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课题：13.1.2线段的垂直平分线的性质
教学目标：
掌握线段的垂直平分线的性质和判定，会画轴对称图形的对称轴，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．2·1·c·n·j·y
重点：
线段的垂直平分线的性质和判定定理的条件及轴对称图形的对称轴的画法.
难点：
灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．
教学流程：
一、知识回顾
1.什么是线段的垂直平分线？
答案：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2.轴对称的性质是什么？
答案：对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
二、探究
问题：如图，直线l 垂直平分线段AB，P ( http: / / www.21cnjy.com )1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．21教育网
答案：相等
你能得到什么结论呢？
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
追问2：你能证明这个结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
符号语言：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
想一想：反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
追问：你能证明这个结论吗？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：过点P直线l⊥AB， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵PA =PB，PC =PC，
∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴AC =BC．
又PC⊥AB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
追问2：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个呢？
归纳：在线段AB 的垂直平分线l 上的点与 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．
归纳：线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
想一想：如何利用直尺和圆规，经过已知直线外一点作这条直线的垂线呢？
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
(3)分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F；
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
追问：为什么直线CF就是所求作的垂线？
∵CD=CE，FD =FE，
∴C、F都在DE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分DE．
∴CF⊥AB.
问题：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：作任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
例：如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
作法：如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
强调：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点.
想一想：如何找到轴对称图形的对称轴呢？
答案：作任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
练习：
1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )www.21-cn-jy.com
A．11 B．10 C．9 D．8
答案：B
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
答案：A
3．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，AM，BM，MN与AB交于点O，则AO＝____，AM＝____．
答案：BO，BM
三、应用提高
如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
答：相等.
理由：连接BC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE.
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说线段垂直平分线的性质和判定定理？
2.如何用尺规作轴对称图形的对称轴？
五、达标测评
1．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
答案：C
2．如图，点D在△ ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在________的垂直平分线上．
答案：AC
3.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是____cm.21世纪教育网版权所有
答案：3
4．如图, AD⊥BC, BD＝CD, 点C在AE的垂直平分线上. 若AB＝5 cm, BD＝3 cm, 求BE的长．21·cn·jy·com
解：∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝6 cm，
又∵AD⊥BC，
∴AB＝AC＝5 cm.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CE＝AC＝5 cm，
∴BE＝BC＋CE＝11 cm
六、布置作业
教材64页习题13.1第6题．
21世纪教育网www.21cnjy.com精品试卷·第2页(共5页)
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
13.1.2线段的垂直平分线的性质
学校：________
教师：________
知识回顾
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
1.什么是线段的垂直平分线？
2.轴对称的性质是什么？
对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
探究
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
相等
你能得到什么结论呢？
探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质
符号语言：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
探究
想一想：反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P直线l⊥AB， 垂足为C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
探究
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个呢？
在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．
l
探究
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
探究
想一想：如何利用直尺和圆规，经过已知直线外一点作这条直线的垂线呢？
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K ，使
点K与点C 在直线AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半
径作弧，交AB于点D和E；
(3)分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长
为半径作弧,两弧相交于点F；
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
探究
想一想：如何利用直尺和圆规，经过已知直线外一点作这条直线的垂线呢？
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
为什么直线CF就是所求作的垂线？
∵CD=CE，FD =FE，
∴C、F都在DE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分DE．
∴CF⊥AB.
探究
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
作任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
探究
如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：如图．
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点.
探究
想一想：如何找到轴对称图形的对称轴呢？
作任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
你能做出这个五角星的其他对称轴吗？
练习
1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A．11
B．10
C．9
D．8
B
练习
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
练习
3．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，AM，BM，MN与AB交于点O，则AO＝____，AM＝____．
BO
BM
应用提高
如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
答：相等.
理由：连接BC，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE.
