课件17张PPT。鲁教版数学八年级下册第八章第六节一元二次方程的应用
（第一课时）学习目标1、会用列一元二次方程解有关面积方面的应用问题；2、在列一元二次方程解应用题时，应注意检验方程的解是否符合实际意义。知识储备:1、列方程解应用题的一般步骤是什么？①审：仔细审题，弄清已知量和未知量，找出题中的等量关系。②设：选择一个合适的未知量设为未知数，并用含未知数的代数式表示其它未知量。③列：根据相等关系，列出方程。④解：解方程。⑤验： 先检验所得的解是不是所列方程的解，再检验所得方程的解是否符合题意。⑥答：写出答案。知识储备:2、相关面积：矩形面积= ，
三角形面积= ，
梯形面积= ，
圆的面积= ，长×宽??? 现在需要在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。你能给出设计方案吗？你能设计出几种不同的方案?在你的预习学案上试一试！课前预习探究： 现在需要在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。预习探究方案展示： 现在需要在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。预习探究方案展示：研究方案一：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园每个角上的扇形小路都相同。你能求出扇形小路的半径吗？在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园四周的小路的宽度都相同。你能求出小路的宽吗？研究方案二：????答：小路的宽为2 m。1612研究方案三：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。??1612研究方案四：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。??研究方案五：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。现在我又将设计方案改成如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。巩固练习：如图,在一幅长90cm，宽40cm的烟台风景画的四周外围镶上一条宽度相同的白色纸边，制成一幅挂画，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的70％。若设白色纸边的宽为xcm，则可以列出关于x的方程是 。能力提升：某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。
（1）鸡场的面积能达到182㎡吗？
（2）鸡场的面积能达到200 ㎡吗？
（3）鸡场的面积能达到250 ㎡吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。畅谈收获这节课我学会了······课堂检测1、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，则所截去的小正方形的边长是 。?课后作业：必做题：《伴你学》P74——76
选做题：《伴你学》P77 13题
思考题：若在预习探究中的花园设计问题中，小红的设计方案如图所示，你能求出小路进出口的宽度吗？（注：所有小路进出口的宽度相等，且每条小路均为平行四边形）教材分析
一、教材的地位：
【一元二次方程的应用】是义务教育教科书【数学】（鲁教版）八年级下册第八章【一元二次方程】第6节【一元二次方程的应用（第一课时）】。教材结合课标的要求，设置丰富的问题情境，让学生真正经历模型化的过程，首先教材设计了一个开放性的花园方案设计的问题，让学生在设计的过程中，运用方程的建模思想解决生活中的有关面积的相关问题，进而培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。
二、教学时间：1课时
三、教学课型：自主探究、小组合作、交流展示。
四、教材内容的整合和课程资源的取舍：
1．课标要求教学不仅要使学生获得一定的数学知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机的结合。因此，在设计时本课时，我努力挖掘教学内容中蕴藏的、与上述四个方面的目标有关的教育价值。让学生自己设计花园方案，亲身体验运用数学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣，让学生在愉快的氛围中自主探索，合作交流， 在获得知识技能的同时，感悟数学就在我们身边。
2．课标要求重视学生在学习活动中的主题地位，要求面向全体，适应学生个性发展的需要。因此，学习一元二次方程的应用时，我放手让学生在课前自主完成探究一——花园的方案设计，在课堂上给学生展示自我的机会。在后面的课堂探究环节，利用小组合作和课堂交流，引导学生积极参与，在获得知识的同时，获得成功的体验。
五、教学重点：
1.使学生能利用一元二次方程解决有关面积的实际问题，进一步渗透方程的模型思想。
2.培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。
六、教学难点：
会用列一元二次方程解有关面积方面的应用问题；并能在列一元二次方程解应用题时，注意检验方程的解是否符合实际意义。
课后反思：
