九年级上册第一章二次函数专题复习讲义
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二次函数专题复习讲义
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
考点1、二次函数的定义
(1)二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
(2)对二次函数定义的理解：
①二次函数自变量的最高次数为2；
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为当a=0时，则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是常函数。
(3)二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。
题型1：二次函数一般式中的次数为2和系数不为0
若函数y=是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
题型2：二次函数的识别题型
已知下列函数：（1）y=3﹣2x2；（2）y=；
（3）y=3x（2x﹣1）；（4）y=﹣2x2；（5）y=x2﹣（3+x）2；（6）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）；
（3）交点式(两根式)：（a是常数，a≠0，x1，x2为一元二次方程的两个实根，或者x1，x2为二次函数与x轴的两个交点的横坐标。）
题型1：顶点式
设抛物线为，根据下列各条件，求的值。
（1）抛物线的顶点在轴上；（2）抛物线的顶点在轴上；（3）抛物线的顶点；（4）抛物线经过原点；
（5）当时，有最小值；（6）的最小值为.
题型2：交点式（两根式）
已知二次函数y=k（x+1）（x﹣）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）写出点C的坐标；
（2）若△ABC为等腰三角形，求k的值．
考点3、二次函数的图像
(1)抛物线：二次函数图像是一条关于直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
(2)抛物线的主要特征：(a,b,c为的系数)
①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；对称轴为直线；③有顶点；顶点坐标（，）；
④抛物线与y轴有一个交点，且坐标为（0，c）。
(3)二次函数图象的画法
一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
题型1：列表法
某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8 B．6 C．4 D．3
题型2：二次函数的图象及其画法
已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法将y=2x2﹣4x﹣6化为y=a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当x取何值时，y=0，y＞0，y＜0；（5）当0＜x＜4时，求y的取值范围．
题型3：二次函数与一次函数图像结合问题
在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型4：二次函数与反比例函数图像结合问题
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则函数y=kx2﹣k与y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型5：二次函数与分段函数的综合问题
已知函数y=，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4、二次函数系数与图象的关系
(1)系数a控制开口方向和开口大小的
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
(2)系数b决定对称轴的位置
由于a的符号已定，因为，那么b就将决定对称轴的位置。
口诀“同负异正”(或左同右异)，即a、b同号对称轴在x负半轴，a、b异号对称轴在x正半轴
(3)系数c决定与y轴交点
二次函数图像与y轴交于（0,c）
总结：只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
题型1：abc系数符号问题
如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
题型2：系数a与开口方向和大小相关问题
抛物线y=ax2、y=bx2、y=cx2的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
例11题图 例12题图
考点5、二次函数图象的平移变换
(1)平移规律及口诀
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
(2)平移步骤及方法：
方法一：(适用于顶点式)
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
方法二：(适用于一般式和两根式)
①沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
②沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成
如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q．
（1）求平移后的抛物线m的解析式和顶点P的坐标；
（2）请直接写出图中阴影部分的面积为 ．
考点6、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称变换一般有2种对称，即轴对称和中心对称变换，下面用一般式或顶点式来表示对称变换
(1)轴对称变换
①关于轴对称：本质是图像中所有点的横坐标（x）没有变，而图像中所有点的纵坐标（y）的坐标均变为-y了。即原函数解析式中x不变，y变为-y。
如：关于轴对称后，x不变，y变为-y，得到的解析式为；
关于轴对称后，x不变，y变为-y，得到的解析式为；
②关于轴对称：本质是图像中所有点的纵坐标（y）没有变，而图像中所有点的横坐标（x）的坐标均变为-x了。即原函数解析式中y不变，x变为-x。
如：关于轴对称后，y不变，x变为-x，得到的解析式为；
关于轴对称后，y不变，x变为-x，得到的解析式为；
(2)关于原点中心对称：本质是图像中所有点的横坐标（x）
的坐标均变为-y了，而图像中所有点的纵坐标（y）的坐
标均变为-y了。即原函数解析式中x不变，y变为-y。
如：关于原点对称后，x变为-x，y变为-y，得到的解析式为；
关于原点对称后，x变为-x，y变为-y，得到的解析式为；
(3)特殊的对称变换
①关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
②关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
题型1：对称变换
已知抛物线m的顶点为M，抛物线m上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y
…
5
﹣3
﹣3
0
…