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.说一说线段垂直平分线的性质和判定定理？
2.如何用尺规作轴对称图形的对称轴？
达标测评
1．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为( )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
C
达标测评
2．如图，点D在△ ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在________的垂直平分线上．
AC
达标测评
3.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3 cm，则P点到直线AB的距离是____cm.
3
达标测评
4．如图, AD⊥BC, BD＝CD, 点C在AE的垂直平分线上. 若AB＝5 cm, BD＝3 cm, 求BE的长．
解：∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝6 cm，
又∵AD⊥BC，
∴AB＝AC＝5 cm.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CE＝AC＝5 cm，
∴BE＝BC＋CE＝11 cm
布置作业
教材64页习题13.1第6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.1.2线段的垂直平分线的性质
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．如图，在△ABC中，AC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，EC=2cm，则BE的长为（ ）21·cn·jy·com
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2．如图所示，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于直线l对称，若点A到直线l的距离为2cm，则AA′的长度为（ ）www.21-cn-jy.com
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 无法确定
3．下列说法中正确的是（ ）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2·1·c·n·j·y
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ②③④
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于 EMBED Equation.DSMT4 AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. AD=CD B. ∠A=2∠DCB C. ∠ADE=∠DCB D. ∠A=∠DCA
5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A. AM=BM B. AP=BN C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠BNM
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=_____．
7．如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为_______.21·世纪*教育网
8．如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_________. www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第7题图 第8题图 第9题图
9．如图，△ABC中，∠BAC=110°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为______．2-1-c-n-j-y
10．如图，弹性小球从点 ( http: / / www.21cnjy.com )P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到 矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为P1,第 2 次碰到矩形的边时的点为P2，……第n次碰到矩形的边时的点为Pn.则点 P3 的坐标是(8， 3)，点 P2018的坐标是________.21*cnjy*com
三、解答题(每小题20分，共40分)
11．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ.
求证：BP=CQ．
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12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）ED=EC；
（2）∠ECD=∠EDC；
（3）射线OE与CD有什么关系？（直接写出结果）
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．C
【解析】∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，
∵AC=8cm，EC=2cm，
∴AE=6cm，
∴BE=6cm.
故选C.
2．A
【解析】点A与点A′是关于直线l的对称点，所以两点到直线l的距离相等，所以AA′的长度为4cm．
故选A.
3．C
【解析】①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；
②角是轴对称图形，故②正确；
③线段是轴对称图形，故③错误；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故④正确.
正确的是②④.
故选C.
4．B
【解析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选B．
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5．B
【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
6．10
【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，∴PA=PB=10，
故答案为：10．
7．9
【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB=DA，
∵AC的垂直平分线交BC于点E，
∴EA=EC,
∴C△ADE=AD+AE+DE=BD+AE+EC=BC=9.
故答案为9.
8．10
【解析】本题利用垂直平分线的性质解决，注意三角形周长的转换即可.
解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，∴AE=BE,∴△BCE的周长为：AE+EC+BC=AC+BC=6+4=10.21世纪教育网版权所有
故答案为10.
9．400
【解析】∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠BAE=∠B, ∠CAF=∠C,
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°, ∴∠EAF=110°-70°=40°.
10．（7，4）.
【解析】由图可知，每经过6次触碰就回到 ( http: / / www.21cnjy.com )出发点P（0，3），因为2018÷6=336…2，所以P2018的坐标是第2次触碰时P2的坐标（7，4）.21教育网
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11．见解析
【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO，PO=QO，根据等式的性质，可得答案．
解：过点A作AO⊥BC于O．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵ AB=AC，AO⊥BC
∴ BO=CO，
∵ AP=AQ，AO⊥BC，
∴ PO=QO，
∴ BO－PO=CO－QO
∴ BP=CQ．
12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OE是线段CD的垂直平分线.
【解析】（1）由E为∠AOB的平分线上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质，可证得ED=EC，∠OED=∠OEC，继而可证得EC=ED；（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，再根据等边对等角证明即可；(3) 利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．21cnjy.com
证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴EC=ED；
（2）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．
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