课件19张PPT。一元二次方程的应用增长(降低)率问题学 习 目 标 知识与能力：
学会用列一元二次方程的方法解决有关增长（降低）率的问题，感受方程的价值。
过程与方法：
经历将实际问题转化为数学问题并分析解决问题的过程。
情感态度价值观：
通过探究、讨论等活动培养自己合作意识、创新意识和竞争意识；
体会数学中的转化思想，类比思想和方程思想。驶向胜利的彼岸温故而知新1.今年1月份景阳冈武松打虎系列每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长20%，则:
二月份每瓶的售价为 元；
三月份每瓶的售价为 元。
2.今年1月份景阳冈酒武松打虎系列每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长率为x，则:
二月份每瓶的售价为 元；
三月份每瓶的售价为 元。（填含x的式子）50(1+x)50(1+x)250（1+20%） 50(1+20%)(1+20%)=50(1+20%)26072今年1月份景阳冈酒武松打虎系列每瓶的价格为50元，非常畅销，于是连续两次涨价后每瓶卖72元，求平均每次涨价的百分率.
分析：1、已知量是什么？未知量是什么？
2、等量关系是什么？
3、若设平均每次涨价的百分率是x，则两次涨价后每瓶价格用x表示为 ，
可列方程为 。
你敢尝试吗今年1月份景阳冈酒武松打虎系列每瓶的价格为50元，非常畅销，于是连续两次涨价后每瓶卖72元，求平均每次涨价的百分率.
解：设平均每次涨价的百分率为x，
由题意得
你敢尝试吗某服装超市一款秋装搞促销，衣服的原价为100元，连续两次降价后为81元，求这款衣服平均每次降低的百分率.
尝试二小组合作齐努力，看看谁能帮小李！解：设平均每次降低的百分率为x，
由题意得
100（1+x）2 =81
解得：x1=0.1=10%
x2=1.9(不合题意，舍去)
答：平均每次降低的百分率为10%.
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a，设平均变化率为x，二次变化后数据为b,则可列方程为 。解得方程的值后，还要依据条件，做出符合题意的解答。我会总结a(1±x )2=b小试身手1、机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(称为环保车).按计划该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆,求这种环保汽车的数量的百分率.若设平均每年增长的百分率为x，则所列方程为 .
2、上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。列所列方程中正确的是（ ）
A 、168（1+x）2=128 B、168（1-x%）2=128
C、168（1+ x%）2=128 D、168（1- x）2=128
3、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率。325(1+x)2=637B20%小明家承包的土地前年的粮食产量是50吨，前年、去年、今年的总产量是182吨，小明家去年、今年平均每年粮食产量的增长率是多少？合作探究分析：设平均每年的增长率为x你能列出方程吗？1.我校去年对实验器材的投资为2万元，如果平均每年投资额的增长率相同设为x.若预计明年的投资额为4.5万元，则可列方程为 .
变式：若预计今年、明年的投资额共7.5万元，则可列方程为 .大展身手2(1+x)+2(1+x)2=7.52.为了绿化校园，某中学在今年植树200棵，计划到2018年底使这三年的植树总数达到950棵，求该校植树平均每年增长的百分率为 。50% 2(1+x)2=4.5 感悟与收获本节课“我知道了…”，
“我发现了…”，
“我学会了…”，
“我想我以后将…” 感悟与收获1.平均增长（降低）率方程 （1）解这类问题列出的方程一般用
2.注意： 直接开平方法
（2）注意验根，看是否符合实际意义。
3.数学 转化思想
思想： 方程思想
类比思想学无止境迎难而上必做：
1.某农场粮食产量是：2014年1200万千克，2016年为1452万千克.如果平均每年的增长率为x，则可得方程( )
A.1200(1+x)2 =1452 B.1200(1+2x)=1452
C.1200(1+x%)2=1452 D.1200(1+x%)=1452
2.某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2×x=1000
C.200+200×3×x=1000 D.200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
选做：
某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次降低的百分率相同，则每次降低的百分率是多少？达标测试AD2000(1+50%)(1+x)2 =2000+43010%综合评价作业： 情景剧 杨白劳：少东家，大雪封山十几天，家里没米没柴，已经好几天揭不开锅了，你行行好，再借点米吧.