（1）根据表中的各对对应值，下列说法正确序号是
①抛物线m开口向上；②抛物线m的对称轴为x=1；
③抛物线m与x轴有一交点坐标为（﹣1，0）；‘’④当x=4时，对应的函数值y为5．
（2）若将抛物线m绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的解析式，并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；
（3）若将（2）中抛物线n向上平移1个单位后，又向左或向右平移若干个单位，得到顶点为N的抛物线n′，当N在抛物线m上时，问点M是否在平移后的抛物线n′上？试说明其理由．
考点7、二次函数的性质
(1)增减性
①当时，抛物线开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
(2)最值
①当时，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，有最小值．
②当时，抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，有最大值．
题型1：利用二次函数的增减性来比较函数值的大小
若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
题型2：对常见函数的增减性的识别
若m＜﹣3，则下列函数：①y=（x≥﹣3），②y=﹣mx+1，③y=m（x+3）2，④y=（m+3）x2（x≤0）中，y的值随x的值增大而增大的函数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：利用二次函数的增减性，求含参二次函数的参数。
已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
题型4：二次函数的最值问题。
函数y=是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．
这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这
时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
考点8、二次函数与一元二次方程
(1)二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，由图像得二次函数对称轴为从一元二次方程看，为一元二次方程的两根．由韦达定理得，
这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.(恒为正或者恒为负问题)
1)当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
2)当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两
个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离
为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若（2）中二次函数图象与x轴交于A、B两点，
在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说
明理由．
考点9、二次函数与不等式（组）
运用二次函数图像来解一元二次不等式
①求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2；
②根据函数y=ax2+bx+c的图像，数型结合就可以看出不等式的解
不等式ax2+bx+c>0的解集是x< x1或x> x2；不等式ax2+bx+c<0的解集是x1题型1：利用二次函数图像法求一元二次不等式的解集
已知抛物线y=x2﹣6x+5的部分图象如图，
（1）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ，
（2）当0≤y≤5时，x的取值范围是 ，
（3）当1≤x≤a时，﹣4≤y≤0，则a的取值范围是 ．
例19题图 例20题图
题型2：利用二次函数的图像，数型结合求解不等式的取值范围。
直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
考点10、二次函数实际应用
利润最大值或最小值问题，桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题。
题型1：利用二次函数解决最大利润问题
某企业接到一批茶杯生产任务，按要求在15天内完成，预定这批茶杯的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生产的茶杯数量为y个，y与x满足如下关系：y=．
（1）小王第几天生产的茶杯数量为420个？
（2）如图，设第x天每个茶杯成本为P元，P与x之间
的关系可用图中的函数图象来表示，若小王第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
题型2：利用二次函数的知识解决实际问题
某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．
x（元/件）
35
40
45
50
55
y（件）
550
500
450
400
350
（1）试求y与x之间的函数表达式．
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式．（毛利润=销售总价﹣成本总价）
考点11、二次函数实与函数、方程、几何综合问题
如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），
（﹣4，4）两点．
（1）求二次函数y1的解析式；
（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
题型1：二次函数与坐标轴的交点问题
已知函数y=kx2﹣2x﹣k﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 ．
题型2：利用数型结合法来比较函数值的大小问题
给出下列命题及函数y=x与y=x2和的图象：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞，那么a＞1或﹣1＜a＜0；③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则（ ）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
题型3：求有范围的二次函数的最值问题
二次函数y=﹣2x2﹣4x+1，当﹣3≤x≤0时，求它的最大值与最小值．
题型4：二次函数系数之间的变形技巧：
①若题目中涉及到2a与b之间的关系，一般用到
②若题目中涉及到a±b+c或者4a±2b+c或者9a±3b+c之间的关系，一般数型结合，去找x=±1或者x=±2或者 x=±3对应的函数值或者对应的图像关系。
③若题目中涉及到4ac与b2之间的关系，一般要用到判别式△，或者二次函数的最值。
④若题目中涉及到图像与对称轴有两个交点，有x1，x2之间的关系，一般要用到韦达定理。
⑤若系数a，b，c中知道一个或者两个，求另外一个系数，一般要用到临界点法，求出另一个系数的范围。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
