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北师大版数学九年级（下）课时教学设计
课题 2.2二次函数的图象与性质（1） 单元 2 学科 数学 年级 九
学习目标 1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系.
重点 会用描点法画二次函数y=x2、y=-x2的图象，掌握它的性质．
难点 通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么是二次函数？答案：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数.2.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？答案：一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线反比例函数的图象是双曲线3.怎样画一个函数的图象呢？答案：列表、描点、连线 学生回答问题 对所学习过的二次函数、函数图象、画函数的图象的方法进行复习.为新课的学习做好知识上的铺垫.
讲授新课 你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗 答案：1. 列表：观察y=x2的表达式，选择适当的x值，计算相应的y值.x…-3-2-10123…y=x2…9410149…2. 描点： ( http: / / www.21cnjy.com )3. 连线：用光滑的曲线连接各点.问题1：你能描述图象的形状吗？答案：二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？答案：有，(0，0).问题3：当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？答案：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.问题4：当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？答案：x=0时，y最小=0.问题5：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.答案：是轴对称图形，对称轴是y轴.归纳1：二次函数y=x2的图象是一条抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线，它的开口向上，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.做一做：二次函数y=－x2的图象是什么形状，先想一想，然后画出它的图象. 它的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？答案：y=－x2的图象如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳2：二次函数y=-x2的图象是一条抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线，它的开口向下，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.归纳3：抛物线y=x2y=－x2图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴y轴位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.最值当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0读一读：二次函数的广泛应用二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型。某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：；导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：；g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度h与下落时间t之间的关系是： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 学生画二次函数 y=x2 的图象学生讨论、交流并回答案问题.学生讨论、交流并回答案问题.在师的引导下归纳二次函数y=x2和 y=-x2的图象和性质学生自主完成阅读. 通过画图，形成二次函数的图象.初步形成二次函数y=x2的图象和性质.初步形成二次函数y=-x2的图象和性质.归纳二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质.体会二次函数的广泛应用
巩固提升 1．关于函数y＝x2的性质表述正确的一项是( )A．无论x为任何实数，y的值总为正B．当x值增大时，y的值也增大C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限内答案：C变式训练：若二次函数y＝x2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2)答案：A2．点A(3，m)是抛物线y＝－x2上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，则m＝_____，点A关于y轴的对称点B的坐标是__________，也在抛物线y＝－x2上．答案：－9，(－3，－9)变式训练：抛物线y＝－x2不具有的性质是( )A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．与y轴不相交 D．最高点是原点答案：C3．关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( )①它们的图象都是抛物线；② ( http: / / www.21cnjy.com )它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过(0，0)；④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：A变式训练1：已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3答案：C变式训练2：如图，从y＝－x2的图象上可看出当－3课堂小结 说一说二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质. 学生根据问题回答. 对本课所学知识进行梳理.
布置作业 教材32页习题2.2第1、2题． 学生课后独立完成 检测本课学习效果.
板书 课题：2.2二次函数的图象与性质（1）
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二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质
例题板演
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2.2 二次函数的图象与性质（1）
数学北师大版 九年级下
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教学目标
导入新课
反比例函数
一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线
1.什么是二次函数？
一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数.
2.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
的图象是双曲线
3.怎样画一个函数的图象呢？
列表、描点、连线
教学目标
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗
1. 列表：
2. 描点：
3. 连线：
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
观察y=x2的表达式，选择适当的x值，计算相应的y值.
y=x2
用光滑的曲线连接各点.
教学目标
新课讲解
问题1：你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
教学目标
新课讲解
问题2：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0，0).
教学目标
新课讲解
问题3：当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
教学目标
新课讲解
问题4：当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
x=0时，y最小=0.
教学目标
新课讲解
问题5：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.
是轴对称图形，
对称轴是y轴.
