专题05常用逻辑用语（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金讲练

一、学习目标：
（1）通过复习理解命题概念及分类,懂得判断真假命题的方法,通过具体的例子理解四种命题之间的联系.
（2）根据具体的例子会判断充分条件、必要条件、充要条件.
（3）从具体的例子中去理解“且命题”、“或命题”、“非命题”的特点，会判断一个. “且命题”、“或命题”、“非命题”的真假。
（4）会区别一个否命题、命题的否定、含有一个命题量词的否定.
二、知识梳理
1.命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.
2、四种命题及其相互关系
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，
它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，
它们的真假性没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；
若，则是的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若，则是充分条件，是的必要条件；
②若，但 ，则是充分而不必要条件;
③若 ，但，则是必要而不充分条件;
④若且，则是的充要条件；
⑤若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知满足条件，满足条件：
①若,则是充分条件；②若,则是必要条件；
③若A B，则是充分而不必要条件;
④若B A，则是必要而不充分条件;
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.
⑵复合命题的真假判断
“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
全称命题：，它的否定：
全称命题的否定是特称命题．
特称命题：，它的否定：
特称命题的否定是全称命题.
三、典型例题
例1.指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0;
(3)对任意向量a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＞1.
【分析】(1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？
变式练习1给出下列四个命题：
①梯形的对角线相等；
②对任意实数x，均有x＋2>x；
③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④有些三角形不是等腰三角形．
其中所有正确命题的序号为________．
【答案】②③④
【解析】①中直角梯形的对角线不相等；②显然成立；③x2＋x＋1＝＋>0，成立；④显然成立．
例2.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q: 存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【分析】(1)以上命题是全称命题还是特称命题？(2)怎样对这些命题进行否定？
【解析】(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是? p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以? p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是? q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得? q是真命题．
(3)这一命题的否定形式是? r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知? r是假命题．
(4)这一命题的否定形式是? s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以? s是假命题．
【说明】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法：
1．确定类型：是特称命题还是全称命题．
2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
3．否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
变式练习2.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角。
B．至少有一个实数x，使x2≤0。
C．两个无理数的和必是无理数。
D．存在一个负数x，使>2。
【答案】B
【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
例3.已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义；命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
变式练习3.判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解析】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又∵原命题与它的逆否命题等价，
∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真.
【说明】转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化。
三、课堂练习
1.“a>0”是“|a|>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查充要条件的判断，∵a>0?|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．故选A。
2.下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R,2x－1>0　　　 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2
【答案】B
【解析】对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0，故选B.
3.已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q与同时为假命题，则实数x的取值范围为________．
【答案】1≤x<2
【解析】由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，|x－2|≤1，得1≤x≤3，
∵p∧q与同时为假命题，∴q为真命题，p为假命题，∴1≤x<2.
4.写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．
【答案】真命题
四、课后练习
1.下列语句不是命题的有（　　　）
①x2-3=0　②与一条直线相交的两直线平行吗　③3+1=5　④5x-3＞6
A.①③④　　　　B.①②③　　　　C.①②④　　　　D.②③④
【答案】C　
【解析】根据命题的定义知，③是命题。故选C.
命题“若a＞b,则ac2＞bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为 （　　）
A.3　　　　　　B.2　　　　　　C.1　　　　　　D.0
【答案】B
【解析】若a＞b,当c=0时，则ac2=bc2，所以原命题是假命题；逆命题“若ac2＞bc2,则a＞b”为真命题，否命题也为真命题。故选B。
3.给出命题：p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为( )
A.0　　　　　　B.3　　　　　　C.2　　　　　　D.1
【答案】D
【解析】p:3>1;为真；q:4∈{2,3}，为假，则“p且q为真”；“非p”为假中，真命题的个数为1，选D
4.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　)
A.都为真 B.都为假 C.否命题为真 D.逆否命题为真
【答案】D
【解析】原命题为真命题,所以逆否命题也为真命题.逆命题是“若{x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,是假命题(如a=1,b=-2,c=-3),则否命题是假命题.故选D。
5.有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③若“b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④若p∨q为假命题,则p,q均为假命题.
其中真命题的序号是　　　　　.(把所有正确命题的序号都填上)?
【答案】①③④
【解析】对①,逆命题“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;对②,否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题;对③,Δ=4b2-4(b2+b)≥0,即b≤0,∴b≤-1时,方程有实根,即命题为真命题,逆否命题也为真命题;对④,p∨q假时,p,q一定均假,∴④正确.故①③④正确.
6.已知命题p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　.?
【答案】a≤-2或a=1
【解析】∵“p∧q”为真命题,∴p,q均为真命题.由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤-2或a≥1.∴当p,q同时为真时,有a≤-2或a=1.
7.写出命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题、否命题和逆否命题,并且判断它们的真假.
【答案】见解析
8.已知命题p:x2-8x-20≤0,命题q: x2-2x+1-a2≥0(a>0),若??p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
【答案】 0【解析】由已知??p:x>10或x<-2,记A={x|x<-2,或x>10}.
q:x≤1-a或x≥1+a,
记B={x|x≤1-a,或x≥1+a}(a>0).∵??p是q的充分不必要条件,∴A?B,∴解得0