七年级上第一章有理数专题复习讲义
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七年级第一章《有理数》专题复习讲义
一、基础知识及考点剖析
考点1：有理数的有关概念
1、正数与负数的相对性
2、有理数的定义及分类
有理数．
题型1、下列具有相反意义的量是 （ B ）
A、盈利3万元与支出2万元 B.、胜3局与负2局
C、气温升高3。C与气温为- 3。C D、 前进与后退
题型2、给出下列说法：
① 0是整数；②是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数．其中正确的有（ C ）21世纪教育网版权所有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
题型3、 在1，，0.5，+7，0，-6.4，-9，，0.，，- ，中
分数有（ ， 0.5 ， -6.4 ， ， 0. ， - ）
正整数有（ 1 ， +7 ）
自然数有（ 0 ， 1 ， +7 ）
题型4、下列四个数中，是负数的是（ C ）
A.|-2| B.（-2）2 C.- D.
考点2：数轴
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
题型1、下列说法中，不正确的是 ( A )
A．数轴是—条直线
B．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
C．数轴上左边的数一定比右边的数小
D．数轴上的点与实数一一对应
题型2、 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为（ D ）
A．5 B．1 C．5或1 D．5或－1 21教育网
题型3、把﹣1.5，，3，﹣，﹣π，表示在数轴上，并把它们用“＜”连接起来
解答：解：
根据数轴可以得到：﹣π＜﹣1.5＜﹣＜＜3．
题型4、已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若折叠后，数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 2 表示的点重合；
（2）若折叠后，数3表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ﹣3.5 ，B点表示的数为 5.5 ．21cnjy.com
解答：解：（1）2．
（2）﹣3（2分）；A表示﹣3.5，B表示5.5．
题型5、如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：
①如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示什么数，是多少？
②如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数，图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小，是多少？21·cn·jy·com
负数， -1
正数， 点C ，0.5
题型6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，点C所表示的实数是 ﹣2﹣ ．www.21-cn-jy.com
解答：解：点B到点A的距离为：1+，则点C到点A的距离也为1+，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为：﹣1﹣x=1+，所以x=﹣2﹣．2·1·c·n·j·y
考点3：相反数与倒数
1、只有符号不相同的两个数称为互为相反数；零的相反数是零；
2、相反数的数轴表示：互为相反数在原点的两侧且到原点的距离相等；
3、1除以这个数的商称为这个数的倒数，零没有倒数；
4、相反数是符号不同，绝对值相同（零除外）；倒数是符号相同，绝对值不同。
题型1、下列各对数中，互为相反数的是（ C ）
A、－1.01和1.1 B、 和 C、－0.125和 D、－0.125和8
题型2、一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（ A ）
A．1 B．±1 C．0 D．－1 【来源：21·世纪·教育·网】
题型3、___2013_____
题型4、若与互为相反数，则x+y=__6 __
考点4：绝对值
一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．21·世纪*教育网
题型1、绝对值等于6的数是 ( )
A．6 B．-6 C．土6 D．以上都不对www-2-1-cnjy-com
题型2、下列关系一定成立的是（ D ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
题型3、绝对值大于1而不大于3的整数是 -3， -2， 2，3 。
题型4、同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,几何意义为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.则的几何意义是 到-1的距离 2-1-c-n-j-y
题型5、若|a-5|+|b+3|＝0，则a＝_5__，b＝_-3__
题型6、︱a︱=3;︱b︱=2,ab＜0,求a+b的值
-1或1
考点5：大小比较
比较方法：（1）数轴法：将各数分别表示到同一根数轴上，然后按照从左到右由小到大排列即可；
（2）法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小；21*cnjy*com
题型1、有理数中，最大的负整数是__-1___，最小的正整数是___1___。最大的非正数是 0
题型2、写出所有比－3大的负整数____-2，-1___________；
题型3、已知a,b在数轴上的位置表示如右图比较下列数的大小：
0 < a； b < 0; -b > 0 -b > a; 【来源：21cnj*y.co*m】
︱b︱ > a; a+b < 0; a-b > 1； -a > b【出处：21教育名师】
考点6：实际应用
题型1、学校、家、书店依次座落在一条东西走向的大街上，学校在家的西边20米，书店在家东边100米,张明同学从家里出发，向东走了50米，接着又向西走了70米，此时张明的位置在 ( B )
A. 在家 B. 在学校 C. 在书店 D. 不在上述地方【版权所有：21教育】
题型2、某体育用品公司通过公开招标，接到一批生产比赛用的篮球业务，而比赛用的篮球质量有严格规定，其中误差±5g符合要求，现质检员从中抽取6个篮球进行检查，检查结果如下表：单位：g21教育名师原创作品
①
②
③
④
⑤
⑥
＋3
－2
+4
－6
+1
－3
有几个篮球符合质量要求？
其中质量最接近标准的是几号球？
解：（1）①②③⑤⑥
(2) ⑤
题型3、司机小王加满70升的汽油后，从火车站出发，向东行驶了32千米，遇上—位要去火车站的客人，于是掉头从原路返回，行驶到—半的路程时，客人突然有事下车，问此时小王在火车站的什么位置?如果该汽车每100千米耗油l5升，问到现在为止小王的车里还剩多少汽油?
解：向东行驶记为正，向西行驶则记为负，
依题意可得+32-(32÷2)=16(千米)70-15÷100×(32+32÷2)=
62.8(升)答：小王在火车站东边16千米处.现在小王车里还剩62.8升汽油.