黄世仁：哼，杨白劳，前年你借的10斗米还没还呢！
杨白劳：啊，少东家，今年秋粮下来不是已经还给您10斗了吗？
黄世仁：那点米哪够啊，你还得还给我30斗呢！
杨白劳：啊这么多，同学们，我没念过书，这个黄世仁是怎么算的？根据本节课所学从情景剧中自己提炼出一个数学问题并加以解决。8.6.2一元二次方程的应用(2)
教材分析
本课是在解一元二次方程的基础上，讲述一元二次方程的应用，让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出相等关系，列出有关增长（降低）率问题的一元二次方程，是本节的重点和难点，同时也是本章节的重难点。
本课讲述一元二次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数，几何的基础知识与基本技能，以及对其他学科的学习的应用，解决实际问题起到启蒙作用。在提高学生的能力，培养他们对数学的兴趣以及对他们进行思想教育方面有独特的意义。它不仅承接了一元一次方程以及应用的思想，且对二次函数、高中的一元二次不等式等都起着非常重要的奠基作用。
8.6.2一元二次方程的应用(2)
教后反思
数学与人们的生活密切联系，本节课是在一元二次方程的解法和增长（降低）率的代数式的表示和学生已有生活经验的基础上进行教学的。过去的教学，我基本上是照本宣科，认为学生只要能正确计算会找等量关系就完成了教学任务。这次教学我努力做到把新理念和教学行为相结合，积极引导学生从书本世界走向生活世界。根据学生的实际情况，我在教学时进行了以下几方面的尝试，效果还是可以的。
1.注重创设情境，让学生从现实生活中学习数学。课的开始，我就创设了宽松的学习情境，借助学生熟悉的武松打虎的故事导入，出示武松打虎的图片及景阳冈酒的图片，引导学生走进温帮而知新，通过旧知识的复习，引导学生形成等量关系，充分利用学生的性格特点，拉近了师生之间距离，缓解了学生的心理压力。让学生在不知不觉中学到了知识，体会到了数学就在我们的身边。
2.情景短片的表演引导学生提炼生活中的数学。本节课中我很注意关注数学知识与生活实践的联系。我们知道学习数学的目的是为了应用，我在设计练习时有意识地引导学生把所学知识运用到生活实践中去，体现了数学服务于生活的教育理念。在本节课中我共设计了两个情景短片，第一个让两个学生进行表演生活中的场景，其它同学寻找数学问题，并讨论解决问题。通过学生间的小组合作，提高学生的合作意识。第二个是作为作业出现，通过表演，学生根据本节课所学提炼出数学问题并独立解决，有一定的开放性，通过情景短片的引入增加了趣味性，又使学生巩固所学的知识，学生都乐意去钻研。
3.本节课我始终坚持以“学生为本”，引导学生多说，教师进行一定的引导。强调让学生通过自己钻研和小组合作探究归纳出解题方法，增加了学生对知识的理解和深化。
4.在课堂教学中，我一直很注重给学生提供机会表现自己，大胆放手让学生讲解，引导学生走上讲台当“小老师”，不仅锻炼了学生的表达能力，对于学生的学习和积极性都起到一个很大的促进作用，在我的课堂中，效果一直很好，因为“小老师”的讲解，学生更加乐意听，印象更加深刻。
5.坚持多元化评价。新课标指出“实施评价，应注意教师的评价、学生的自我评价与学生间互相评价相结合。”课堂中多元评价方式将代替传统的单一评价方式，并在促进学生全面发展中发生着积极而有效的作用。本节课教学中我通过口头表扬，拍手称赞，设计表格从自评，互评，师评多个角度组织学生进行评价，使学生明白老师对待学生的学习不只看他有没有掌握，更要看他在这个学习过程中所付出的努力，学习的态度，所用的方法，持之以恒的耐心，甚至是永不言败的勇气。
? 但在实际的教学中，还有一些不尽人意的地方。
如：计算成了孩子们的绊脚石。开始的时候50（1+x）2=72有些同学不知道用直接开平方法解决，而是去了括号，就变得非常麻烦。尤其是大展身手中的第2题，很多学生列出了方程为：200+200（1+x）+200（1+x）2=950这个题的计算量比较大，尤其是有些同学前面一元二次方程的解法学得不扎实，导致求解过程中经常出错。我发现这些情况后，对计算及时做了一点指导与强调，基本思路能简算的要简算，这样计算的正确率会稍有提高。
总之，在以后的教学中，我会继续发扬我的成功之处，逐步完善我的不足之处，我将尽自己最大的能力，上好每一堂课。
8.6.2一元二次方程的应用(2)
教学设计
课题
一元二次方程的应用（2）
课型
新授
课时
1课时
授课人
刘爱红
教学目标
知识与能力：
学会用列一元二次方程的方法解决有关增长（降低）率的问题，感受方程的价值。
过程与方法：
经历将实际问题转化为数学问题并分析解决问题的过程。
情感态度价值观：
通过探究、讨论等活动培养自己合作意识、创新意识和竞争意识；
体会数学中的转化思想，类比思想和方程思想。
教学重点
掌握增长率模型，体会数学模型在现实生活中的应用.