这节课是《一元二次方程的应用（第一课时）》，探究用一元二次方程解决有关面积的实际问题。在本节课的教学中，我首先用设计了课前预习导学案，主要想给学生足够的时间发挥自己的想象力设计花园的可行性方案，再将学生设计的方案进行汇总，在课堂上展示；并在课堂上和学生一起重点研究了其中的5种方案，在每种方案中围绕利用两个等量关系“”与“”列一元二次方程解决实际问题。对于后面的巩固练习，学生很轻松的完成，掌握效果很好。对于能力提升，难度较大，因此采用学生先独立思考，再小组合作交流，挑两名学生在黑板上板书前两问的具体过程，教师最后针对学生出现的问题再做重点强调，最后将本节课的一类难题解决。在本节课中，抓住一切机会对学生进行情感教育，在作业的布置上也设计了分层作业，很好的满足了各个层次的学生的需求，争取让每个学生都能有所收获，有所发展。
义务教育教科书（鲁教版）（五四制）数学八年级下册第八章第六节
《一元二次方程的应用》教学设计
第一课时
教
学
目
标
1.知识与能力：
①能利用一元二次方程解决有关面积的实际问题,进一步渗透方程的模型思想。
②能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
③通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性．
2.过程与方法：
①经历利用一元二次方程解决有关面积的实际问题的过程，体会数学与现实生活的紧密联系。
②根据实际问题有关一元二次方程问题的解决，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度、价值观：
①通过解决身边的实际问题，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。
②通过课前预习探究和课堂探究活动,培养学生自主探究及自主解决问题的能力。
③通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力。
重
难
点
教学重点：
1.使学生能利用一元二次方程解决有关面积的实际问题，进一步渗透方程的模型思想。
2.培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。
教学难点：会用列一元二次方程解有关面积方面的应用问题；并能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
学
情
分
析
在前几册中，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程及其应用，初步感受了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，并能解决相关的实际问题。学生已经具备了用一元二次方程的知识解决现实生活中的问题。
教学
工具
多媒体投影、导学案
教学
方法
自主学习、交流展示、探究式教学
教学
程序
教师活动
学生活动
设计意图
复
习
回
顾
知
识
储
备
知识储备：
列方程解应用题的一般步骤是什么？
相关面积：
矩形面积= ，
三角形面积= ，
梯形面积= ，
圆的面积= .
学生复习回顾:列方程解应用题的一般步骤及相关面积。
通过复习回顾完成必要的知识储备,和学生一起开启本节课的探究之旅。
预
习
展
示
深
入
探
究
预习探究方案展示：
将学生的预习导学案上设计的方案汇总展示:
研究方案一：
在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园每个角上的扇形小路都相同。你能求出扇形小路的半径吗？
教师给出详细的解题过程.
研究方案二：
在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园四周的小路的宽度都相同。你能求出小路的宽吗？
（教师最后在黑板上板演解题过程,再次强调运用一元二次方程解应用题的一般步骤. ）
研究方案三：
在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
研究方案四：
在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
（与学生一起体验根据两个不同等量关系列方程的过程）
研究方案五：
在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。现在我又将设计方案改成如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
（教师在学生讲解的基础上适当点评）
学生欣赏展示作品。
学生读题找出题中等量关系,列出方程。
学生尝试独立完成研究方案二,再根据教师板演的过程进行纠错。
研究方案三和研究方案四先由学生独立思考，再小组合作交流。
学生思考完成，学生讲解。
通过让学生欣赏课前预习探究方案的展示,引出本节课的研究内容:用一元二次方程解决有关面积的实际问题。
教师通过演示详细的解题过程,规范学生的解题步骤,研究方案一中方程的解是一正一负,学生很容易理解为何要检验方程根的合理性。
研究方案二通过让学生独立解决,再次感受用一元二次方程解应用题的一般过程.同时让学生感受虽然方程的两个根都是正数,但仍需检验方程根的合理性。
将研究方案三和研究方案四放到一起研究，体验根据两个不同等量关系（花园的面积=矩形面积的一半，小路的面积=矩形面积的一半）列方程的过程。
研究方案四是在前面研究方案的基础上的能力提升题，通过本题检验学生是否已经掌握运用一元二次方程解决有关面积的问题。
应
用
巩
固
加
深
理
解
巩固练习：
