九年级上册第四章相似三角形专题复习讲义
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相似三角形专题复习讲义
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
比例线段定义：四条线段中，如果满足；那么这四条线段叫做成比例线段简称比
例线段
一些其他定义：
（1）比例内项：c、d为比例内项； （2）比例外项：b、a为比例外项
（3）比例中项：
易错点：数的比例中项可以为负数，可为正数，但是线段的比例中项只能为正数。
比例线段的性质
（1）基本性质：；
（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：
（3）合比性质：
（4）等比性质：
注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用
等比性质也成立如：；其中
(4)比例线段与平行线的关系
①A型 ②Z型
； ；
③利用或者构造A、Z型来求比例线段：通常可以过A、D、B、E、C这些点做平行线来求线段的比例
黄金分割点：把线段AB分成两条线段AC、BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中≈0.618 AB。
记忆：
注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形
如何画黄金分割点：只要做出即可。
相似的定义：对应边成比例，对应角相等的图形相似
（易错点）对应边成比例、对应角相等缺一不可
三角形相似的性质：
①对应角相等； ②对应边成比例； ③周长、中线、高线、角平分线之比=； ④面积之比=；21世纪教育网版权所有
三角形相似的判定： ①A型 Z型； ②AA； ③SSS； ④SAS（SSA不能用）； ⑤HL
常见的相似图形
平行旋转型：
证明线段比和线段的乘积形式的处理方法：
（1）线段以比的形式出现的处理方法：
①如果这2条线段不在同一直线上时，我们就要构造与这2边组成的三角形与它相似，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解21教育网
②如果这2条线段在同一直线上时，我们就要在这条线段上的3个点构造出A型或Z型，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解21·cn·jy·com
（2）线段以乘积的形式出现的处理方法：
直接找出含这2条线段的三角形，看有没有相似的，如果有相似的再看看这2条边是不是对的不同的角，（它必须满足对不同的角）www.21-cn-jy.com
如果没有相似的，则我们可以构造三角形相似（一般有以下几种方法来构造）
几个常见的定理
（1）角平分线定理： （2）三角形重心结论：
①；
②若A、B、C的坐标分别为、、，
则G点坐标为
（3）射影定理及母子三角形模型：
①; ②; ③;
模型（标图）
①平行线型 ②相交线型
A型 Z型
③旋转型
④母子型
证明线段比和线段的乘积形式的处理方法：
（1）线段以比的形式出现的处理方法：
① 如果这2条线段不在同一直线上时，我们就要构造与这2边组成的三角形与它相似，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解2·1·c·n·j·y
② 如果这2条线段在同一直线上时，我们就要在这条线段上的3个点构造出A型或Z型，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解【来源：21·世纪·教育·网】
（2）线段以乘积的形式出现的处理方法：
直接找出含这2条线段的三角形，看有没有相似的，如果有相似的再看看这2条边是不是对的不同的角，（它必须满足对不同的角）21·世纪*教育网
如果没有相似的，则我们可以构造三角形相似
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
考点1、比例中项
如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，则P点的坐标为 ．21cnjy.com
解：∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，3），∴|OA|=1，OB=3，∵点P在x轴正半轴上，∴设点P的坐标是（x，0），∵当线段OA线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OA2=OB?OP，∴1=3?x，解得x=，∴点P的坐标是（，0），当线段OB线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OB2=OA?OP，∴9=1?x，解得x=9，∴点P的坐标是（9，0），当线段OP线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OP2=OB?OA，∴x2=3×1，解得x=，∴点P的坐标是（，0），综上所述，点P的坐标是（，0），（9，0），（，0）．故答案为：（，0），（9，0），（，0）．www-2-1-cnjy-com
考点2、比例线段的性质
若===k，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
解：分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得k==2；当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，k=﹣1，2-1-c-n-j-y
故选：C．
我们知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
解：（1）∵，b+d=0，∴a+c=0；（2）①当a+b+c≠0时，==2，∴t2﹣t﹣2=22﹣2﹣2=0，②当a+b+c=0时，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，∴=﹣1，∴t2﹣t﹣2=0．21*cnjy*com
若线段ab满足（a2+4b2）：ab=4：1，求a：b的值．
解：∵线段ab满足（a2+4b2）：ab=4：1，∴a2+4b2=4ab，∴a2﹣4ab+4b2=0，【来源：21cnj*y.co*m】
∴（a﹣2b）2=0，∴a﹣2b=0，∴a=2b，∴a：b=2b：b=2：1=2．
考点3、黄金分割点
如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2．（填“＞”“=”或“＜”）
解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB?AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB?AB，∴S1=S2．故答案为：=．
考点4、A型 Z型
如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x=．故EF=厘米．【出处：21教育名师】
如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．【版权所有：21教育】
