2.1.1 指数函数
课堂导学
三点剖析
一、根式、分数指数幂与无理数指数幂的意义
【例1】 计算下列各式的值:
(1); (2);
(3)(n∈N*,且n>1);
(4); (5);
(6)++.
思路分析:的意义是n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0.n为奇数时,=a;n为偶数时, =|a|=
解:(1)==3.
(2)==-3.解析:(1)===53=125.
(2)==32=9.
(3)==()-3=()3=.
(4)(a>0)=··===.
(5)2(-2)=2××-2×2×=1-4x-1=1-.
温馨提示
进行根式运算时,通常将根式化为幂的形式,再利用分数指数幂的运算法则进行运算.
【例3】 已知+=3，求下列各式的值.
（1）a+a-1；（2）a2+a-2；（3）.
解析：(1)将+=3,两边平方得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
(2)a2+a-2=（a+a-1）2-2=72-2=47.
(3)==8.
温馨提示
给值求值问题应结合已知条件,将所求式子变形，寻求与已知条件的联系.
三、分数指数幂的运算性质
【例4】 下列等式成立吗？说明理由：
（1）a0=1；（2）=；
（3）=.
解析：（1）不一定成立，当a≠0时成立，当a=0时不成立.
（2）不一定成立，只有当x+y为非负数时才成立，否则不成立.
（3）不成立，因为当-bm2≤0时，不适合分数指数幂的运算性质.
温馨提示
在进行根式、分数指数幂的运算时，要特别注意其使用的条件，否则导致错误.如=成立的条件是a＞0，初学者最容易忽视条件导致错误.如同学们经常出现 如下的错误：===1；=x-y.
各个击破
类题演练1
求下列各式的值：
(1)；
(2)+.
答案：(1) (2)-6-
变式提升1
（1）化简:+.
解析:|m-n|+(m-n)=
答案：
（2）化简:+.
解析:原式=+=-+-=-.
答案:-
类题演练2
计算下列各式的值：
(1)()6(x>0,y>0);
(2)
解析：（1）原式=x3y-2=.
（2）原式===ab2.
答案：（1） (2)ab2
变式提升2
化简:(1)7-3-6+;
(2).
解析：(1)原式=7×-3××2-6×+=-6×+=2×-2×3×=2×-2×=0.
(2)原式=··===
答案：（1）0 （2）
温馨提示
化为分数指数幂是化简根式的重要方法.化简题的最后结论习惯上常与题干的结构形式一致.
类题演练3
已知-=.求:
(1)+;(2)x+x-1;(3)x-x-1.
解析：（1）（+）2=（-）2+4=5+4=9，∴+=3.
（2）x1+x-1=（+）2-2=7.
（3）x-x-1=（+）（-）=3.
答案：（1）3 （2）7 （3）3
变式提升3
若x+x-1=3，求-.
解析：∵（-）2=x+x-1-2=1，
∴-=±1.
答案：±1
类题演练4
a∈R，下列各式中正确的是( )
A.= B.（）2= C.（）n=a D.（a4）3=（a3）4
解析：A项中，当a≥0时，=，运算错；当a＜0时，无意义，∴A项错.B项中，当a=0时，无意义；若a＞0时，指数运算也是错的，∴B项错. C项中，当a＜0时，n为大于1的偶数时，没有意义，∴C项错，D项成立.
答案：D
变式提升4
有下列命题,其中正确命题的个数是( )
①=a ②若a∈R，则（a2-a+1）0=1 ③=+y ④=
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：①中缺少a＞0的条件;
②中，a2-a+1=（a-）2+＞0,故（a2-a+1）0=1成立;
③=≠+y，故③错误;
④=-=≠，故④错误.
答案：B
(3)=
(4)==.
(5)=|a-3|=
(6)++=-2+π-2+2-π=-2.
温馨提示
运算时要分清与（）n这两种形式，对于后者利用（）n=a（n＞1且n∈N*）计算.对于前者,要注意n的奇偶数.
二、分数指数幂再讨论
【例2】 计算下列各式的值:
(1); (2); (3); (4)(a>0);
(5)2(-2).
2.1.2 指数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的概念图象及性质
【例1】 下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.
(1)y=56x+1; (2)y=()3x;
(3)y=; (4)y=π-x;
(5)y=(2a-1)x(a>,且a≠1); (6)y=.
思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.
解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t∈R,y=5t∈(0,+∞).
(2)y=()3x=［()3］x=()x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞).
(3)y=不是指数函数,要使解析式有意义,必须x≠0,定义域为{x|x≠0}.
设t=,则t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞).
(4)y=π-x=()x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(5)y=(2a-1)x(a>且a≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).
(6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,
即1-()x≥0,也就是()x≤1=()0,得x≥0,定义域为{x|x≥0}.
令t=1-()x,当x≥0时,0<()x≤1,0≤1-()x<1,因此t∈［0,1］,y=∈［0,1］.
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)-;
(2)π0.3,0.923.5.
思路分析:利用指数函数单调性可直接比较aα与aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.
解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又->-,
因此,<.
(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.