例4题图 例5题图 例6题图
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型5：系数中动点临界点问题
如图，抛物线与轴的一个交点A在点的（-2，0）和（-1,0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点。（1） 0（填“＞”或“＜”）；（2）的取值范围是 。
题型6：二次函数过定点问题
对于二次函数y=mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m=﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；判断真假，并说明理由．
题型7：二次函数与一元二次方程的关系
已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），它们的横坐标分别为x1和x2，且+=﹣，此时，此时点M在直线y=x﹣10，当MA+MB最小，求直线AM的函数解析式．
“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 ．
题型8：利用二次函数求图形面积的最值
已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
题型9：利用二次函数求高次方程的近似解问题
若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0
C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
题型10：二次函数与几何动点问题
如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t
值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对
角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．
题型11：动点存在问题
如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=2秒时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y=2x2﹣4xz+3；②y=4﹣3x+7x2；③y=（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；④y=﹣3x+5；⑤y=ax2+bx+c（a，b，c为 常数）；⑥y=（m2+1）x2﹣2x﹣3（m为常数）；⑦y=m2x2+4x﹣3（m为常数）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx﹣与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
已知关于x的方程，若a为正实数，则下列判断正确的是（ ）
A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，﹣3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6
C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
第9题图 第10题图 第11题图
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是 ．
函数是的二次函数，且抛物线开口向下，则________。
若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
如图，将二次函数y=x2﹣4位于x的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）
（1）当x= 时，新函数有最小值；
（2）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ；
（3）当a≤4时，探究一次函数y=2x+a的图象与新函数图象公共点的个数情况．
第14题图 第15题图 第16题图
如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于P（1，2）和Q（t，﹣1），直线y3=kx+b经过点P，Q．则可得不等式组：的解为 ．
如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是 ，顶点坐标为 ；
（2）阴影部分的面积 ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ．
二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使
得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由
某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利
润是多少？
已知函数y=（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类
函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由
（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．
已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定
顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）求出S与t的函数关系式．
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
考点1、二次函数的定义
(1)二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
(2)对二次函数定义的理解：
①二次函数自变量的最高次数为2；
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为当a=0时，则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是常函数。
(3)二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。
题型1：二次函数一般式中的次数为2和系数不为0
若函数y=是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
题型2：二次函数的识别题型
已知下列函数：（1）y=3﹣2x2；（2）y=；
（3）y=3x（2x﹣1）；（4）y=﹣2x2；（5）y=x2﹣（3+x）2；（6）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）；
（3）交点式(两根式)：（a是常数，a≠0，x1，x2为一元二次方程的两个实根，或者x1，x2为二次函数与x轴的两个交点的横坐标。）
题型1：顶点式
设抛物线为，根据下列各条件，求的值。
（1）抛物线的顶点在轴上；（2）抛物线的顶点在轴上；（3）抛物线的顶点；（4）抛物线经过原点；
（5）当时，有最小值；（6）的最小值为.