（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．
（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．21教育名师原创作品
（2）解：∵l1∥l2∥l3∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==，∴=，∴CF=4．21*cnjy*com
如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：（1）当=时，=；（2）当=时，=；（3）当=时，=；…猜想：当=时，=？并说明理由．
解答： 解：猜想：当=时，=；理由如下：如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；则，∴，EG=nAE；∵AD是△ABC的中线，∴EG=CG，AC=（2n+1）AE，∴．
考点5、相似及相似多边形的定义
如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ．
解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：××=，故答案为：．
如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°﹣（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，∴=，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
考点6、三角形相似的性质
如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．
如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．
【解答】解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、C3、…、Cn都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平行于A1C1，A3C3经过点B2且平行于A2C2，…，AnCn过点Bn﹣1且平行于An﹣1Cn﹣1，且A1C=2CC1．当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个小的等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A． B． C． D．
解：①如图1，作B1D⊥BC于D．设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=x．∵AC=2，BC=4，∴=∵∠ACB=∠C1CA1=90°，∴△ABC∽△C1A1C，∴∠CA1C1=∠B．∵∠CA1C1=90°﹣∠A1C1C=∠B1C1D，∠C=∠B1DC1=90°，A1C1=C1B1，∴△C1CA1≌△B1DC1，∴C1D=A1C=2x，∠CA1C1=∠B1C1D=∠B，∴BD=C1D=2x，BC1=4x．∵CC1+C1B=BC，∴x+4x=4，解得：x=，∴a1=A1C1=x=．②如图2，作B2D⊥BC于D．设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=B1C1=A2C2=B2C2=x，由①可知BC2=C2D+BD=4x．∵A1C1∥A2C2，∴∠A1C1C=∠B1C2C1．∵∠C=∠C1B1C2=90°，∴△C1CA1∽△C2B1C1．∴=，
∴C1C2=x．∵CC1+C1C2+BC2=BC，∴x+x+4x=4，∴x=，∴a2=A1C1=x=．③如图3，作BnD⊥BC于D．由①②可知BCn=4x，C1C2=C2C3=…=Cn﹣1Cn=x．∵CC1+C1C2+C2C3+…+BCn=BC，∴x+x（n﹣1）+4x=4，∴x=，∴an=A1C1=x=，∴a7==．故选C．
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：CE=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2=，==，∴===（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选C．
考点7、三角形相似的判定
在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：(1)OB=OC；(2)AD∥BC；(3)；(4)∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC＝∠CDB成立，这样的条件可以是（ ）
A.(2)、(4) B.(2) C.(3)、(4) D.(4)
解：所增加的条件只要能证明△AOB≌△DOC即可。△AOB和△DOC全等已经具备的条件是：AB=CD，∠AOB=∠DOC，只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断：．①OB=OC，两个三角形是两边及一边的对角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误；②当AD∥BC时，可推出四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，梯形时可证明△BAC≌△CDB，但平行四边形时，不能证明△BAC≌△CDB，故选项错误；③∵，不能判定△AOD∽△COB，∴∠BAC=∠CDB不一定相等，故选项正确；④当∠OAD=∠OBC时，∵∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OBC。∴。∴。∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC。∴∠BAC=∠CDB成立。故选D。
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．
（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你
的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为
顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．
解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．∴∠1+∠CPN=90°，而∠2+∠CPN=90°，∴∠1=∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH=PN，又∵∠PHC=∠PND=90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC=PD．
（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，∴∠3=45°，∵∠POD=45°，∴∠3=∠POD．又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．