题型4、某民航规定旅客可以免费携带a千克物品，但若超过a千克，则要收—定的费用，费用规定如下：旅客携带的物品重量b千克(b≥a)乘以10，再减去200，就得应该交的费用．
(1)小明携带了50千克的物品，问他应交多少费用?
(2)小王交了l00元费用，问他携带了多少千克物品?
(3)这里的a等于多少?
解：(1)小明携带了50千克的物品，问他应交的费用是50×10-200=300(元)
(2)小王交了100元费用那么他携带的物品是(200+100)÷10=30(千克)
(3)a等于200÷10=20(千克)
二、课堂重难点题型精讲
题型1、有关数轴的问题
1．（2009秋?建湖县期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数﹣2009的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2009）=2008，
2008÷4=502，
∴数轴上表示数﹣2009的点与圆周上起点处表示的数字重合，即与0重合．
故选A．
2．（2004?郑州）已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题要先对A点所在的位置进行讨论，得出A点表示的数，然后分别讨论所求点在A的左右两边的两种情况，即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上的A点到原点的距离是2，∴点A可以表示2或﹣2．
（1）当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有2﹣3=﹣1，2+3=5；
（2）当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣3=﹣5，﹣2+3=1．
故选D．
3．（2015秋?高新区期末）点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= 4或10 ．
【分析】根据BC=3，B表示的数为2，得出C表示的数为﹣1或5，进而求出线段AC的长度．
【解答】解：∵如下图，点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，且BC=3，
∴C表示的数为﹣1或5，
当C表示的数为﹣1时，
AC=4．
C表示的数为5时，
AC=10．
故答案为：4或10．
4．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC，若|a|＞|b|＞|c|，则该数轴的原点O的位置应该在 点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方 ．
【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【解答】解：∵|a|＞|b|＞|c|，
∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，
又∵AB=BC，
∴原点O的位置应该在点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方．
故答案为：点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方．
5．（2011秋?垫江县校级月考）数轴上距离表示﹣2的点有5个单位的点表示的数是 3或﹣7 ．
【分析】符合条件的点有两个，一个在﹣2点的左边，一个在﹣2点的右边，且都到﹣2点的距离都等于5，得出算式﹣2+5和﹣2﹣5，求出即可．
【解答】解：数轴上距离表示﹣2的点有5个单位的点表示的数是﹣2+5=3或﹣2﹣5=﹣7，
故答案为：3或﹣7．
6．（2015秋?泰州校级月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 ﹣4π ；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；
②分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．
【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π?2=﹣4π，
故答案为：﹣4π；
（2）①第1次滚动后，|﹣1|=1，
第2次滚动后，|﹣1+2|=1，
第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|=3，
第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|=5，
第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|=2，
第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|=10，
则第6次滚动后，小圆离原点最远；
②设时间为t秒，
分四种情况讨论：
i）当两圆同向右滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt﹣πt=6π，
2t﹣t=6，
t=6，
2πt=12π，πt=6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．
ii）当两圆同向左滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，
﹣πt+2πt=6π，
﹣t+2t=6，
t=6，
﹣2πt=﹣12π，﹣πt=﹣6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣12π、﹣6π．
iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，
同理得：2πt﹣（﹣πt）=6π，
3t=6，
t=2，
2πt=4π，﹣πt=﹣2π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、﹣2π．
iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，
同理得：πt﹣（﹣2πt）=6π，
t=2，
πt=2π，﹣2πt=﹣4π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣4π、2π．
7．①若点A、B、C在数轴上分别表示﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c= 5或﹣2 ；
②关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|=k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．
【分析】①根据条件画出图形，分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7；ii）当C在A的左侧时，如图2，分别列式得出结论；
②先计算方程的最小值，当x在m和n之间时，k最小，最小值就是m和n的距离m﹣n，把k分三种情况讨论：当0＜k＜m﹣n时，原方程无解；当k=m﹣n时，解为：n≤x≤m，当k＞m﹣n时，分x在m的右侧和n的左侧讨论，列式得出方程的解．
【解答】解：①∵点A、B在数轴上分别表示﹣1、4，
∴AB=5，
∵点C到点A、B的距离之和是7，
∴C不可能在A、B之间，
分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7，
则c+1+c﹣4=7，
c=5；
ii）当C在A的左侧时，如图2，有AC+BC=7，
则﹣1﹣c+4﹣c=7，
c=﹣2，
综上所述，c的值为5或﹣2；
故答案为：5或﹣2；
②由题意可知：|x﹣m|+|x﹣n|的最小值为|m﹣n|=m﹣n，
当0＜k＜m﹣n时，原方程无解；
当k=m﹣n时，原方程的解为：n≤x≤m，如图3，
当k＞m﹣n时，分两种情况：i）当x＞m时，如图4，x﹣m+x﹣n=k，
2x=k+m+n，
x=（k+m+n），
ii）当x＜n时，如图5，m﹣x+n﹣x=k，
2x=m+n﹣k，
x=（m+n﹣k），
此时原方程的解为：x1=（k+m+n），x2=（m+n﹣k）．
8．（2016秋?江阴市校级月考）已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16．
（1）求出B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
（3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？
【分析】（1）在数轴上表示﹣16的点移动50个单位后，所得的点表示为﹣16﹣50=﹣66或﹣16+50=34；
（2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可；
（3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）﹣16+50=34，﹣16﹣50=﹣66．
答：B地在数轴上表示的数是34或﹣66．
（2）第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7=4，