教学难点
了解建模的过程，灵活运用数学模型解决实际问题
教材分析
本课是在解一元二次方程的基础上，讲述一元二次方程的应用，让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出相等关系，理解并列出有关增长（降低）率问题的一元二次方程，是本节的重点和难点，同时也是本章节的重难点。
本课讲述一元二次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数，几何的基础知识与基本技能，以及对其他学科的学习的应用，解决实际问题起到启蒙作用。在提高学生的能力，培养他们对数学的兴趣以及对他们进行思想教育方面有独特的意义。它不仅承接了一元一次方程以及应用的思想，且对二次函数、高中的一元二次不等式等都起着非常重要的奠基作用。
学情分析
本课是根据学生已有的学习经验和生活经验，选取教材一元二次方程的应用（2）：增长（降低）率的问题。这节知识虽是学生所熟悉的，但由于学生缺乏实际的操作而显得有些纸上谈兵。为了让学生所学知识真正用于生活，也为了让学生明白数学知识是来源于生活，因而在教学中，以生活情景为背景，以实际问题为中心，进行自主探究、合作交流。该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。同时本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。
教学方法
小组合作、类比学习法
教学手段
电子白板、展台等多种教学用具，学生表演等方式
教学措施
结合武松打虎情境导入，激发求知欲望
类比复习增长类题目，迁移到新知识并转化成方程的问题
学习过程让学生自主表演，带给学生轻松愉快学习氛围，激发学生思维；学习中通过小组合作形式，提高学习积极性
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
直接导入 明确目标
同学们“智慧点亮课堂，知识成就梦想”，这节课我们继续探究一元二次方程中增长（降低）率的问题，首先看一下我们的学习目标。
现在就让我们向着目标扬帆启航！
同学们请看大屏幕，这张图片是……武松为民除害的英雄壮举，一直流传至今，景阳冈酒也因此而驰名。现在就让我们走进温故而知新，一起探讨景阳冈酒所引发的一系列问题。
1.今年1月份景阳冈武松打虎系列500ml每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长20%，则:
二月份每瓶的售价为 元；三月份每瓶的售价为 元。
2、今年1月份景阳冈酒武松打虎系列500ml每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长率为x，则:
二月份每瓶的售价为 元；三月份每瓶的售价为 元。（填含x的式子）
直接导入，明确目标
利用武松打虎图片引出复习问题
明确目标，观看武松打虎图片
思考问题
1、采用看武松打虎图片对学生进行德育教育
2、引出景阳冈酒的系列问题，激发学习求知欲
二、自主学习 尝试探究
（一）、下面就让我们来尝试一下吧（你敢尝试吗）
今年1月份景阳冈酒武松打虎系列500ml每瓶的价格为50元，非常畅销，于是公司连续两次涨价后每瓶卖72元，求平均每次涨价的百分率.
