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北师大版数学九年级（下）课时教学设计
课题 2.1 二次函数 单元 2 学科 数学 年级 九
学习目标 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式.
重点 对二次函数概念的理解.
难点 由实际问题确定函数解析式.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么是函数？答案：在一个变化的过程中，有两个变量x和y,并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.2.我们学过哪些函数？答案：一次函数：y=kx+b (k≠0)特殊的一次函数：正比例函数y=kx (k≠0)反比例函数： 学生回答问题 对所学习过的函数内容进行复习
讲授新课 例：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均 ( http: / / www.21cnjy.com )结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. ( http: / / www.21cnjy.com )因变量：(1)问题中有那些变量？其中哪些是？哪些是因变量？答案：变量：果园橙子的总产量，果园里增种的橙子树的棵树自变量：果园里增种的橙子树的棵树因变量：果园橙子的总产量(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有________棵橙子树;这时平均每棵树结__________个橙子.答案： (100+x)；(600－5x)(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.答案：y=(100+x)(600－5x)=－5x +100x+60000.做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. ( http: / / www.21cnjy.com )设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期 ( http: / / www.21cnjy.com )后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).解：y=100(x+1) =100x +200x+100想一想：(1)已知矩形的周长为40cm，它的面积可 ( http: / / www.21cnjy.com )能是100cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？解：设其中一边为xcm,面积为ycm2，则y= x(20-x)=－x2+20x (2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？解： y= x(20-x)=－x2+20x归纳：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.温馨提示：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 学生思考并回答问题 通过分析实际问题形成二次函数的定义.
巩固提升 1.下列函数中,哪些是二次函数？(1)y=3x +x－1；(2) s=3-2t2；；(4)y=(x+3) -x .答案：（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是变式训练：下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋答案：C2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.(1)y=(x-2)(x-3);(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.3.如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是______ .答案：0或3变式训练：如果函数y=(k－3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ . 答案：04．下列关系中，为二次函数的是( )A．大米每千克4元，购买数量x千克与所付钱数y元B．圆的面积S(cm2)与半径r(cm)C．矩形的面积为20(cm2)，两邻边长x(cm)与y(cm)D．气温T(℃)随时间t(时)的变化答案：B变式训练：正方形的边长为5cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2.(1)写出y与x的函数关系式及自变量取值范围；(2)当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加多少？解：(1)y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x（x>0）；(2)当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；当x＝3时，y＝32＋10×3＝39.所以当正方形的边长分别增加2 cm，3cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2. 学生独立完成，并展示交流. 对所学知识进行巩固
课堂小结 1.说一说什么是二次函数？2.实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？ 学生根据问题回答. 对本课所学知识进行回顾总结.
布置作业 教材30页习题2.1第1、3题． 学生课后独立完成 检测本课学习效果.
板书 课题：2.1二次函数
( http: / / www.21cnjy.com )
二次函数的
定义
例题板演
学生展示
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2.1 二次函数
数学北师大版 九年级下
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教学目标
导入新课
反比例函数：
一次函数：y=kx+b (k≠0)
正比例函数：y=kx (k≠0)
1.什么是函数？
在一个变化的过程中，有两个变量x和y,并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
2.我们学过哪些函数？
特殊的一次函数
因变量：
教学目标
新课讲解
(1)问题中有那些变量？其中哪些是？哪些是因变量？
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
果园橙子的总产量
果园里增种的橙子树的棵树
自变量：
教学目标
新课讲解
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有________棵橙子树;这时平均每棵树结__________个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(100+x)
(600－5x)
教学目标
新课讲解
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
y=(100+x)(600－5x)
=－5x +100x+60000.
教学目标
新课讲解
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
做一做：设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
解：y=100(x+1)
=100x +200x+100
教学目标
新课讲解
(1)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
解：设其中一边为xcm,面积为ycm2，则
y= x(20-x)=－x2+20x
想一想：
(2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
解： y= x(20-x)=－x2+20x
教学目标
新课讲解
y=－5x +100x+60000
y=100x +200x+100
y= －x2+20x
一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数.