（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．
如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．
（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；
解：（1）证明：∵∠MDN=∠A=60°，∴∠MDB+∠NDC=120°，又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，∴∠BMD=∠NDC，∴△BDM∽△CND；
（2）解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，∴BD=1.6，CD=2.4，∵由（1）知，△BDM∽△CND，∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，∵AM=MD，AN=ND，BM=4﹣AM，CN=4﹣AN，∴（4﹣AM）：2.4=1.6：（4﹣AN）=AM：AN，∴2.4AM=4AN﹣AN?AM①，1.6AN=4AM﹣AM?AN②，①﹣②得，2.4AM﹣1.6AN=4AN﹣4AM，即6.4AM=5.6AN∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；
如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
证明：∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠DAC=∠B，∴△ACE∽△BAD．
如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ．
解：△APB∽△CPA，理由如下：由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，∴，，∵∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案为：△APB∽△CPA．
如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．
（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE，又∵==3，∴△ABD∽△CAE；（4分）
（2）连接BC，解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，由（1）得△ABD∽△CAE∴∠E=∠D=90°，∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，∴BC=2a．（6分）
考点8、射影定理及应用
如图，AB是半圆0的直径，过C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2cm，AD：DB=4：1，求CD的长．
解：连接BC，设AD=4x，则DB=x，∴AB=5x，∵AB是半圆0的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB，∴AC2=AD?AB，即（2）2=4x?5x，解得，x=，∴AD=4，∴CD==2．
考点9、相似三角形的应用
如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
考点10、
如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：（1）∵AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ=t，AP=2t，QA=6﹣t，当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t=2t，解得t=2；
（2）两种情况：当=时，即=，解得t=1.2（秒）；当=时，即=，解得t=3（秒）．故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
①当点P与A、B两点不重合时，求的值；
②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，则△BFQ∽△BCE，∴=，即=，∴QF=BF，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，∴∠ADP=∠FPQ，又∵∠A=∠PFQ=90°，∴△ADP∽△FPQ，∴=，即=，∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP=BF，由△ADP∽△FPQ得，=，∴=；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．由（2）（i）可知，QF=AP．当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．∴BF=QF×=4．在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．∴MN=BQ=．∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；
（2）能．解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．
（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM═（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为，又∵当BE=x=3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE==4，此时，EF⊥AC，∴EM==，S△AEM=．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
如图，在RtΔABC中，AF是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
解：在Rt△ADB中，∵BD=1，∴由勾股定理得。∵DC=FC=1，∴△DCB是等腰三角形。∵DE⊥BC，∴E为BC的中点。又∵AF⊥BC，∴△CDE∽ △CAF。∴，即，解得。∴BC=2CE=。在Rt△ABC中，由勾股定理得，，即。令AC=，则，解得。故选A。
图中的两个四边形相似，则x+y= ，a= ．
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．
如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是 ．
解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．故答案为：36．
如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．
在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ，使点A落在矩形对角线上的处 ，则AP的长为__________.
