测评练习
一、导入新知—生活中的数学
（1）一块四周镶有宽度相等花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央矩形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?
若设所求宽度为x米，那么你能列出的方程是
（2）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m. 若设梯子底端滑动X m，则滑动后梯子底端距墙 m，根据题意，可得方程：
二、新知应用—巩固练习
例1：判断下列方程是不是关于的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数，一次项系数和常数项：（小组内交流解决--提示先整理）
（1）3x（x+2）=4（x-1）+7可化为
（2）（2x+3）2=（x+1）（4x–1）可化为
1、勇士榜 — 挑战数字系数
判断下列方程中，哪些是一元二次方程？
7x2－6x＝0 ( )
2x2－5xy＋6y＝0 ( )
( )
( )
（x+3）(x-1)＝1＋x2 ( )
2、点将台 – 挑战字母系数
（1）关于x的方程（m-1）x2+2x=1是一元二次方程么？为什么？
（2）已知关于x的方程：(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，原方程是一元二次方程；当k 时，原方程是一元一次方程。
三、达标检阅—检查效果
必做题：
1.判断下列是否是一元二次方程？
（1）3x2-x=2 ( )
(2)2(x-1)2=3y ( )
(3)3 x2-2x+5 ( )
(4) ( )
(5)(m2+5)x2+7x-1=0 ( )
2.一个面积为54m2的矩形，一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为Xm,所列方程为 ，其一般形式是 ，其中常数项是 。
选做题：
3.当 时，方程（m-2）x +3x=0是关于的一元二次方程。
《一元二次方程1》课后反思
优点：
1、在梯子下滑问题中注重了数形结合，利用多媒体演示，形象直观地表示出变化过程中的变量和不变量，易于学生利用勾股定理找出等量关系从而列出方程。
2、概念教学中，注重利用类比的方法，使学生自然生成一元二次方程的概念，并让学生深切认识到一元二次方程的特点及一般形式，并能正确指出二次项系数、一次项系数、常数项。
3、分层次教学体现在例题及习题设计中，从数字系数方程的判断到字母系数方程的判断，既兼顾到不同学生的学习需求，又体现出知识上的递进，符合学生的认知规律。
不足：
1、一元二次方程的一般形式中的a为什么不能等于0，我觉得教学中缺少学生的自我领悟，也就是缺少一个合理的学生活动的过程。在后期的练习测评中学生总是忽略这个问题。
2、学生自主探究的时间还是少些，教师说得过多，时间上有点儿紧。小组活动，学生没有放松心情，不是很自然。
3、建议字母系数问题在导学案中能够以解答题的形式出现，一是理顺学生的思维；而是训练做题规范。
课件14张PPT。鲁教版 ? 八 年 级 数 学 ( 下 )
1.能够根据问题情境列出一元二次方程，体会方程的模型思想。
2. 根据类比的思想能够由一元一次方程的有关概念，自然生成一元二次方程的相关概念
3.通过一元二次方程概念的学习,能够熟练解决数字系数及字母系数的一元二次方程的判别。1.一块四周镶有宽度相等花边的地毯如下图，它的
长为８m，宽为５m．如果地毯中央矩形图案的面积
为18m2 ，则花边多宽?（1）若设花边宽为x m，那么地毯中央矩形的
长为 m，宽为 m；
（2）根据题意可得方程为 _ 8-2x 5-2x (8-2x)(5-2x)=18（1）由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
（2）若设梯子底端滑动Xm，则滑动后梯子底端距墙
m;根据题意，可得方程： 。6（X＋6）72＋(X＋6)2＝102xm8m10m7m6m10m1m2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？1.同学们还记得什么叫一元一次方程吗？
2.一元一次方程的一般形式是什么？
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1次
的整式方程叫一元一次方程。ax + b = 0 (a≠0)观察下列三个方程，思考：2.你能猜想出一元二次方程的定义吗？(1)只含有一个未知数(2)未知数的最高次数都是2(3)都是整式方程1.这几个方程有什么共同特点？X2+12x-15=0(4)都可以化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式2x2-13x+11=0X2-8X=0 只含有 ，并且未知数的最高次数
是 的 叫做一元二次方程．
所有的一元二次方程都可化为 .（ ）的形式。一个未知数2ax２＋bx＋c＝０整式方程a，b，c为常数， a≠０注意：
一元二次方程各项的系数一定包括系数本身的符号（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)（1）3x(x+2)=4(x-1)+7 注意：要确定一元二次方程各项的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。例题：判断下列方程是否是关于x的一元二次方程，如果是，说出它的二次项系数、一次项系数和常数项。3X2+2x-3=09x+10=01.判断下列方程是否是一元二次方程?(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)(x+3)(x-1)＝1＋x2(1)7x2－6x＝0（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）√×××√（1）关于x的方程(m-1)x2+2x=1是一元二次方程么？为什么？
（2）已知关于x的方程：
(k2－1)x2 ＋ 2(k－1)x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 时，原方程是一元二次方程；
当k 时，原方程是一元一次方程。本节课你学会了哪些新知识呢？
1．一元二次方程的定义；
2. 一元二次方程的一般形式：
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
3. 一元二次方程的有关概念：
二次项、一次项、常数项；
二次项系数、一次项系数．
4．会用一元二次方程表示实际生活中的
数量关系。必做题:
1.判断下列是否是一元二次方程？
(1)3x2-x=2 ( ) (2)2(x-1)2=3y ( )
(3)3 x2-2x+5 ( ) (4) ( )
(5)(m2+5)x2+7x-1=0 ( )
2.一个面积为54m2的矩形，一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为Xm,所列方程为 ，其中常数项是 。
选做题：
3.当m= 时，方程 是关于x的一元二次方程。 2 同学们，在本节课学习的实际问题中，花边到底有多宽，梯子下端滑动了几米，其实就是一元二次方程的解，下节课我们继续探讨！再见！