若设平均每次涨价的百分率是x，则两次涨价后每瓶价格用x表示为 ，
可列方程为 。
（二） 学生表演情景剧：谁能帮帮我？
大家好，我是经理，我是售货员。
经理：小李呀，咱们新进的那款秋装卖得怎么样了？ 售货员：哎呀，经理，你是不知道，一开始我定价100元，结果连个问的人都没有，我就降了一次价，哎还是没人买，我又降了一次价，这回降到81元，被抢购一空了。经理我牛吧，还没到你给的最低价呢！
经理：做得好，回头你把平均每次降低的百分率报给我，我给你发奖金（经理离去）
售货员：啊，这个我不会呀，同学们你们能帮帮我吗？
请同学们认真听，从中提练出一个数学问题。
进入尝试2
某服装超市一款服装搞促销，衣服的原价为100元，连续两次降价后为81元，求这款衣服平均每次降低的百分率.
活动（一）
多媒体展示尝试题目
2、引导学生学会设未知数
活动（二）
指定两位同学进行情景表演
多媒体展示商场售货情景及尝试2
活动（一）
1、学生自己分析并独自完成在导学案上。
已知量、未知量和等量关系
2、一学生板演并讲解
3、根据学生的板演，及时强调做此类型题的思路与方法
活动（二）
观看两们学生表演
认真听，从中提练出一个数学问题
小组合作齐努力，看看谁能帮小李
学生小组讨论尝试2并完成在导学案上
活动（一）
将复习导入的题目加以修改，转化成一元二次方程尝试问题，使学生形成知识的迁移
引导学生同桌交流，讲解自己的观点，锻炼学生分析问题能力以及表达能力.并为后面的练习做好铺垫。
活动（二）
通过学生表演情景剧，将学生的学习兴趣进一步提升
利用增长率的问题的题目类比出降低率的问题
鼓励学生小组合作，锻炼学生分析问题能力以及表达能力。
三、成果展示 归纳总结
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a，设平均变化率为x，二次变化后数据为b,则可列方程为 。解得方程的值后，还要依据条件，做出符合题意的解答。
电子白板出示问题
电子白板展示答案
指名口答，作出评价
学生口答
填写在在导学案上
通过尝试题，引导学生掌握运用增长（降低）率解决实际问题的方法，得出模型。
四、小试身手 巩固新知
1、机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(称为环保车).按计划该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆,求这种环保汽车的数量的百分率.若设平均每年增长的百分率为x，则所列方程为 .
2、上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。列所列方程中正确的是（ ）
A 、168（1+x）2=128 B、168（1-x）2=128
C、168（1+ x%）2=128 D、168（1- x%）2=128
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
1、电子白板出练习题目
2、利用电子白板展示学生组讨论答案
1、学生独立完成后，以小组为单位，由组长带领组员订正答案，讨论交流
2、组长帮助有错误的同学找出错误的原因，及时订正错误。
1、学生应用模型解决实际问题，体验模型应用的方便。
2、引导学生熟练运用公式解决问题，并使学生体会到成功的喜悦
3、小组讨论订正答案，提高学生合作学习能力，培养学生的团结协作能力。
五.合作探究 大展身手
（一）合作探究
小明家承包的土地前年的粮食产量是50吨，前年、去年、今年的总产量是182吨，小明家去年、今年平均每年粮食产量的增长率是多少？
分析：设平均每年的增长率为x
年份
前年
去年
今年
三年
之和
产量（吨）
大展身手
（二）大展身手
1.我校去年对实验器材的投资为2万元，如果平均每年投资额的增长率相同设为x.若预计明年的投资额为4.5万元，则可列方程为 .