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
温馨提示:
教学目标
巩固提升
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1)y=3x +x－1
(2) s=3-2t2
(4)y=(x+3) -x
是
是
不是
不是
C
为什么不是二次函数？
教学目标
巩固提升
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
变式训练：如果函数y=(k－3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ .
0
3.如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是______ .
0或3
教学目标
巩固提升
4．下列关系中，为二次函数的是( )
A．大米每千克4元，购买数量x千克与所付钱数y元
B．圆的面积S(cm2)与半径r(cm)
C．矩形的面积为20(cm2)，两邻边长x(cm)与y(cm)
D．气温T(℃)随时间t(时)的变化
B
变式训练：正方形的边长为5cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式及自变量取值范围；
(2)当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加多少？
解：(1)y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x（x>0）；
(2)当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；
当x＝3时，y＝32＋10×3＝39.
所以当正方形的边长分别增加2 cm，3cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2.
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
1.说一说什么是二次函数？
2.实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
教学目标
布置作业
教材30页习题2.1第1、3题．
谢 谢！
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2.1二次函数
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、单选题
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A. y=﹣4x B. EMBED Equation.DSMT4 C. y=﹣x2﹣x D. y=﹣x﹣1
2．函数是二次函数的条件是（ ）
A. 、为常数，且m≠0 B. 、为常数，且
C. 、为常数，且n≠0 D. 、可以为任何数
3．如果函数 EMBED Equation.DSMT4 是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）
A. 1或2 B. 0或2 C. 2 D. 0
4．某商店从厂家以每件21 ( http: / / www.21cnjy.com )元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350－10x）件，那么商品所赚钱数y元与售价x元之间的函数关系式为（ ）2·1·c·n·j·y
A. y＝－10x2－560x＋7350 B. y＝－10x2＋560x－7350
C. y＝－10x2＋350x D. y＝－10x2＋350x－7350
5．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；【来源：21·世纪·教育·网】
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.21·世纪*教育网
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
6．二次函数y＝ax2中，当x＝1时，y＝2，则a＝___.
7．二次函数．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为_______．
8．已知方程，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为________，成立的条件是______，是______函数．
9．若函数 EMBED Equation.DSMT4 是二次函数，则m的值为_____．
10．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x（x＞0），若该车某次的刹车距离为9m，则开始刹车时的速度为 m/s
三、解答题
11．把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）y＝x2＋（x＋1）2；
（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；
（3）y＝4x2－12x（1＋x）；
（4）y＝（x＋1）（x－1）.
12．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系: ．若这种产品每天的销售利润为 (元).求与之间的函数关系式．21世纪教育网版权所有
参考答案
1．C
【解析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，可知y=﹣x2﹣x是二次函数.21教育网
故选C.
2．B
【解析】由题意得,所以、为常数，且,选B.
3．D
【解析】由题意得： ，解得k=0.故选D.
4．B
【解析】根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x-21）（350－10x）=－10x2＋560x－7350，故选B.21cnjy.com
5．C
【解析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．21·cn·jy·com
6．2
【解析】将x＝1，y＝2代入y＝ax2中，解得a＝2.
7．
【解析】．当x＝2时，y＝3代入函数，解得b=2.
.
8． a、c均不为0 二次
【解析】(1). ,，(2)a、c均不为0, (3)是二次函数.
9．-3
【解析】由题意得,解得m=,所以m=-3.
10．90
【解析】将函数值y=9代入二次函数，然后解一元二次方程即可，注意舍去不合题意的根．
解：当刹车距离为9m时，
即y=9，代入二次函数解析式：
9= ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x．
解得x=90或x=﹣100（舍），
故开始刹车时的速度为90m/s．
故答案为：90．
11．答案见解析
【解析】（1）根据整式的乘法计算后合并 ( http: / / www.21cnjy.com )同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（4）根据平方差公式计算后即可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可．www.21-cn-jy.com
解：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，
∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1.
（2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2，
∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2.
（3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x，
∴一般形式为y＝－8x2－12x，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.
（4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，
∴一般形式为y＝x2－1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－1.
12．
【解析】利用单价利润总销售量=总利润.
解： .
.
( http: / / www.21cnjy.com )
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