第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8=﹣4，
因为点P、Q与A点的距离都是4米，
所以点P、点Q到A地的距离相等；
（3）当n为100时，它在数轴上表示的数为：
﹣16+1﹣2+3﹣4+…+（100﹣1）﹣100==﹣66，
34﹣（﹣66）=100（米）．
答：小乌龟到达的点与点B之间的距离是100米．
9．（2016秋?扬州月考）如图1，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：单位长度）．由此可得
（1）玩具火车的长为 4 个单位长度．
（2）你能解决下面问题吗？
一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？请你帮他求出来．
（3）在（1）的条件下数轴上放置与AB一模一样的玩具火车CD，使原点与C重合，两列玩具火车分别从O和A同时向右出发，已知CD火车速度1个单位/秒，AB火车速度为0.5个单位/秒，问几秒两火车头A与C相距1个单位？
【分析】（1）此题关键是正确识图和理解当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，由数轴观察得三个玩具火车的长为15﹣3=12，则可以求一个玩具火车的长；
（2）与（1）类似，把小明与奶奶的年龄差看作是火车长AB，烦人奶奶和小明一样大时，看作向左移，把B移到A，A′对应﹣40，小明和奶奶一样大时，向右移，到B′，116，计算可得火车长，即小明与奶奶的年龄差，从而得出奶奶的年龄；
（3）看火车头，C与A，设时间为x秒，点C向右移动表示为x，点A向右移动，表示为7+0.5x，根据两火车头A与C相距1个单位列方程得结论，注意有两种情况，因为CD火车速度大，所以可以分为CD火车在AB火车的右边或左边分别列式．
【解答】解：（1）如图1，可知：三个玩具火车的长为15﹣3=12，
则一个玩具火车的长为：12÷3=4，
故答案为：4；
（2）借助数轴，类似（1）可知：
奶奶和小明的年龄差为AB，
A′表示的数为﹣40，B′表示的数为116，
116﹣（﹣40）=156，156÷3=52，
则52是奶奶和小明的年龄差，
∴116﹣52=64，
则奶奶现在的年龄是64岁；
（3）如图2，设x秒两火车头A与C相距1个单位，
由（1）得：A表示的数为3+4=7，
7+0.5x=x+1，或7+0.5x+1=x，
x=12或x=16，
答：12秒或16秒时两火车头A与C相距1个单位．
10．（2015秋?阜阳期末）如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．
（1）填空：AB= 14 ，BC= 20 ；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
【分析】（1）根据两点之间的距离的概念可以计算．
（2）设未知数列代数式解决．
【解答】解：（1）由图象可知AB=（﹣10）﹣（﹣24）=14，BC=10﹣（﹣10）=20．
故答案为14、20．
（2）设运动时间为t秒．
∵BC﹣AB=（20+7t﹣3t）﹣（14+t+3t）=20+4t﹣14﹣4t=6
∴BC﹣AB的值与时间t无关
∴BC﹣AB的值不随时间的变化而变化．
11．（2015秋?商水县期末）在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点
（1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是 ，则点N表示的数是 （用含x的代数式表示），并计算线段MN的长；
（2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长；
（3）如果点P在点A左侧，则线段MN的长度会改变吗？如果改变，请说明理由；如果不变，请直接写出结果．
【分析】（1）、（2）、（3）根据题意画出图形，用x表示出MN表示的数，再由数轴上两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示，
∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，
∴点M表示，点N表示，
∴MN=﹣=5，
故答案为：，；
（2）如图2所示，
∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，
∴点M表示，点N表示，
∴MN=﹣﹣=5；
（3）不会改变，MN=5，理由同（2）．
12．（2015秋?惠山区期中）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为 5 cm．
（2）由题（1）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我已经116岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15（cm），则此木棒长为5cm，
（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣34，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为116，所以可知爷爷比小红大[116﹣（﹣34）]÷3=50，可知爷爷的年龄．
【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15（cm），
则此木棒长为5cm．
故答案为：5．
（2）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为﹣34．
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为116．
∴可知爷爷比小红大[116﹣（﹣34）]÷3=50岁，
可知爷爷的年龄为116﹣50=66岁．
故爷爷现在66岁．
题型2、有关绝对值的问题
1．（2005?龙岩）已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m| ＞ |n|（填“＜”、“＞”、“=”）．
【分析】根据公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），及有理数的运算法则求解．
【解答】解：∵x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），
∴m+n=p，mn=q．
又∵m＜0，n＞0，且pq＞0，
∴mn＜0，m+n＜0，
∴m＜﹣n，
∴|m|＞|n|．
答：|m|与|n|的大小关系|m|＞|n|．
2．（2002?常州）若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是 x≤0 ．
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3=x﹣3，无解；
②当0＜x＜3时，原式可化为：x+3=3﹣x，此时x=0；
③当x≤0时，原式可化为：﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
3．（2013?永州）已知+=0，则的值为 ﹣1 ．
【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵+=0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴==﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（2009?鹤岗模拟）已知|x|=4，|y|=2，且xy＜0，则x﹣y的值等于 6或﹣6 ．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
有理数的乘法法则：同号得正，异号得负．
【解答】解：∵|x|=4，|y|=2，
∴x=±4，y=±2．
又xy＜0，∴x=4，y=﹣2或x=﹣4，y=2．
当x=4，y=﹣2时，
x﹣y=4﹣（﹣2）=6，
当x=﹣4，y=2时，
x﹣y=﹣4﹣2=﹣6．
故答案为：6或﹣6．
5．（2014?雨花区校级自主招生）设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是 16 ．
【分析】若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d=9，最高位数字最小a=1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c=1，此时b只能为1，所以此数为1119，再代入计算即可求解．
【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d=9，最高位数字最小a=1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c=1，此时b只能为1，所以此数为1119，
|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|=0+0+8+8=16．
故答案为：16．
6．（2013秋?乐至县期末）如图所示，在直线l上有若干个点A1、A2、…、An，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段A1An上的一个动点．