解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．
已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；
（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．
已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是 ．
解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．
顶角为36°的等腰三角形被叫做“黄金三角形”，如图所示，△ABC为顶角为36°等腰三角形．BD为∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E
（1）图中共有等腰三角形 个；
（2）等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是 ．
解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）÷2=72°．∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠BDE=36°，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，∴∠A=∠ABD，∠BDE=∠ABD=72°，∴∠ABC=∠ACB，∴AD=BD，BE=ED，AE=AD，∴△ABD、△BDE、△AED是等腰三角形；∵∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD，共5个；
（2）设BC=x，则BD=AD=x，CD=AB﹣x，∵△ABC∽△BCD，∴=，∴=，∴AB=x或AB=x（舍去），∴等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是；故答案为：5，；
问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与
高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是： ．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=BC．
解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．
（2）BC=AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，在△GBN与△EGM中， ，∴△GBN≌△EGM，∴EG=BG，∵△AEF∽△AGH，∴，∴AE=EG，∴AE=EG=GB，∴△AEF∽△ABC，∴，∵PD=2x，∴AD=3x，BC=3x，∴AD=BC，故答案为：AD=BC；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，∵EF∥GH∥BC，∴△AEF∽△AGH∽△ABC，∴，∴，解得AD=2.5a，BC=5a，∴BC=2AD．∵∠B=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，∴AB=BC．
如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．
解：∵DE∥BC，∴，又∵，∴，∴AB∥CF，∴=，∵，∴=2，∴=2．
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．
如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）．
解：∵AB=2AD，∴=2，又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为，∴=4，∴S△ADE=，∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，∴△ADE也是等边三角形，其面积为AE?AE?sin60°=，即AE2=，∴AE=1，作FG⊥AE于G，∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，∴∠EAF=45°，∴△AFG是等腰直角三角形，设AG=FG=h，在直角三角形FGE中，∵∠E=60°，EG=1﹣h，FG=h，∴tanE=，即tan60°=，解得h=，∴S△AEF=×1×=．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）
（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；
（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；
（3）AD=DE?tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE?tanα．
如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．
（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
解：（1）∵四边形EGFH为矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．
（3）设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC∴，∴=∴y=80﹣x
∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．
证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴，又∵BE=EC，∴，∴，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．
在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=15，DB=16，求AD和BC的长．
解：∵∠C=90°，CD⊥AB于D，∴AC2=AD?AB，即152=AD（AD+16），整理得AD2+16AD﹣225=0，解得AD=9或AD=﹣25（舍去），∵BC2=BD?BA，∴BC==20，∴AD和BC的长分别为9，20．
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．
方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴∠EMA=∠MDF=45°∴DF=MF=AC=xm，DC=DF+AM=x+1.75m，∵MF∥AC∴==，即=，解得：x=4.375m，∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．
如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．
（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴=，即=，解得BN=3.6．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则 或 ，∴或 ，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则 或 ，∴或 ，解得t=或t=；综上所述，当t=或 或 或 时，△DEG与△ACB相似．
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
比例线段定义：四条线段中，如果满足；那么这四条线段叫做成比例线段简称比
例线段
一些其他定义：
（1）比例内项：c、d为比例内项； （2）比例外项：b、a为比例外项
（3）比例中项：
易错点：数的比例中项可以为负数，可为正数，但是线段的比例中项只能为正数。
比例线段的性质
（1）基本性质：；
（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：
（3）合比性质：
（4）等比性质：
注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用
等比性质也成立如：；其中
(4)比例线段与平行线的关系
①A型 ②Z型
； ；
③利用或者构造A、Z型来求比例线段：通常可以过A、D、B、E、C这些点做平行线来求线段的比例
黄金分割点：把线段AB分成两条线段AC、BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中≈0.618 AB。
记忆：
注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形
如何画黄金分割点：只要做出即可。
相似的定义：对应边成比例，对应角相等的图形相似
（易错点）对应边成比例、对应角相等缺一不可
三角形相似的性质：
①对应角相等； ②对应边成比例； ③周长、中线、高线、角平分线之比=； ④面积之比=；21世纪教育网版权所有
三角形相似的判定： ①A型 Z型； ②AA； ③SSS； ④SAS（SSA不能用）； ⑤HL
常见的相似图形
平行旋转型：
证明线段比和线段的乘积形式的处理方法：
（1）线段以比的形式出现的处理方法：
①如果这2条线段不在同一直线上时，我们就要构造与这2边组成的三角形与它相似，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解21教育网