题型2：交点式（两根式）
已知二次函数y=k（x+1）（x﹣）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）写出点C的坐标；
（2）若△ABC为等腰三角形，求k的值．
考点3、二次函数的图像
(1)抛物线：二次函数图像是一条关于直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
(2)抛物线的主要特征：(a,b,c为的系数)
①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；对称轴为直线；③有顶点；顶点坐标（，）；
④抛物线与y轴有一个交点，且坐标为（0，c）。
(3)二次函数图象的画法
一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
题型1：列表法
某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
A．8 B．6 C．4 D．3
题型2：二次函数的图象及其画法
已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法将y=2x2﹣4x﹣6化为y=a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当x取何值时，y=0，y＞0，y＜0；（5）当0＜x＜4时，求y的取值范围．
题型3：二次函数与一次函数图像结合问题
在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型4：二次函数与反比例函数图像结合问题
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则函数y=kx2﹣k与y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型5：二次函数与分段函数的综合问题
已知函数y=，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4、二次函数系数与图象的关系
(1)系数a控制开口方向和开口大小的
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
(2)系数b决定对称轴的位置
由于a的符号已定，因为，那么b就将决定对称轴的位置。
口诀“同负异正”(或左同右异)，即a、b同号对称轴在x负半轴，a、b异号对称轴在x正半轴
(3)系数c决定与y轴交点
二次函数图像与y轴交于（0,c）
总结：只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
题型1：abc系数符号问题
如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
题型2：系数a与开口方向和大小相关问题
抛物线y=ax2、y=bx2、y=cx2的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
例11题图 例12题图
考点5、二次函数图象的平移变换
(1)平移规律及口诀
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
(2)平移步骤及方法：
方法一：(适用于顶点式)
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
方法二：(适用于一般式和两根式)
①沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
②沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成
如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q．
（1）求平移后的抛物线m的解析式和顶点P的坐标；
（2）请直接写出图中阴影部分的面积为 ．
考点6、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称变换一般有2种对称，即轴对称和中心对称变换，下面用一般式或顶点式来表示对称变换
(1)轴对称变换
①关于轴对称：本质是图像中所有点的横坐标（x）没有变，而图像中所有点的纵坐标（y）的坐标均变为-y了。即原函数解析式中x不变，y变为-y。
如：关于轴对称后，x不变，y变为-y，得到的解析式为；
关于轴对称后，x不变，y变为-y，得到的解析式为；
②关于轴对称：本质是图像中所有点的纵坐标（y）没有变，而图像中所有点的横坐标（x）的坐标均变为-x了。即原函数解析式中y不变，x变为-x。
如：关于轴对称后，y不变，x变为-x，得到的解析式为；
关于轴对称后，y不变，x变为-x，得到的解析式为；
(2)关于原点中心对称：本质是图像中所有点的横坐标（x）
的坐标均变为-y了，而图像中所有点的纵坐标（y）的坐
标均变为-y了。即原函数解析式中x不变，y变为-y。
如：关于原点对称后，x变为-x，y变为-y，得到的解析式为；
关于原点对称后，x变为-x，y变为-y，得到的解析式为；
(3)特殊的对称变换
①关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
②关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
题型1：对称变换
已知抛物线m的顶点为M，抛物线m上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y
…
5
﹣3
﹣3
0
…
（1）根据表中的各对对应值，下列说法正确序号是
①抛物线m开口向上；②抛物线m的对称轴为x=1；
③抛物线m与x轴有一交点坐标为（﹣1，0）；‘’④当x=4时，对应的函数值y为5．
（2）若将抛物线m绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的解析式，并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；
（3）若将（2）中抛物线n向上平移1个单位后，又向左或向右平移若干个单位，得到顶点为N的抛物线n′，当N在抛物线m上时，问点M是否在平移后的抛物线n′上？试说明其理由．
考点7、二次函数的性质
(1)增减性
①当时，抛物线开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
(2)最值
①当时，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，有最小值．
②当时，抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，有最大值．
题型1：利用二次函数的增减性来比较函数值的大小
若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
题型2：对常见函数的增减性的识别
若m＜﹣3，则下列函数：①y=（x≥﹣3），②y=﹣mx+1，③y=m（x+3）2，④y=（m+3）x2（x≤0）中，y的值随x的值增大而增大的函数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：利用二次函数的增减性，求含参二次函数的参数。
已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
题型4：二次函数的最值问题。
函数y=是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．
这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这
时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
考点8、二次函数与一元二次方程
(1)二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，由图像得二次函数对称轴为从一元二次方程看，为一元二次方程的两根．由韦达定理得，
这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.(恒为正或者恒为负问题)
1)当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
2)当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两
个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离
为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若（2）中二次函数图象与x轴交于A、B两点，
在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说
明理由．
考点9、二次函数与不等式（组）
运用二次函数图像来解一元二次不等式
①求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2；
②根据函数y=ax2+bx+c的图像，数型结合就可以看出不等式的解
不等式ax2+bx+c>0的解集是x< x1或x> x2；不等式ax2+bx+c<0的解集是x1
已知抛物线y=x2﹣6x+5的部分图象如图，
（1）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ，
（2）当0≤y≤5时，x的取值范围是 ，
（3）当1≤x≤a时，﹣4≤y≤0，则a的取值范围是 ．