教学目标
新课讲解
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
教学目标
新课讲解
做一做：二次函数y=－x2的图象是什么形状，先想一想，然后画出它的图象. 它的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
二次函数y=-x2的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
抛物线 y=x2 y=－x2
图象
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 y轴 y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
最值 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0
教学目标
新课讲解
归 纳
教学目标
新课讲解
读一读：二次函数的广泛应用
二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型。
某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度h与下落时间t之间的关系是：
教学目标
巩固提升
1．关于函数y＝x2的性质表述正确的一项是( )
A．无论x为任何实数，y的值总为正
B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称
D．它的图象在第一、三象限内
变式训练：若二次函数y＝x2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
C
A
教学目标
巩固提升
变式训练：抛物线y＝－x2不具有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点
C
2．点A(3，m)是抛物线y＝－x2上的一点，则m＝_____，点A关于y轴的对称点B的坐标是__________，也在抛物线y＝－x2上．
－9
(－3，－9)
教学目标
巩固提升
3．关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( )
①它们的图象都是抛物线；
②它们的图象的对称轴都是y轴；
③它们的图象都经过(0，0)；
④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
教学目标
巩固提升
变式训练1：已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
C
变式训练2：如图，从y＝－x2的图象上可看出当－3－9＜y≤0
教学目标
巩固提升
4．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，如图所示，其中A(－1，－1)，求△OAB的面积．
教学目标
课堂小结
说一说二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质.
教学目标
布置作业
教材32页习题2.2第1、2题．
谢 谢！
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2.2 二次函数的图象与性质（1）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、单选题
1. 在同一坐标系中，抛物线y=x2， y= x2的共同特点是（ ）
A. 关于y轴对称，开口向上
B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大
C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小
D. 关于y轴对称，顶点是原点
2．若点A（2，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=（ ）．
A.2 B.－2 C.4 D.－4
3.已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
4.如图， A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）21教育网
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A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
5.在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
6．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
7．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转180°得到．www.21-cn-jy.com
8．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
9．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点坐标为 ．
10.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________．21cnjy.com
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三、解答题
11.二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
12.直线y＝－2与抛物线y＝－x2交于A，B两点，点P在抛物线y＝－x2上，若△PAB的面积为2，求点P的坐标．2·1·c·n·j·y
参考答案
1.D
【解析】y=x2， y= x2的共同特点是关于y轴对称，顶点是原点.
故选D.
2.D
【解析】解：把A（2，m）代入y=－x2得，
m=－22=－4.
故选D.
3.C
4.C
【解析】解：∵线段AB⊥y轴，且AB= ( http: / / www.21cnjy.com )6，
∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3，
当x=3时，y=x2=32=9，
∴直线AB的表达式y=9．
故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
5. A
【解析】根据一次函数y=x图象和二次函数y=x2的图象即可得出答案.
解：一次函数y=x的图象过原点位于一、三象限的直线；二次函数y=x2的图象是一条抛物线，位于一、二象限，顶点是原点.21·世纪*教育网
故选A.
6.（0，0）；
【解析】函数y=x2的顶点坐标为(0,0)，
∵点(a,4)在其图象上，
∴a2=4，
解得a=±2.
故答案为：(0,0)，±2.
7. y轴；原点
【解析】函数y=x2与y=-x2的图象顶点都是原点，开口方向相反，故可理解为关于x轴对称，也可以理解为绕原点旋转180°．21世纪教育网版权所有
故答案为：y轴；原点.
8. y= 2x2
【解析】∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点P(2, 8)，
∴4a= 8，
解得a= 2，
所以,函数表达式为y= 2x2.
故答案为：y= 2x2.
9. y轴；（0,0）
【解析】二次函数y=x2的图像关于y轴对称，抛物线与对称轴的交点坐标为（0,0）
故答案为：y轴；（0,0）
10. 2π
【解析】∵C1是函数y=x2的图象,C2是函数y= x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为：π×22=2π.
故答案为：2π.
11. （1）a＝1，m＝1；（2）y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴21·cn·jy·com
【解析】解：(1)将(1，m)代入 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1.所以P点坐标为(1，1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，得a＝1.即a＝1，m＝1 (2)二次函数的表达式：y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴
12. P1(0，0)，P2(2，－4)，P3(－2，－4)
【解析】解：A(－，－2)，B( ( http: / / www.21cnjy.com )，－2)，∴AB＝2，设P(x，－x2)，由×2×|－x2＋2|＝2，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2，∴P1(0，0)，P2(2，－4)，P3(－2，－4)
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