2017-2018学年北师大版必修1 第四章 函数应用 单元测试

(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，可能求不出的零点是(　　)
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
解析：选C.x3为不变号零点．
2．设x0是函数f(x)＝ln
x＋x－4的零点，则x0所在的区间为(　　)
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
解析：选C.函数的图像在定义域上连续且增加，
又f(2)＝ln
2＋2－4e2＋2－4＝0，f(3)＝ln
3＋3－4>0，
所以f(2)·f(3)<0，故此函数的唯一零点x0∈(2，3)．
3.如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图像大致为四个选项中的(　　)
解析：选C.设|AB|＝a(a>0)，则f(x)＝a2－x2　(a≥x≥0)．故f(x)的大致图像是开口向下的抛物线．故选C.
4．下列关于函数f(x)的图像中，可以直观判断方程f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解的是(　　)
解析：选C.f(x)－2＝0在(－∞，0)上有解，即函数y＝f(x)与y＝2在(－∞，0)上有交点，观察可知选C.
5．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x
－2.00
－1.00
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx
D．y＝a＋
解析：选A.画出散点图可知选A.
6．洗衣服时，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B.设要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.32，因此至少要洗4次，故选B.
7．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.438)≈0.165
f(1.406
5)≈－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)为(　　)
A．1.2
　　　　　　　　　
B．1.3
C．1.4
　　　　　　　　　
D．1.5
解析：选C.因为f(1.438)>0，f(1.375)<0，
但|1.438－1.375|＝0.063>0.05，
又f(1.406
5)＝－0.052<0，|1.438－1.406
5|＝0.031
5<0.05，有解区间为[1.406
5，1.438]，
故选C.
8．若函数f(x)＝2x－mx在区间(－1，0)内有一个零点，则实数m的取值可以是(　　)
A．－1
B．1
C．－
D.
解析：选A.由题意k(x)＝2x，h(x)＝mx在(－1，0)内有一个交点(如图)，
当f(x)零点为－1时，有2－1＝m(－1)，m＝－，所以符合题意的m的取值范围是.故选A.
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2
015x＋log2
015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
　　　　　　　　　
D．2
015
解析：选C.因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2
015x＋log2
015x在区间内存在一个零点．又f(x)为增函数，因此函数在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上的零点的个数为3，故选C.
10．设函数f(x)＝若有f(x1)＝f(x2)＝a(x1≠x2)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2e)
B．[1，2e)
C．[1，＋∞)
D．[2e，＋∞)
解析：选B.由函数解析式知函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，在[2，＋∞)上也是增函数．由于f(x1)＝f(x2)＝a(x1≠x2)，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上不是增函数．当x<2时，f(x)∈(0，2e)；当x≥2时，f(x)≥f(2)＝1，即f(x)∈[1，＋∞)．由题意可得直线y＝a和函数f(x)的图像有2个交点，故有1≤a<2e.所以实数a的取值范围是[1，2e)．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11.某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q2(吨)，加油机加油箱内余油Q1(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图像如图所示．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，则运输机的油量________(填“够用”或“不够用”)．
解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油40＋30－69＝1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油量够用．
答案：够用
12．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．
解析：所倒次数1次，则y＝19，所倒次数2次，则y＝19×，所倒次数x次，则y＝19＝20，
所以y＝20.
答案：y＝20
13．若关于x的方程logx＝在区间(0，1)上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：要使方程有解，只要在函数y＝logx(0因为x∈(0，1)，所以logx>0.
所以>0.所以0答案：014．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，关于x的方程4x－2x＋1＝b(b∈R)有两不等实数根，则b的取值范围为________．
解析：由3－4x＋x2>0，解得x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．令t＝2x，t∈(0，2)∪(8，＋∞)，方程4x－2x＋1＝b可化为t2－2t＝b，令f(t)＝t2－2t，t∈(0，2)∪(8，＋∞)，其图像如图．由图像可知，要使方程有两不等实根，需y＝f(t)和y＝b图像有两个交点，可得b∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
15．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，则a＋b＝________．
解析：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，
b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，a＝－b＋3，故a＋b＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知函数f(x)图像是连续的，有如下表格：
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
判断函数在哪几个区间上一定有零点．
解：因为函数的图像是连续不断的，
由对应值表可知f(－2)·f(－1.5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0.所以函数f(x)在区间(－2，－1.5)，(－0.5，0)以及(0，0.5)内一定有零点．
17．(本小题满分10分)我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
18．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，
所以函数图像过点(－3，0)，(2，0)，
所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
因为a≠0，所以a＝－3.
所以b＝a＋8＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18.
＝－3＋＋18，
图像的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
所以函数f(x)的值域是[12，18]．
19．(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%，若未赠礼品时的销售量为m(m>0)件．
(1)写出礼品的价值为n元时，利润yn(元)与n(元)的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价值，以使商店获得最大利润．
解：(1)当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n；
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)·m·1.1n(0(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.所以y1所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19，
所以当礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝|x|＋－1(x≠0)．
(1)若对任意x∈R，不等式f(2x)>0恒成立，求m的取值范围；
(2)讨论函数f(x)零点的个数．
解：(1)由f(2x)>0得|2x|＋－1>0，
变形为(2x)2－2x＋m>0，即m>2x－(2x)2，
而2x－(2x)2＝－(2x－)2＋，
当2x＝即x＝－1时(2x－(2x)2)max＝，
所以m>.
(2)由f(x)＝0可得x|x|－x＋m＝0(x≠0)，变形为m＝－x|x|＋x(x≠0)，
令g(x)＝x－x|x|＝
作y＝g(x)的图像及直线y＝m，由图像可得：
当m>或m<－时，f(x)有1个零点．
当m＝或m＝0或m＝－时，f(x)有2个零点；
当0