如图,在一幅长90cm，宽40cm的烟台风景画的四周外围镶上一条宽度相同的白色纸边，制成一幅挂画，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的70％。若设白色纸边的宽为xcm，则可以列出关于x的方程是 。
学生交流展示自学成果，其他同学交流补充。能力提升这个环节需要学生交流不同做法，感受一题多解。
让学生在欣赏家乡美景的时候，同时进行知识的应用巩固，进而对学生进行情感教育：努力学习，为建设更美丽的烟台贡献自己的一份力量。
能
力
提
升
交
流
解
疑
能力提升：
某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。
（1）鸡场的面积能达到182㎡吗？
（2）鸡场的面积能达到200 ㎡吗？
（3）鸡场的面积能达到250 ㎡吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
（根据学生展示点评情况教师进行归纳提升，学生考虑不周的地方，教师进行点拨引领。）
学生先独立思考，小组交流课堂探究里的三个条件的养鸡场能否建成，并给出方案。然后进行课堂展示。
能力提升设置三个问题，养鸡场达到不同面积的设计方案的对比，进一步体会运用一元二次方程解决有关面积的实际问题，并能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理；进一步感受方程的模型思想。
梳理
反思
收获
感悟
畅谈收获：
这节课我学会了······
学生交流本节课的收获。
对本节课所学知识进行回顾与反思，加深对本节课知识点的理解。
测
试
反
馈
加
深
巩
固
课堂检测
1、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，则所截去的小正方形的边长是 。
2、如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块的矩形绿地，它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行道。若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是 。
学生检测，检验本节课学习效果。
这2道题目的设计由浅入深，即帮助学生巩固本节课知识，又在一定程度上拓展学生的思维。
分
层
作
业
激
励
发
展
必做题：P50 习题1、2、3
选做题：P50 习题4、5
思考题：
若在预习探究中的花园设计问题中，小红的设计方案如图所示，你能求出小路进出口的宽度吗？（注：所有小路进出口的宽度相等，且每条小路均为平行四边形）
学生课后独立完成。
通过课后作业的必做题，进一步巩固学生对本节课知识的掌握，课后作业的选做题以及思考题有利于拓展学生的思维，加深对于本节内容的理解和提高。
板
书
设
计
一元二次方程的应用——面积问题
能力提升：
研究方案三：
研究方案四:
评测练习一
预习探究：
现在需要在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。你能给出设计方案吗？你能设计出几种不同的方案?在你的预习学案上试一试！
方案一: 方案二:
方案三: 方案四:
评测练习二
研究方案一：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园每个角上的扇形小路都相同。你能求出扇形小路的半径吗？
研究方案二：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中花园四周的小路的宽度都相同。你能求出小路的宽吗？
研究方案三：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
研究方案四：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
研究方案五：在一块长16m、宽12m的矩形土地上建造一个花园,并使花园所占面积为矩形土地面积的一半，余下的为小路。现在我又将设计方案改成如图所示，其中所有小路的宽度都相同。若设小路的宽度为xm，则可列方程 。
评测练习三
巩固练习：
如图,在一幅长90cm，宽40cm的烟台风景画的四周外围镶上一条宽度相同的白色纸边，制成一幅挂画，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的70％。若设白色纸边的宽为xcm，则可以列出关于x的方程是 。
评测练习四
能力提升：
某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。
（1）鸡场的面积能达到182㎡吗？
（2）鸡场的面积能达到200 ㎡吗？
（3）鸡场的面积能达到250 ㎡吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
评测练习五
课堂检测：
1、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，则所截去的小正方形的边长是 。
2、如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块的矩形绿地，它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行道。若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是 。
