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湘教版数学九年级下册2.2.1圆心角教学设计
课题 2.2.1圆心角 单元 第二章圆 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、通过实际操作中发现圆的旋转不变性．2、结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3、能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题.
重点 能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．
难点 运用圆心角、弦、弧之间的关系解决有关的问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．2、圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形重合，这是圆的旋转不变性． 回顾圆、弧的概念和圆的对称性． 通过对知识的回顾为本节课的探究学习做好铺垫．
讲授新课 一、圆心角1、圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角．如图中所示，∠AOB就是一个圆心角．两条半径所夹的角都是圆心角．∠AOB叫作 所对的圆心角．叫作圆心角∠AOB所对的弧．弦AB叫作圆心角∠AOB所对的弦．2、在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的角也是圆心角． 3、下面所示的角中，哪个是圆心角？二、圆心角、弦、弧之间的关系1、如图，已知在⊙O中，圆心角∠AOB=∠COD．它们所对的弧与相等吗？它们所对的弦AB与CD相等吗？2、如果将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置时，因为∠AOB＝∠COD，所以射线OA与OC重合，OB与OD重合．而同圆的半径相等，OA=OC，OB=OD，从而点A与C重合，B与D重合．因此，与 重合，AB与CD重合．所以，AB=CD．归纳：在同一圆中∠AOB=∠COD，由旋转不变性得：AB=CD，．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？根据圆的旋转不变性可得：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 4、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？根据圆的旋转不变性可得：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦相等．归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等．其中一组量相等，其他两组量也相等．思考：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？5、例1 如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，求圆心角∠AOB的度数．解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC．∴∠AOB=∠COB=∠AOC．又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，∴∠AOB=（∠AOB+∠COB+∠AOC） = ×360°=120°． 观察课件，归纳圆心角的特点．列举生活中的圆心角． 识别圆心角．动手操作，根据圆的旋转不变性，探究圆心角、弦、弧之间的关系．归纳结论．小组合作交流．完成例1． 了解圆心角的概念．体会数学来源于生活，生活中处处有数学．能辨别圆心角．通过操作发现圆心角、弦、弧之间的关系．培养学生归纳能力．通过学生探究，合作交流，进一步发现圆心角、弦、弧之间的关系．会初步运用圆心角、弦、弧之间的关系解决有关的问题．
1、下面四个图中的角，为圆心角的是（ ）A． B． C． D．2、如图，在⊙O中，，∠1=45°，则∠2=（ ）A．60° B．30° C．45° D．40°3、在⊙O与⊙O′中，若∠AOB=∠A′O′B′，则AB与A′B′的关系为（ ）A．AB=A′B′ B．AB＞A′B′ C．AB＜A′B′ D．无法确定4、在⊙O中，圆心角∠AOB和∠COD相等，那么下列结论中错误的个数为（ ）①；②AB=CD；③△AOB≌△COD．A．0 B．1 C．2 D．35、在⊙O中，已知，则下列结论正确的是（ ）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定AB与2CD的大小关 6、如图，在⊙O中，，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC． 学生先自主思考，完成后小组交流展示成果． 通过进一点理解圆心角、弦、弧之间的关系，并能运用这些关系解决有关的问题．
课堂小结 圆心角：_____________________________．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦也_______．在同圆或等圆中，如果____________，________，__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等． 回顾本节课所学知识． 通过小结，强化对圆心角、弦、弧之间的关系的理解与运用．
板书 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等． 例1 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC．∴∠AOB=∠COB=∠AOC．又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，∴∠AOB=（∠AOB+∠COB+∠AOC） = ×360°=120°．
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2.2圆心角、圆周角（1）
湘教版 九年级下
导入新知
1、圆的对称性
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2、圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？
圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原图形重合，这是圆的旋转不变性．
新知讲解
圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角．
两条半径所夹的角都是圆心角．
如图中所示，∠AOB就是一个圆心角．
弦AB叫作圆心角∠AOB所对的弦．
∠AOB叫作 所对的圆心角．
叫作圆心角∠AOB所对的弧．
新知讲解
在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的角也是圆心角．
下面所示的角中，哪个是圆心角？
不是
不是
不是
不是
是
新知讲解
如图，已知在⊙O中，圆心角∠AOB=∠COD．它们所对的弧 与 相等吗？它们所对的弦AB与CD相等吗？
如果将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
因此， 与 重合，AB与CD重合．
新知讲解
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置时，因为∠AOB＝∠COD，所以射线OA与OC重合，OB与OD重合．而同圆的半径相等，OA=OC，OB=OD，从而点A与C重合，B与D重合．
所以 ，AB=CD．
新知讲解
在同一圆中∠AOB=∠COD，
由旋转不变性得：AB=CD， ．
∠AOB=∠COD
AB=CD
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，
那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
新知讲解
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？
AB=CD
∠AOB=∠COD
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
新知讲解
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？
∠AOB=∠COD
AB=CD
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦相等．
新知讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等．
在同圆或等圆中：
（1）圆心角；
（2）圆心角所对的弧；
（3）圆心角所对的弦；
知一推二
其中一组量相等，其他两组量也相等．
新知讲解
思考：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
新知讲解
例1 如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，求圆心角∠AOB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∴∠AOB=∠COB=∠AOC．
又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，
∴∠AOB= （∠AOB+∠COB+∠AOC）
= ×360°=120°．
1、下面四个图中的角，为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，在⊙O中， ，∠1=45°，则∠2=（ ）
A．60° B．30°
C．45° D．40°
D
C
巩固提升
3、在⊙O与⊙O′中，若∠AOB=∠A′O′B′，则AB与A′B′的关系为（ ）
A．AB=A′B′ B．AB＞A′B′
C．AB＜A′B′ D．无法确定
4、在⊙O中，圆心角∠AOB和∠COD相等，那么下列结论中错误的个数为（ ）
① ；②AB=CD；③△AOB≌△COD．
A．0 B．1 C．2 D．3
D
D
巩固提升
5、在⊙O中，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CD
B．AB＜2CD
C．AB=2CD
D．不能确定AB与2CD的大小关
B
巩固提升
巩固提升
6、如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA．
∴∠AOB=∠BOC=∠COA．
证明：∵ ，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
课堂小结
圆心角：________________________________________________．
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦也_______．
在同圆或等圆中，如果____________，________，__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等．
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角
相等
相等
两个圆心角
两条弧
两条弦
谢谢
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