②如果这2条线段在同一直线上时，我们就要在这条线段上的3个点构造出A型或Z型，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解21·cn·jy·com
（2）线段以乘积的形式出现的处理方法：
直接找出含这2条线段的三角形，看有没有相似的，如果有相似的再看看这2条边是不是对的不同的角，（它必须满足对不同的角）www.21-cn-jy.com
如果没有相似的，则我们可以构造三角形相似（一般有以下几种方法来构造）
几个常见的定理
（1）角平分线定理： （2）三角形重心结论：
①；
②若A、B、C的坐标分别为、、，
则G点坐标为
（3）射影定理及母子三角形模型：
①; ②; ③;
模型（标图）
①平行线型 ②相交线型
A型 Z型
③旋转型
④母子型
证明线段比和线段的乘积形式的处理方法：
（1）线段以比的形式出现的处理方法：
① 如果这2条线段不在同一直线上时，我们就要构造与这2边组成的三角形与它相似，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解2·1·c·n·j·y
② 如果这2条线段在同一直线上时，我们就要在这条线段上的3个点构造出A型或Z型，再把这2条线段的比转化为其他线段的比，再求解【来源：21·世纪·教育·网】
（2）线段以乘积的形式出现的处理方法：
直接找出含这2条线段的三角形，看有没有相似的，如果有相似的再看看这2条边是不是对的不同的角，（它必须满足对不同的角）21·世纪*教育网
如果没有相似的，则我们可以构造三角形相似
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
考点1、比例中项
如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，则P点的坐标为 ．21cnjy.com
解：∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，3），∴|OA|=1，OB=3，∵点P在x轴正半轴上，∴设点P的坐标是（x，0），∵当线段OA线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OA2=OB?OP，∴1=3?x，解得x=，∴点P的坐标是（，0），当线段OB线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OB2=OA?OP，∴9=1?x，解得x=9，∴点P的坐标是（9，0），当线段OP线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OP2=OB?OA，∴x2=3×1，解得x=，∴点P的坐标是（，0），综上所述，点P的坐标是（，0），（9，0），（，0）．故答案为：（，0），（9，0），（，0）．www-2-1-cnjy-com
考点2、比例线段的性质
若===k，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
解：分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得k==2；当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，k=﹣1，2-1-c-n-j-y
故选：C．
我们知道：若，且b+d≠0，那么．
（1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？（2）若，求t2﹣t﹣2的值．
解：（1）∵，b+d=0，∴a+c=0；（2）①当a+b+c≠0时，==2，∴t2﹣t﹣2=22﹣2﹣2=0，②当a+b+c=0时，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，∴=﹣1，∴t2﹣t﹣2=0．21*cnjy*com
若线段ab满足（a2+4b2）：ab=4：1，求a：b的值．
解：∵线段ab满足（a2+4b2）：ab=4：1，∴a2+4b2=4ab，∴a2﹣4ab+4b2=0，【来源：21cnj*y.co*m】
∴（a﹣2b）2=0，∴a﹣2b=0，∴a=2b，∴a：b=2b：b=2：1=2．
考点3、黄金分割点
如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2．（填“＞”“=”或“＜”）
解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB?AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB?AB，∴S1=S2．故答案为：=．
考点4、A型 Z型
如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x=．故EF=厘米．【出处：21教育名师】
如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．【版权所有：21教育】
（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．
（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．21教育名师原创作品
（2）解：∵l1∥l2∥l3∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==，∴=，∴CF=4．21*cnjy*com
如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：（1）当=时，=；（2）当=时，=；（3）当=时，=；…猜想：当=时，=？并说明理由．
解答： 解：猜想：当=时，=；理由如下：如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；则，∴，EG=nAE；∵AD是△ABC的中线，∴EG=CG，AC=（2n+1）AE，∴．
考点5、相似及相似多边形的定义
如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ．
解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=，第四个六角形的面积为：××=，故答案为：．
如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°﹣（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，∴=，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
考点6、三角形相似的性质
如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．
如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．
【解答】解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、C3、…、Cn都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平行于A1C1，A3C3经过点B2且平行于A2C2，…，AnCn过点Bn﹣1且平行于An﹣1Cn﹣1，且A1C=2CC1．当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个小的等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A． B． C． D．
解：①如图1，作B1D⊥BC于D．设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=x．∵AC=2，BC=4，∴=∵∠ACB=∠C1CA1=90°，∴△ABC∽△C1A1C，∴∠CA1C1=∠B．∵∠CA1C1=90°﹣∠A1C1C=∠B1C1D，∠C=∠B1DC1=90°，A1C1=C1B1，∴△C1CA1≌△B1DC1，∴C1D=A1C=2x，∠CA1C1=∠B1C1D=∠B，∴BD=C1D=2x，BC1=4x．∵CC1+C1B=BC，∴x+4x=4，解得：x=，∴a1=A1C1=x=．②如图2，作B2D⊥BC于D．设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=B1C1=A2C2=B2C2=x，由①可知BC2=C2D+BD=4x．∵A1C1∥A2C2，∴∠A1C1C=∠B1C2C1．∵∠C=∠C1B1C2=90°，∴△C1CA1∽△C2B1C1．∴=，
∴C1C2=x．∵CC1+C1C2+BC2=BC，∴x+x+4x=4，∴x=，∴a2=A1C1=x=．③如图3，作BnD⊥BC于D．由①②可知BCn=4x，C1C2=C2C3=…=Cn﹣1Cn=x．∵CC1+C1C2+C2C3+…+BCn=BC，∴x+x（n﹣1）+4x=4，∴x=，∴an=A1C1=x=，∴a7==．故选C．
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：CE=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2=，==，∴===（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选C．
考点7、三角形相似的判定
在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：(1)OB=OC；(2)AD∥BC；(3)；(4)∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC＝∠CDB成立，这样的条件可以是（ ）