变式：若预计今年、明年的投资额共7.5万元，则可列方程为 2.为了绿化校园，某中学在今年植树200棵，计划到2018年底使这三年的植树总数达到950棵，求该校植树平均每年增长的百分率为 。
电子白板展示问题
学生讲解过程及时补充
教师及时强调，及时表扬
展示变式练习
1、以小组为单位，借助导学案的提示讨论完成
2、小组代表交流
3、小组合作交流
在前面学习的基础上，再分析这个题目，让学生自己找出与前面题目的不同
全班交流的时候关键是让学生多说，引导学生多动脑筋思考，提供机会让学生走上讲台当“小老师”，给学生提供表现自己的机会，培养她们的语言表达能力和思维能力。
变式练习让学生辨别题目间的联系和区别
小组讨论订正答案，培养学生的团结协作能力。
六、总结课堂，盘点收获
本节课“我知道了…”，
“我发现了…”，
“我学会了…”，
“我想我以后将…”
出示收获提示
教师强调应该注意的问题。
1、学生反思本节收获
2、展示交流收获
1、引导学生谈收获，学生可以畅所欲言，引导他们大胆表达自己的想法，
2、学生体会数学思想方法，并使他们养成及时总结的好习惯。
七、栓测反馈 全员达标
必做
1.某农场粮食产量是：2014年1200万千克，2016年为1452万千克.如果平均每年的增长率为x，则可得方程( )
A.1200(1+x)2=1452 B.1200(1+2x)=1452
C.1200(1+x%)2=1452 D.1200(1+x%)=1452
2.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2×x=1000
C.200+200×3×x=1000
D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
选做：
某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次降低的百分率相同，则每次降低的百分率是多少？
1、出示2组题，分必做和选作
2、指名纠错
3、同位交流纠错
1、学生独立完成
2、交流答案，其他学生判断
3、纠错
1、试题异步，使不同层次的学生都有收获
2、同位纠错，合作学习
综合评价 不断提高
自评
互评
师评
掌握知识的情况
参与活动的积极性
给自己一句鼓励的话
评价等级：A、B、C、D
出示评价表格
收评价表进行师评
1、学生自己进行自评和互评
根据本节课学习的情况对自评，互评和师评，促进每个同学都有收获。
布置作业 课外延伸
情景表演：
杨白劳：少东家，大雪封山十几天，家里没米没柴，已经好几天揭不开锅了，你行行好，再借点米吧！
黄世仁：哼，杨白劳，前年你借的10斗米还没还呢！
杨白劳：啊，少东家，今年秋粮下来不是已经还给您10斗了吗？
黄世仁：那点米哪够啊，你还得还给我30斗呢！
杨白劳：啊这么多！同学们，我没念过书，这个黄世仁是怎么算的？
强调学生认真听，注意作业要求
两位同学表演情景剧
查看作业及要求
通过情景剧的形式，设计了一个比较开放的题目，引导学生将所学的数学知识应用于现实生活中，使学生进一步体会到数学来源于生活，又应用于生活。
教师赠语
无论做什么事情，只要肯努力，是没有不成功的！
1、出示赠语
2、朗读赠语
听、看、思赠语
增强学生自信，提高学习积极性
板书设计
一元二次方程的应用（2） 一方程：a(1±x )2=b
二注意：直接开平方法
验根
三思想：转化思想
方程思想
类比思想
8.6.2一元二次方程的应用(2)
评测练习
一、温故而知新
1.今年1月份景阳冈武松打虎系列500ml每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长20%，则:
二月份每瓶的售价为 元；三月份每瓶的售价为 元。
2、今年1月份景阳冈酒武松打虎系列500ml每瓶的价格为50元，非常畅销，于是超市决定涨价出售，若平均每月增长率为x，则:
二月份每瓶的售价为 吨；三月份每瓶的售价为 吨。（填含x的式子）
二、小试身手
1、机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题,某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(称为环保车).按计划该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆,求这种环保汽车的数量的百分率.若设平均每年增长的百分率为x，则所列方程为 .
2、上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。列所列方程中正确的是（ ）
A 、168（1+x）2=128 B、168（1- x%）2=128
C、168（1+ x%）2=128 D、168（1-x）2=128
3、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
三、大展身手
1.我校去年对实验器材的投资为2万元，如果平均每年投资额的增长率相同设为x.若预计明年的投资额为4.5万元，则可列方程为 .
变式：若预计今年、明年的投资额共7.5万元，则可列方程为
2.为了绿化校园，某中学在今年植树200棵，计划到2018年底使这三年的植树总数达到950棵，求该校植树平均每年增长的百分率为 。
四、达标测试
必做：
1.某农场粮食产量是：2014年1200万千克，2016年为1452万千克.如果平均每年的增长率为x，则可得方程( )
A.1200(1+x)2 =1452 B.1200(1+2x)=1452
C.1200(1+x%)2=1452 D.1200(1+x%)=1452
2.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2×x=1000
C.200+200×3×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
选做：
某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次降低的百分率相同，则每次降低的百分率是多少？