（1）当n=3时，则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 2 ；
（2）当n=13时，则当点P在点 A7 的位置时，点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值，且最小值是 42 ．
【分析】（1）根据线段的中点到线段两端点的距离最小，可得P在A2处，根据PA1+PA3，可得最小值；
（2）根据线段的中点到线段两端点的距离最小，可得P在A7处，根据各条线段的距离和，可得最小值．
【解答】解：（1）P在A2处，PA1+PA3=1+1=2，；
（2）当点P在点 A7的位置时，（PA1+PA2+PA3+PA4+PA5+PA6）×2
=（1+2+3+4+5+6）×2=42，
故答案为：2，A7，42．
7．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 4、﹣4、0 ．
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【解答】解：∵a，b，c为有理数，
①若a＞0，b＞0，c＞0，
∴=1+1+1+1=4；
②若a，b，c中有两个负数，则abc＞0，
∴=（1﹣2）+1=0，
③若a，b，c中有一个负数，则abc＜0，
∴=（2﹣1）+（﹣1）=0，
④若a，b，c中有三个负数，则abc＜0，
∴=（﹣3）+（﹣1）=﹣4，
故答案为：±4，0．
8．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．
【分析】在考虑|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|的最小值问题时，只要让每个绝对值里结果最小就行了，因为这6个数分别是1，2，3，4，5，6，所以每个绝对值里最小时，S最小，而绝对值最小是1，但如果前5个绝对值是1，则最后一个一定是5，所以S最小是10．
【解答】解：S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，
S最小值=1+1+1+1+1+5=10，
则S的最小值是10．
9．（2015秋?古田县校级期末）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 7 ，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 |x﹣2| ．
（3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是 ﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用距离公式求解即可；
（3）利用绝对值求解即可；
（4）利用绝对值及数轴求解即可；
（5）根据数轴及绝对值，即可解答．
【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；
（3）∵|x﹣2|=5，
∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，
解得：x=7或x=﹣3，
故答案为：7或﹣3；
（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）有最小值是3．
10．（2013秋?延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小值是 3 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是 4≤x≤6 ，最小值是 8 ．
（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．
【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8；
（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4；
当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4；
当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8，
所以x=﹣2时，y有最大值y=4．
11．（2016秋?灌云县月考）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|=2，那么x为 1或﹣3 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
④当x= 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|=5．
【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上．
④分三种情况讨论即可求得．
【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；
②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，
如果AB=2，则x+1=±2，
解得x=1或﹣3；
③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2．
④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，
若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，
若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，
所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．
12．（2015秋?石景山区期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．
（1）A、B两点的距离AB= 2 ，A、C两点的距离AC= 5 ；
（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= |x+3| ；
（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= 4 ．
【分析】（1）直接利用数轴可得AB，AC的长；
（2）结合数轴可得出点E表示的数为x，则AE的长为：|x+3|；
（3）直接利用数轴可得出|x﹣1|+|x+3|的最小值．
【解答】解：（1）如图所示：AB=2，AC=5．
故答案为：2，5；
（2）根据题意可得：AE=|x+3|．
故答案为：|x+3|；
（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．
故答案为：4．
三、课堂举一反三精炼
1.绝对值等于4的数是
2.在数轴上，与表示数—2的点的距离为3的数是 __
3.128米长的绳子，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截法，第7次后剩下的绳子长为 米。
4.若a,b互为相反数，x,y互为倒数，p的绝对值为2，则代数式的值为 ___
5.数轴上一个点到-2的距离是7，那么这个点在数轴上表示的数是
6.．按一定规律排列的一列数依次为：……按此规律排列下
去，这列数中的第7个数是 .
7．绝对值小于3的所有整数相乘，积为 .
8.已知均不为0，请计算：
9.绝对值大于而小于的所有整数是 ，它们的乘积是 ；
10.若011.判断下列结论正确的是（ ）
A、绝对值等于其本身的数只有0 B、相反数等于其本身的数只有0
C、倒数等于其本身的数只有1 D、平方等于其本身的数有1、-1
下列命题：（1）无理数可分为正无理数、零、负无理数；（2）数轴上的每一个点都与实数一一对应（3）若实数a有立方根，则a为非负数；（4）立方根与平方根相等的数是1，其中正确的命题个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
13.下列有理数大小关系判定正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
14.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②数轴上的点与有理数一一对应；③绝对值等于本身的数是0；④0除以任何数都得0；⑤一个数的平方根等于它本身的数是0,1.其中正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
15.如果是负数，那么这四个数中，负数的个数（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、4个
16.小甲虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米）
小甲虫最后是否回到出发点O呢？
②在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？
17.在数轴上表示各数：、、、、 ，并按从小到大的顺序用“<”连接起来 ．
18.先阅读，再解题：
=
==
参照上述解法计算：
±4 2. -5,1 3. 1 4. -3 5. -9或5 6. 7. 0
8. -2或0或2 9. 0 10.