温馨提示
因为a0=b0=1,当aα、bβ比较大小时(a、b>0,且a、b≠1),往往插入中间值1,使aα、bβ能够通过与1的比较进而区别大小.
二、指数函数性质的应用
【例3】 根据所给条件,确定x的取值范围.
(1)()-3x+5<2;
(2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>且a≠1).
思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.
解:(1)()-3x+5<2(2-1)-3x+5<223x-5<2.
由单调性可知3x-5<1,
即x<2.
(2)当0<2a-1<1,
即
(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5<2x-1,得x>-4;
当2a-1>1,
即a>1.
(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5>2x-1,得x<-4.
温馨提示
求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a＞1时，＞f（x）＞g（x）；当0＜a<1时，＞f（x）＜g（x）.
三、指数函数的单调性
【例4】 试判断函数f（x）=的单调性.
错解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
∴ax1＜ax2，a-x1＞a-x2.
∴ax1-ax2＜0，a-x2-a-x1＜0.
∴f（x1）-f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2），
即f（x）=是增函数.
错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.
正解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则
f（x2）-f（x1）=-=.
∵x1＜x2，
∴-x1＞-x2.
当a＞1时，ax1＜ax2，a-x1＞a-x2，
∴ax2-ax1＞0，a-x1-a-x2＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
此时f（x）是增函数.
当0＜a＜1时，ax1＞ax2，a-x1＜a-x2，
∴ax2-ax1＜0，a-x1-a-x2＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1）此时f（x）是减函数.
故当a＞1时，f（x）是增函数，
当0＜a＜1时，f（x）是减函数.
温馨提示
指数函数y=ax单调性与底数a有关，当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如＞（）xx2-x＞x，再如，若x2-x＞x得＞ax.应熟练掌握如下等价式：当a＞1时，＞＝f（x）g（x）当0＜a＜1时，＞f（x）＜g（x）.
各个击破
类题演练1
(1)指出下列函数哪些是指数函数：
（1）y=x4; （2）y=-4x;
（3）y=（-4）x; （4）y=xx;
（5）y=2x2; （6）y=πx.
答案：（6）是指数函数.
(2)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=0.2-x+25x+1;
(4)y=.
解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.
（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.
（3）y=（5x）2+5x+1,定义域为R，值域为（1，+∞）.
（4）y=,∵1-x2≥0，
∴-1≤x≤1，故定义域为［-1，1］,值域为［，1］.
变式提升1
求函数y=（a＞0且a≠1）的定义域.
解析：当a＞1时，
∵ax-1≥0,
∴x≥0,此时,函数的定义域为［0，+∞］.
当0＜a＜1时，
∵ax-1≥0即ax≥1.
∴x≤0，此时函数的定义域为（-∞，0）.
类题演练2
比较下列各组数的大小:
（1）（）-1.8与（）-2.6；
（2）与1；
（3）（0.8）-2与；
（4）与.
答案：（1）（23）-1.8＜（）-2.6.
（2）＞（）0=1.
（3）0.8-2＞1,＜1,故0.8-2＞.
（4）=（+1）-1=-1＜,故＜.
变式提升2
a∈（1，+∞）时，aα＞aβ，则α、β间的大小关系是（ ）
A.|α|＞|β| B.α＞β C.α≥0≥β D.β>0>α
解析：∵由于a∈（1，+∞），
∴y=ax为增函数.∵aα>aβ，
∴α>β.故选B.
答案：B
类题演练3
设23-2x＜，则x的取值范围是__________________________.
解析：原不等式（0.5）2x-3＜2x-3＞3x2-4-＜x＜1.
答案：（-，1）
变式提升3
已知函数f（x）=πx,x1x2＞0，试比较与f（）的大小.
解析:∵f（x）=πx，
∴f（x1）=πx1，f（x2）=πx2，
∴=，f（）=.
又∵x1x2＞0，∴x1与x2同号.
当x1＞0，x2＞0时，-=（-）2≥0，又π＞1，
∴≥，
即有≥f（）.
当x1＜0，x2＜0时，-=-［-x1+2-x2］
=-·（+）2＜0，
∴＜,
即有＜f（）.
类题演练4
判断y=（a＞0，且a≠1）在［，+∞］上的单调性.
答案：用函数单调性定义可证得：当a＞1时，原函数在［，+∞］上单调递减；
当0＜a＜1时，原函数在［，+∞）上单调递增.
变式提升4
求函数y=（a＞0，a≠1）的单调区间.
解析：设μ=-x2+3x+2=-（x-）2+，∴y=aμ.
当x∈(-∞,)，时，μ（x）是增函数；
当x∈［，+∞］时，μ（x）是减函数；
故当a＞1时，y（μ）是增函数，那么在区间（-∞,）上，函数y=递增；
当0＜a＜1时，y（μ）是减函数，
∴当0＜a＜1时，函数y=在区间［，+∞］上递增.
∴当a＞1时，增区间为(-∞,)；
当0＜a＜1时，增区间为［，+∞］.