A.(2)、(4) B.(2) C.(3)、(4) D.(4)
解：所增加的条件只要能证明△AOB≌△DOC即可。△AOB和△DOC全等已经具备的条件是：AB=CD，∠AOB=∠DOC，只要验证一下四个条件是否满足这个关系即可判断：．①OB=OC，两个三角形是两边及一边的对角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误；②当AD∥BC时，可推出四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，梯形时可证明△BAC≌△CDB，但平行四边形时，不能证明△BAC≌△CDB，故选项错误；③∵，不能判定△AOD∽△COB，∴∠BAC=∠CDB不一定相等，故选项正确；④当∠OAD=∠OBC时，∵∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OBC。∴。∴。∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC。∴∠BAC=∠CDB成立。故选D。
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．
（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你
的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为
顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．
解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．∴∠1+∠CPN=90°，而∠2+∠CPN=90°，∴∠1=∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH=PN，又∵∠PHC=∠PND=90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC=PD．
（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，∴∠3=45°，∵∠POD=45°，∴∠3=∠POD．又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．
（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．
如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．
（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；
解：（1）证明：∵∠MDN=∠A=60°，∴∠MDB+∠NDC=120°，又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，∴∠BMD=∠NDC，∴△BDM∽△CND；
（2）解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，∴BD=1.6，CD=2.4，∵由（1）知，△BDM∽△CND，∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，∵AM=MD，AN=ND，BM=4﹣AM，CN=4﹣AN，∴（4﹣AM）：2.4=1.6：（4﹣AN）=AM：AN，∴2.4AM=4AN﹣AN?AM①，1.6AN=4AM﹣AM?AN②，①﹣②得，2.4AM﹣1.6AN=4AN﹣4AM，即6.4AM=5.6AN∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；
如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
证明：∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠DAC=∠B，∴△ACE∽△BAD．
如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ．
解：△APB∽△CPA，理由如下：由题意可知：AP==，PB=1，PC=5，∴，，∵∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，故答案为：△APB∽△CPA．
如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．
（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE，又∵==3，∴△ABD∽△CAE；（4分）
（2）连接BC，解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，由（1）得△ABD∽△CAE∴∠E=∠D=90°，∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，∴BC=2a．（6分）
考点8、射影定理及应用
如图，AB是半圆0的直径，过C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2cm，AD：DB=4：1，求CD的长．
解：连接BC，设AD=4x，则DB=x，∴AB=5x，∵AB是半圆0的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB，∴AC2=AD?AB，即（2）2=4x?5x，解得，x=，∴AD=4，∴CD==2．
考点9、相似三角形的应用
如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
考点10、
如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：（1）∵AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ=t，AP=2t，QA=6﹣t，当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t=2t，解得t=2；
（2）两种情况：当=时，即=，解得t=1.2（秒）；当=时，即=，解得t=3（秒）．故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
①当点P与A、B两点不重合时，求的值；
②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，则△BFQ∽△BCE，∴=，即=，∴QF=BF，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，∴∠ADP=∠FPQ，又∵∠A=∠PFQ=90°，∴△ADP∽△FPQ，∴=，即=，∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP=BF，由△ADP∽△FPQ得，=，∴=；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．由（2）（i）可知，QF=AP．当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．∴BF=QF×=4．在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．∴MN=BQ=．∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；
（2）能．解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．
（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM═（x﹣3）2+，∴当x=3时，AM最短为，又∵当BE=x=3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE==4，此时，EF⊥AC，∴EM==，S△AEM=．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
如图，在RtΔABC中，AF是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
解：在Rt△ADB中，∵BD=1，∴由勾股定理得。∵DC=FC=1，∴△DCB是等腰三角形。∵DE⊥BC，∴E为BC的中点。又∵AF⊥BC，∴△CDE∽ △CAF。∴，即，解得。∴BC=2CE=。在Rt△ABC中，由勾股定理得，，即。令AC=，则，解得。故选A。
图中的两个四边形相似，则x+y= ，a= ．
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．
如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是 ．
解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．故答案为：36．
如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．
在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ，使点A落在矩形对角线上的处 ，则AP的长为__________.