11. B 12. B 13. D 14. A 15. A
16.小甲虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米）
小甲虫最后是否回到出发点O呢？
②在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？
解①
所以小甲虫最后回到出发点O
②小甲虫爬行的总路程为：
17.在数轴上表示各数：、、、、 ，并按从小到大的顺序用“<”连接起来 ．
18.先阅读，再解题：
=
==
参照上述解法计算：
一、基础知识及考点剖析
考点1：有理数的有关概念
1、正数与负数的相对性
2、有理数的定义及分类
有理数．
题型1、下列具有相反意义的量是 （ B ）
A、盈利3万元与支出2万元 B.、胜3局与负2局
C、气温升高3。C与气温为- 3。C D、 前进与后退
题型2、给出下列说法：
① 0是整数；②是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数．其中正确的有（ C ）21世纪教育网版权所有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
题型3、 在1，，0.5，+7，0，-6.4，-9，，0.，，- ，中
分数有（ ， 0.5 ， -6.4 ， ， 0. ， - ）
正整数有（ 1 ， +7 ）
自然数有（ 0 ， 1 ， +7 ）
题型4、下列四个数中，是负数的是（ C ）
A.|-2| B.（-2）2 C.- D.
考点2：数轴
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
题型1、下列说法中，不正确的是 ( A )
A．数轴是—条直线
B．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
C．数轴上左边的数一定比右边的数小
D．数轴上的点与实数一一对应
题型2、 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为（ D ）
A．5 B．1 C．5或1 D．5或－1 21教育网
题型3、把﹣1.5，，3，﹣，﹣π，表示在数轴上，并把它们用“＜”连接起来
解答：解：
根据数轴可以得到：﹣π＜﹣1.5＜﹣＜＜3．
题型4、已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若折叠后，数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 2 表示的点重合；
（2）若折叠后，数3表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ﹣3.5 ，B点表示的数为 5.5 ．21cnjy.com
解答：解：（1）2．
（2）﹣3（2分）；A表示﹣3.5，B表示5.5．
题型5、如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：
①如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示什么数，是多少？
②如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数，图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小，是多少？21·cn·jy·com
负数， -1
正数， 点C ，0.5
题型6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，点C所表示的实数是 ﹣2﹣ ．www.21-cn-jy.com
解答：解：点B到点A的距离为：1+，则点C到点A的距离也为1+，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为：﹣1﹣x=1+，所以x=﹣2﹣．2·1·c·n·j·y
考点3：相反数与倒数
1、只有符号不相同的两个数称为互为相反数；零的相反数是零；
2、相反数的数轴表示：互为相反数在原点的两侧且到原点的距离相等；
3、1除以这个数的商称为这个数的倒数，零没有倒数；
4、相反数是符号不同，绝对值相同（零除外）；倒数是符号相同，绝对值不同。
题型1、下列各对数中，互为相反数的是（ C ）
A、－1.01和1.1 B、 和 C、－0.125和 D、－0.125和8
题型2、一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（ A ）
A．1 B．±1 C．0 D．－1 【来源：21·世纪·教育·网】
题型3、___2013_____
题型4、若与互为相反数，则x+y=__6 __
考点4：绝对值
一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．21·世纪*教育网
题型1、绝对值等于6的数是 ( )
A．6 B．-6 C．土6 D．以上都不对www-2-1-cnjy-com
题型2、下列关系一定成立的是（ D ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
题型3、绝对值大于1而不大于3的整数是 -3， -2， 2，3 。
题型4、同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,几何意义为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.则的几何意义是 到-1的距离 2-1-c-n-j-y
题型5、若|a-5|+|b+3|＝0，则a＝_5__，b＝_-3__
题型6、︱a︱=3;︱b︱=2,ab＜0,求a+b的值
-1或1
考点5：大小比较
比较方法：（1）数轴法：将各数分别表示到同一根数轴上，然后按照从左到右由小到大排列即可；
（2）法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小；21*cnjy*com
题型1、有理数中，最大的负整数是__-1___，最小的正整数是___1___。最大的非正数是 0
题型2、写出所有比－3大的负整数____-2，-1___________；
题型3、已知a,b在数轴上的位置表示如右图比较下列数的大小：
0 < a； b < 0; -b > 0 -b > a; 【来源：21cnj*y.co*m】
︱b︱ > a; a+b < 0; a-b > 1； -a > b【出处：21教育名师】
考点6：实际应用
题型1、学校、家、书店依次座落在一条东西走向的大街上，学校在家的西边20米，书店在家东边100米,张明同学从家里出发，向东走了50米，接着又向西走了70米，此时张明的位置在 ( B )
A. 在家 B. 在学校 C. 在书店 D. 不在上述地方【版权所有：21教育】
题型2、某体育用品公司通过公开招标，接到一批生产比赛用的篮球业务，而比赛用的篮球质量有严格规定，其中误差±5g符合要求，现质检员从中抽取6个篮球进行检查，检查结果如下表：单位：g21教育名师原创作品
①
②
③
④
⑤
⑥
＋3
－2
+4
－6
+1
－3
有几个篮球符合质量要求？
其中质量最接近标准的是几号球？
解：（1）①②③⑤⑥
(2) ⑤
题型3、司机小王加满70升的汽油后，从火车站出发，向东行驶了32千米，遇上—位要去火车站的客人，于是掉头从原路返回，行驶到—半的路程时，客人突然有事下车，问此时小王在火车站的什么位置?如果该汽车每100千米耗油l5升，问到现在为止小王的车里还剩多少汽油?
解：向东行驶记为正，向西行驶则记为负，
依题意可得+32-(32÷2)=16(千米)70-15÷100×(32+32÷2)=
62.8(升)答：小王在火车站东边16千米处.现在小王车里还剩62.8升汽油.
题型4、某民航规定旅客可以免费携带a千克物品，但若超过a千克，则要收—定的费用，费用规定如下：旅客携带的物品重量b千克(b≥a)乘以10，再减去200，就得应该交的费用．
(1)小明携带了50千克的物品，问他应交多少费用?
