专题04圆与方程（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（文）黄金讲练

学习目标
通过复习帮助同学们系统掌握本章知识；
2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用。
二、知识梳理
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后令
其中的判别式为，则有；；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
5、空间直角坐标系
（1）定义：如图，是单位正方体.以A为原点，
分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
（1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：
三、典型例题
例1.求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.
【方法规律】用待定系数法设圆的方程（圆系方程或一般方程或标准方程），根据条件求系数。
变式练习1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．
【答案】(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
例2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【解析】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2， 故|MC|＝＝1，
由点到直线的距离公式得＝1，
解得k＝. 故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2，所以符合题意．
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
【方法规律】解决有关圆的问题时，注意几何意义的运用。
变式练习2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．
【答案】(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【解析】设所求圆C的方程为( x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.
由题意得解得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
例3.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
变式练习3．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
【解析】设另一端点C的坐标为(x，y) .依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以≠4.且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．
综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.
例4. 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.
【方法规律】求、y-x、x2+y2的最值，联想其几何意义。
变式练习4.若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．
【答案】－3－1.
【解析】原方程化为(x＋4)2＋(y－3)2＝9， 设x＋y＝b，则y＝－x＋b，
可见x＋y的最小值就是过圆(x＋4)2＋(y－3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b的最小值，此时，直线与圆相切，
由点到直线的距离公式得＝3.解得b＝3－1或b＝－3－1，
所以x＋y的最小值为－3－1.
四、课堂练习
1.圆的半径为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由圆，通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.
2．直线与圆的位置关系为
A. 相切 B. 相交但不过圆心 C. 直线过圆心 D.相离
【答案】B
【解析】圆 的圆心，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交但不过圆心。故选B。
3.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．
【答案】x2＋y2＝25
【解析】原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.
4.一直线过点，被圆截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程。
【答案】（1） （2）
五、课后练习
1.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据圆的标准方程，因为圆心在轴上，排除C；又经过点，代入剩余选项得只有A正确。另解：设圆的方程为，将点代入得，所以方程为。故选A。
2.经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，)的切线方程是(　　)
A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0
C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0
【答案】D
【解析】∵点M(2，)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝，∴过点M的切线的斜率为k＝－.
故切线方程为y－＝－(x－2)．即2x＋y－10＝0.故选D。
3．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C． x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
【答案】A
【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0.故选A。
4.已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2
【答案】D
5.已知圆与圆相内切，则实数m的值为 ．
【答案】1或121
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为6，由两圆外切可知或
6.若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】x＝?x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是.
7.求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．
8.如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2) 当|MN|=时，求直线l的方程。
【答案】x＋y－13＝0和3x－y－16＝0