例19题图 例20题图
题型2：利用二次函数的图像，数型结合求解不等式的取值范围。
直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
考点10、二次函数实际应用
利润最大值或最小值问题，桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题。
题型1：利用二次函数解决最大利润问题
某企业接到一批茶杯生产任务，按要求在15天内完成，预定这批茶杯的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生产的茶杯数量为y个，y与x满足如下关系：y=．
（1）小王第几天生产的茶杯数量为420个？
（2）如图，设第x天每个茶杯成本为P元，P与x之间
的关系可用图中的函数图象来表示，若小王第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
题型2：利用二次函数的知识解决实际问题
某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．
x（元/件）
35
40
45
50
55
y（件）
550
500
450
400
350
（1）试求y与x之间的函数表达式．
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式．（毛利润=销售总价﹣成本总价）
考点11、二次函数实与函数、方程、几何综合问题
如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），
（﹣4，4）两点．
（1）求二次函数y1的解析式；
（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
题型1：二次函数与坐标轴的交点问题
已知函数y=kx2﹣2x﹣k﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 ．
题型2：利用数型结合法来比较函数值的大小问题
给出下列命题及函数y=x与y=x2和的图象：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞，那么a＞1或﹣1＜a＜0；③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则（ ）
A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
题型3：求有范围的二次函数的最值问题
二次函数y=﹣2x2﹣4x+1，当﹣3≤x≤0时，求它的最大值与最小值．
题型4：二次函数系数之间的变形技巧：
①若题目中涉及到2a与b之间的关系，一般用到
②若题目中涉及到a±b+c或者4a±2b+c或者9a±3b+c之间的关系，一般数型结合，去找x=±1或者x=±2或者 x=±3对应的函数值或者对应的图像关系。
③若题目中涉及到4ac与b2之间的关系，一般要用到判别式△，或者二次函数的最值。
④若题目中涉及到图像与对称轴有两个交点，有x1，x2之间的关系，一般要用到韦达定理。
⑤若系数a，b，c中知道一个或者两个，求另外一个系数，一般要用到临界点法，求出另一个系数的范围。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
例4题图 例5题图 例6题图
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA?OB=﹣．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型5：系数中动点临界点问题
如图，抛物线与轴的一个交点A在点的（-2，0）和（-1,0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点。（1） 0（填“＞”或“＜”）；（2）的取值范围是 。
题型6：二次函数过定点问题
对于二次函数y=mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m=﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；判断真假，并说明理由．
题型7：二次函数与一元二次方程的关系
已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），它们的横坐标分别为x1和x2，且+=﹣，此时，此时点M在直线y=x﹣10，当MA+MB最小，求直线AM的函数解析式．
“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 ．
题型8：利用二次函数求图形面积的最值
已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
题型9：利用二次函数求高次方程的近似解问题
若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0
C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
题型10：二次函数与几何动点问题
如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t
值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对
角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．
题型11：动点存在问题
如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=2秒时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
下列各式中，一定是二次函数的有（ ）
①y=2x2﹣4xz+3；②y=4﹣3x+7x2；③y=（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；④y=﹣3x+5；⑤y=ax2+bx+c（a，b，c为 常数）；⑥y=（m2+1）x2﹣2x﹣3（m为常数）；⑦y=m2x2+4x﹣3（m为常数）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx﹣与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：①开口方向相同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
已知关于x的方程，若a为正实数，则下列判断正确的是（ ）
A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，﹣3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6
C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
第9题图 第10题图 第11题图
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是 ．
函数是的二次函数，且抛物线开口向下，则________。
若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
如图，将二次函数y=x2﹣4位于x的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）
（1）当x= 时，新函数有最小值；
（2）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ；
（3）当a≤4时，探究一次函数y=2x+a的图象与新函数图象公共点的个数情况．
第14题图 第15题图 第16题图
如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于P（1，2）和Q（t，﹣1），直线y3=kx+b经过点P，Q．则可得不等式组：的解为 ．
如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：
（1）抛物线y2的解析式是 ，顶点坐标为 ；
（2）阴影部分的面积 ；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ．
二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使
得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由
某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利
润是多少？
已知函数y=（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类
函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由
（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．
已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定
顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）求出S与t的函数关系式．
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