(2)小王交了l00元费用，问他携带了多少千克物品?
(3)这里的a等于多少?
解：(1)小明携带了50千克的物品，问他应交的费用是50×10-200=300(元)
(2)小王交了100元费用那么他携带的物品是(200+100)÷10=30(千克)
(3)a等于200÷10=20(千克)
二、课堂重难点题型精讲
题型1、有关数轴的问题
1．（2009秋?建湖县期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数﹣2009的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2009）=2008，
2008÷4=502，
∴数轴上表示数﹣2009的点与圆周上起点处表示的数字重合，即与0重合．
故选A．
2．（2004?郑州）已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题要先对A点所在的位置进行讨论，得出A点表示的数，然后分别讨论所求点在A的左右两边的两种情况，即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上的A点到原点的距离是2，∴点A可以表示2或﹣2．
（1）当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有2﹣3=﹣1，2+3=5；
（2）当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣3=﹣5，﹣2+3=1．
故选D．
3．（2015秋?高新区期末）点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= 4或10 ．
【分析】根据BC=3，B表示的数为2，得出C表示的数为﹣1或5，进而求出线段AC的长度．
【解答】解：∵如下图，点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，且BC=3，
∴C表示的数为﹣1或5，
当C表示的数为﹣1时，
AC=4．
C表示的数为5时，
AC=10．
故答案为：4或10．
4．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC，若|a|＞|b|＞|c|，则该数轴的原点O的位置应该在 点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方 ．
【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【解答】解：∵|a|＞|b|＞|c|，
∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，
又∵AB=BC，
∴原点O的位置应该在点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方．
故答案为：点C的右边或者在点B与点C之间（且靠近点C）的地方．
5．（2011秋?垫江县校级月考）数轴上距离表示﹣2的点有5个单位的点表示的数是 3或﹣7 ．
【分析】符合条件的点有两个，一个在﹣2点的左边，一个在﹣2点的右边，且都到﹣2点的距离都等于5，得出算式﹣2+5和﹣2﹣5，求出即可．
【解答】解：数轴上距离表示﹣2的点有5个单位的点表示的数是﹣2+5=3或﹣2﹣5=﹣7，
故答案为：3或﹣7．
6．（2015秋?泰州校级月考）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 ﹣4π ；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；
②分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．
【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π?2=﹣4π，
故答案为：﹣4π；
（2）①第1次滚动后，|﹣1|=1，
第2次滚动后，|﹣1+2|=1，
第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|=3，
第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|=5，
第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|=2，
第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|=10，
则第6次滚动后，小圆离原点最远；
②设时间为t秒，
分四种情况讨论：
i）当两圆同向右滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt﹣πt=6π，
2t﹣t=6，
t=6，
2πt=12π，πt=6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．
ii）当两圆同向左滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，
﹣πt+2πt=6π，
﹣t+2t=6，
t=6，
﹣2πt=﹣12π，﹣πt=﹣6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣12π、﹣6π．
iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，
同理得：2πt﹣（﹣πt）=6π，
3t=6，
t=2，
2πt=4π，﹣πt=﹣2π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、﹣2π．
iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，
同理得：πt﹣（﹣2πt）=6π，
t=2，
πt=2π，﹣2πt=﹣4π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣4π、2π．
7．①若点A、B、C在数轴上分别表示﹣1、4、c，且点C到点A、B的距离之和是7，则c= 5或﹣2 ；
②关于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|=k（m＞n，k＞0），借助数轴探究方程的解的情况，直接写出结论．
【分析】①根据条件画出图形，分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7；ii）当C在A的左侧时，如图2，分别列式得出结论；
②先计算方程的最小值，当x在m和n之间时，k最小，最小值就是m和n的距离m﹣n，把k分三种情况讨论：当0＜k＜m﹣n时，原方程无解；当k=m﹣n时，解为：n≤x≤m，当k＞m﹣n时，分x在m的右侧和n的左侧讨论，列式得出方程的解．
【解答】解：①∵点A、B在数轴上分别表示﹣1、4，
∴AB=5，
∵点C到点A、B的距离之和是7，
∴C不可能在A、B之间，
分两种情况：i）当C在B的右侧时，如图1，有AC+BC=7，
则c+1+c﹣4=7，
c=5；
ii）当C在A的左侧时，如图2，有AC+BC=7，
则﹣1﹣c+4﹣c=7，
c=﹣2，
综上所述，c的值为5或﹣2；
故答案为：5或﹣2；
②由题意可知：|x﹣m|+|x﹣n|的最小值为|m﹣n|=m﹣n，
当0＜k＜m﹣n时，原方程无解；
当k=m﹣n时，原方程的解为：n≤x≤m，如图3，
当k＞m﹣n时，分两种情况：i）当x＞m时，如图4，x﹣m+x﹣n=k，
2x=k+m+n，
x=（k+m+n），
ii）当x＜n时，如图5，m﹣x+n﹣x=k，
2x=m+n﹣k，
x=（m+n﹣k），
此时原方程的解为：x1=（k+m+n），x2=（m+n﹣k）．
8．（2016秋?江阴市校级月考）已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16．
（1）求出B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？
（3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？
【分析】（1）在数轴上表示﹣16的点移动50个单位后，所得的点表示为﹣16﹣50=﹣66或﹣16+50=34；
（2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可；
（3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）﹣16+50=34，﹣16﹣50=﹣66．
答：B地在数轴上表示的数是34或﹣66．
（2）第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7=4，
第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8=﹣4，
因为点P、Q与A点的距离都是4米，
所以点P、点Q到A地的距离相等；
（3）当n为100时，它在数轴上表示的数为：
﹣16+1﹣2+3﹣4+…+（100﹣1）﹣100==﹣66，
34﹣（﹣66）=100（米）．
答：小乌龟到达的点与点B之间的距离是100米．
9．（2016秋?扬州月考）如图1，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：单位长度）．由此可得
（1）玩具火车的长为 4 个单位长度．
（2）你能解决下面问题吗？