解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．
已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；
（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．
已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是 ．
解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．
顶角为36°的等腰三角形被叫做“黄金三角形”，如图所示，△ABC为顶角为36°等腰三角形．BD为∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E
（1）图中共有等腰三角形 个；
（2）等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是 ．
解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）÷2=72°．∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠BDE=36°，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，∴∠A=∠ABD，∠BDE=∠ABD=72°，∴∠ABC=∠ACB，∴AD=BD，BE=ED，AE=AD，∴△ABD、△BDE、△AED是等腰三角形；∵∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD，共5个；
（2）设BC=x，则BD=AD=x，CD=AB﹣x，∵△ABC∽△BCD，∴=，∴=，∴AB=x或AB=x（舍去），∴等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是；故答案为：5，；
问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与
高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是： ．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=BC．
解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．
（2）BC=AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，在△GBN与△EGM中， ，∴△GBN≌△EGM，∴EG=BG，∵△AEF∽△AGH，∴，∴AE=EG，∴AE=EG=GB，∴△AEF∽△ABC，∴，∵PD=2x，∴AD=3x，BC=3x，∴AD=BC，故答案为：AD=BC；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，∵EF∥GH∥BC，∴△AEF∽△AGH∽△ABC，∴，∴，解得AD=2.5a，BC=5a，∴BC=2AD．∵∠B=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，∴AB=BC．
如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．
解：∵DE∥BC，∴，又∵，∴，∴AB∥CF，∴=，∵，∴=2，∴=2．
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．
如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）．
解：∵AB=2AD，∴=2，又∵△ABC∽△ADE，△ABC是面积为，∴=4，∴S△ADE=，∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，∴△ADE也是等边三角形，其面积为AE?AE?sin60°=，即AE2=，∴AE=1，作FG⊥AE于G，∵∠BAD=45°，∠BAC=∠EAD=60°，∴∠EAF=45°，∴△AFG是等腰直角三角形，设AG=FG=h，在直角三角形FGE中，∵∠E=60°，EG=1﹣h，FG=h，∴tanE=，即tan60°=，解得h=，∴S△AEF=×1×=．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）
（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；
（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；
（3）AD=DE?tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE?tanα．
如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．
（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
解：（1）∵四边形EGFH为矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．
（3）设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC∴，∴=∴y=80﹣x
∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．
证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴，又∵BE=EC，∴，∴，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．
在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=15，DB=16，求AD和BC的长．
解：∵∠C=90°，CD⊥AB于D，∴AC2=AD?AB，即152=AD（AD+16），整理得AD2+16AD﹣225=0，解得AD=9或AD=﹣25（舍去），∵BC2=BD?BA，∴BC==20，∴AD和BC的长分别为9，20．
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．
方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴∠EMA=∠MDF=45°∴DF=MF=AC=xm，DC=DF+AM=x+1.75m，∵MF∥AC∴==，即=，解得：x=4.375m，∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．
如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．
（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴=，即=，解得BN=3.6．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则 或 ，∴或 ，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则 或 ，∴或 ，解得t=或t=；综上所述，当t=或 或 或 时，△DEG与△ACB相似．
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