一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？请你帮他求出来．
（3）在（1）的条件下数轴上放置与AB一模一样的玩具火车CD，使原点与C重合，两列玩具火车分别从O和A同时向右出发，已知CD火车速度1个单位/秒，AB火车速度为0.5个单位/秒，问几秒两火车头A与C相距1个单位？
【分析】（1）此题关键是正确识图和理解当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，由数轴观察得三个玩具火车的长为15﹣3=12，则可以求一个玩具火车的长；
（2）与（1）类似，把小明与奶奶的年龄差看作是火车长AB，烦人奶奶和小明一样大时，看作向左移，把B移到A，A′对应﹣40，小明和奶奶一样大时，向右移，到B′，116，计算可得火车长，即小明与奶奶的年龄差，从而得出奶奶的年龄；
（3）看火车头，C与A，设时间为x秒，点C向右移动表示为x，点A向右移动，表示为7+0.5x，根据两火车头A与C相距1个单位列方程得结论，注意有两种情况，因为CD火车速度大，所以可以分为CD火车在AB火车的右边或左边分别列式．
【解答】解：（1）如图1，可知：三个玩具火车的长为15﹣3=12，
则一个玩具火车的长为：12÷3=4，
故答案为：4；
（2）借助数轴，类似（1）可知：
奶奶和小明的年龄差为AB，
A′表示的数为﹣40，B′表示的数为116，
116﹣（﹣40）=156，156÷3=52，
则52是奶奶和小明的年龄差，
∴116﹣52=64，
则奶奶现在的年龄是64岁；
（3）如图2，设x秒两火车头A与C相距1个单位，
由（1）得：A表示的数为3+4=7，
7+0.5x=x+1，或7+0.5x+1=x，
x=12或x=16，
答：12秒或16秒时两火车头A与C相距1个单位．
10．（2015秋?阜阳期末）如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．
（1）填空：AB= 14 ，BC= 20 ；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．试探索：BC﹣AB的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
【分析】（1）根据两点之间的距离的概念可以计算．
（2）设未知数列代数式解决．
【解答】解：（1）由图象可知AB=（﹣10）﹣（﹣24）=14，BC=10﹣（﹣10）=20．
故答案为14、20．
（2）设运动时间为t秒．
∵BC﹣AB=（20+7t﹣3t）﹣（14+t+3t）=20+4t﹣14﹣4t=6
∴BC﹣AB的值与时间t无关
∴BC﹣AB的值不随时间的变化而变化．
11．（2015秋?商水县期末）在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点
（1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是 ，则点N表示的数是 （用含x的代数式表示），并计算线段MN的长；
（2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长；
（3）如果点P在点A左侧，则线段MN的长度会改变吗？如果改变，请说明理由；如果不变，请直接写出结果．
【分析】（1）、（2）、（3）根据题意画出图形，用x表示出MN表示的数，再由数轴上两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示，
∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，
∴点M表示，点N表示，
∴MN=﹣=5，
故答案为：，；
（2）如图2所示，
∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，
∴点M表示，点N表示，
∴MN=﹣﹣=5；
（3）不会改变，MN=5，理由同（2）．
12．（2015秋?惠山区期中）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为 5 cm．
（2）由题（1）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我已经116岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15（cm），则此木棒长为5cm，
（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣34，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为116，所以可知爷爷比小红大[116﹣（﹣34）]÷3=50，可知爷爷的年龄．
【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15（cm），
则此木棒长为5cm．
故答案为：5．
（2）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为﹣34．
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为116．
∴可知爷爷比小红大[116﹣（﹣34）]÷3=50岁，
可知爷爷的年龄为116﹣50=66岁．
故爷爷现在66岁．
题型2、有关绝对值的问题
1．（2005?龙岩）已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m| ＞ |n|（填“＜”、“＞”、“=”）．
【分析】根据公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），及有理数的运算法则求解．
【解答】解：∵x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），
∴m+n=p，mn=q．
又∵m＜0，n＞0，且pq＞0，
∴mn＜0，m+n＜0，
∴m＜﹣n，
∴|m|＞|n|．
答：|m|与|n|的大小关系|m|＞|n|．
2．（2002?常州）若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是 x≤0 ．
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3=x﹣3，无解；
②当0＜x＜3时，原式可化为：x+3=3﹣x，此时x=0；
③当x≤0时，原式可化为：﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
3．（2013?永州）已知+=0，则的值为 ﹣1 ．
【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵+=0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴==﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（2009?鹤岗模拟）已知|x|=4，|y|=2，且xy＜0，则x﹣y的值等于 6或﹣6 ．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
有理数的乘法法则：同号得正，异号得负．
【解答】解：∵|x|=4，|y|=2，
∴x=±4，y=±2．
又xy＜0，∴x=4，y=﹣2或x=﹣4，y=2．
当x=4，y=﹣2时，
x﹣y=4﹣（﹣2）=6，
当x=﹣4，y=2时，
x﹣y=﹣4﹣2=﹣6．
故答案为：6或﹣6．
5．（2014?雨花区校级自主招生）设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是 16 ．
【分析】若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d=9，最高位数字最小a=1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c=1，此时b只能为1，所以此数为1119，再代入计算即可求解．
【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d=9，最高位数字最小a=1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c=1，此时b只能为1，所以此数为1119，
|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|=0+0+8+8=16．
故答案为：16．
6．（2013秋?乐至县期末）如图所示，在直线l上有若干个点A1、A2、…、An，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段A1An上的一个动点．
（1）当n=3时，则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 2 ；
（2）当n=13时，则当点P在点 A7 的位置时，点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值，且最小值是 42 ．
【分析】（1）根据线段的中点到线段两端点的距离最小，可得P在A2处，根据PA1+PA3，可得最小值；
（2）根据线段的中点到线段两端点的距离最小，可得P在A7处，根据各条线段的距离和，可得最小值．
【解答】解：（1）P在A2处，PA1+PA3=1+1=2，；
（2）当点P在点 A7的位置时，（PA1+PA2+PA3+PA4+PA5+PA6）×2
=（1+2+3+4+5+6）×2=42，
故答案为：2，A7，42．
7．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 4、﹣4、0 ．
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【解答】解：∵a，b，c为有理数，
①若a＞0，b＞0，c＞0，
∴=1+1+1+1=4；
②若a，b，c中有两个负数，则abc＞0，
∴=（1﹣2）+1=0，
③若a，b，c中有一个负数，则abc＜0，
∴=（2﹣1）+（﹣1）=0，
④若a，b，c中有三个负数，则abc＜0，
∴=（﹣3）+（﹣1）=﹣4，
故答案为：±4，0．
8．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．
【分析】在考虑|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|的最小值问题时，只要让每个绝对值里结果最小就行了，因为这6个数分别是1，2，3，4，5，6，所以每个绝对值里最小时，S最小，而绝对值最小是1，但如果前5个绝对值是1，则最后一个一定是5，所以S最小是10．
【解答】解：S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，
S最小值=1+1+1+1+1+5=10，
则S的最小值是10．
9．（2015秋?古田县校级期末）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 7 ，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 |x﹣2| ．
（3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是 ﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用距离公式求解即可；
（3）利用绝对值求解即可；
（4）利用绝对值及数轴求解即可；
（5）根据数轴及绝对值，即可解答．
【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；
（3）∵|x﹣2|=5，
∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，
解得：x=7或x=﹣3，
故答案为：7或﹣3；
（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）有最小值是3．
10．（2013秋?延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小值是 3 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是 4≤x≤6 ，最小值是 8 ．
（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．
【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8；
（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4；
当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4；
当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8，
所以x=﹣2时，y有最大值y=4．
11．（2016秋?灌云县月考）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|=2，那么x为 1或﹣3 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
④当x= 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|=5．
【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；
③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上．
④分三种情况讨论即可求得．
【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；
②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，
如果AB=2，则x+1=±2，
解得x=1或﹣3；
③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2．
④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，
若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，
若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，
所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．
12．（2015秋?石景山区期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．
（1）A、B两点的距离AB= 2 ，A、C两点的距离AC= 5 ；
（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= |x+3| ；
（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= 4 ．
【分析】（1）直接利用数轴可得AB，AC的长；
（2）结合数轴可得出点E表示的数为x，则AE的长为：|x+3|；
（3）直接利用数轴可得出|x﹣1|+|x+3|的最小值．
【解答】解：（1）如图所示：AB=2，AC=5．
故答案为：2，5；
（2）根据题意可得：AE=|x+3|．
故答案为：|x+3|；
（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．
故答案为：4．
三、课堂举一反三精炼
1.绝对值等于4的数是
2.在数轴上，与表示数—2的点的距离为3的数是 __
3.128米长的绳子，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截法，第7次后剩下的绳子长为 米。
4.若a,b互为相反数，x,y互为倒数，p的绝对值为2，则代数式的值为 ___
5.数轴上一个点到-2的距离是7，那么这个点在数轴上表示的数是
6.．按一定规律排列的一列数依次为：……按此规律排列下
去，这列数中的第7个数是 .
7．绝对值小于3的所有整数相乘，积为 .
8.已知均不为0，请计算：
9.绝对值大于而小于的所有整数是 ，它们的乘积是 ；
10.若0
A、绝对值等于其本身的数只有0 B、相反数等于其本身的数只有0
C、倒数等于其本身的数只有1 D、平方等于其本身的数有1、-1
下列命题：（1）无理数可分为正无理数、零、负无理数；（2）数轴上的每一个点都与实数一一对应（3）若实数a有立方根，则a为非负数；（4）立方根与平方根相等的数是1，其中正确的命题个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
13.下列有理数大小关系判定正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
14.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②数轴上的点与有理数一一对应；③绝对值等于本身的数是0；④0除以任何数都得0；⑤一个数的平方根等于它本身的数是0,1.其中正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
15.如果是负数，那么这四个数中，负数的个数（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、4个
16.小甲虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米）
小甲虫最后是否回到出发点O呢？
②在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？
17.在数轴上表示各数：、、、、 ，并按从小到大的顺序用“<”连接起来 ．
18.先阅读，再解题：
=
==
参照上述解法计算：
±4 2. -5,1 3. 1 4. -3 5. -9或5 6. 7. 0
8. -2或0或2 9. 0 10.
11. B 12. B 13. D 14. A 15. A
16.小甲虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米）
小甲虫最后是否回到出发点O呢？
②在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？
解①
所以小甲虫最后回到出发点O
②小甲虫爬行的总路程为：
17.在数轴上表示各数：、、、、 ，并按从小到大的顺序用“<”连接起来 ．
18.先阅读，再解题：
=
==
参照上述解法计算：
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