同理可知：当a＞1时，y=的减区间为［,+∞］；
当0温馨提示
本题利用复合函数的单调性.即对于y=f［g（x）］，如果y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相同，则为增函数，若y=f（μ）与μ=g（x）的增减性相反，则为减函数，即“同增”“异减”.
2.1 指数函数
互动课堂
疏导引导
2.1.1 指数与指数幂的运算?
1.根式?
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N *.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成± (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.
式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.?
结论:当n是奇数时, =a;
当n是偶数时, =|a|=
疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果x n=a(n∈N且n>1),那么x就叫a的n次方根.
2.分数指数幂?
正数的分数指数幂的意义:?
规定:a=(a>0,m、n∈N *,n>1);
a-= = (a>0,m、n∈N *,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.?
疑难疏引
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.?
除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.?
(2)指数幂与根式运算的统一性.?
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.
(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.?
①a r·a s=a r+ s
同底两数作乘法,底数不变指数加.?
②(a r) s=a r s
幂的乘方要记明,底数不变指数乘.?
③(ab) r=a r b r
积的乘方大不同,变为幂后再相乘.
3.有理指数幂的运算性质?
(1)a r·a s=a r+ s(a>0,r、s∈Q);?
(2)(a r) s=a rs(a>0,r、s∈Q);?
(3)(ab) r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
●案例1化简:?
(1);
(2)-(|x||y|)
【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.?
(1)
=［xy 2(xy) 3］
=［xy 2xy］
=(xy)
=xy
=y.
(2) -=-.
∵|x|≠|y|,?
∴原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.
【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.
●案例2 已知a=-,b=,求的值.
【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.?
∵a≠0,
∴原式=.
又∵a-27b≠0,
∴原式=
【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.
2.1.2 指数函数及其性质?
1.定义?
一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数.它的定义域为R.?
疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+ k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a -x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.
(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.?
①若a=0,当x>0时,a x=0,当x≤0时,a x没有意义;?
②若a<0,如y=(-2) x对于x=、等都是没有意义的;?
③若a=1,则函数为y=1 x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.
2.性质?
y=a x
图象
0a>1时的图象
性质
(1)定义域为R,值域为(0,+∞)
(2)a 0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点
(3)ax=a,即x=1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点
(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
(5)x<0时,a x>1;x>0时,0x<0时,00时,a x>1
(6)既不是奇函数,也不是偶函数
3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0;?
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;?
当0记忆口诀:?
指数增减要看清,抓住底数不放松,?
反正底数大于0,不等于1已表明;?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.?
●案例1如何判断三个数1.5 -0.2,1.3 0.7,()的大小关系？?
【探究】 先比较1.5 -0.2即()0.2和()的大小,考察指数函数y=() x,由于底数在区间(0,1)内,所以指数函数y=() x在(-∞,+∞)上是减函数.故由0.2= <,得1>()0.2>().?
另一方面,由于1.3>1,y=1.3 x在?(-∞,+∞)上是增函数,由0.7>0,得1.3 0.7>1.所以?()<1.5 -0.2<1.3 0.7.于是()<1.5 -0.2<1.3 0.7.?
【溯源】 在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
●案例2求下列函数的定义域与值域:?
(1)y=2;
(2)y=() |x|;?
(3)y=4 x+2 x+1+1;
(4)y=2.
【探究】 (1)因为指数函数y=2 x的定义域为x∈R时,值域为y∈(0,+∞);若x≠0,则y≠1;由于y=2中的≠0,所以y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3},值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)因为y=() |x|中的|x|≥0,所以x∈R,0(3)将已知函数整理成y=4 x+2 x+1+1=(2 x) 2+2(2 x)+1=(2 x+1) 2.由此可知定义域为R,值域为{y| y>1}.
(4)已知函数可化为y=2,由≥0,得x>1;又由>0,得y=2>1.所以定义域为{x| x>1},值域为{y| y>1}.
【溯源】
求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.?
●案例3
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
【探究】
通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并列表、描点、作图,进而求得所求.
设这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.?
经过1年,剩留量y=1×84%=0.84;?
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.71;
……
一般地,经过x年,剩留量y=0.84x.?
根据这个函数关系式可以列表如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.?
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.?
【溯源】
在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.?
●案例4
讨论函数y=() x-() x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域.?
【探究】
通过代换u=() x,则y就成了关于u的二次函数.?
令u=() x,则y=u 2-u+1=(u-) 2+.?
∵x∈［-3,2］,∴≤u=() x≤8.
∴≤y≤57.
∴值域为［,57］.再求单调区间.?
(1) ≤u≤,即≤()x≤,故x∈［1,2］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调减函数,∴y=［()x-］2+是单调增函数.
(2) ≤u≤8,即≤()x≤8,故x∈［-3,1］时,u=() x是单调减函数,y=(u-) 2+是单调增函数,∴y=［()x-］2+是单调减函数.
∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］.?
【溯源】
在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.
活学巧用
1. 计算下列各式.?
(1);
(2)(2) 0+2 -2·(2)-(0.01) 0.5.
【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.?
(1)【解法一】 = = = =(9) =9 =3.
【解法二】=====3
(2)【解】 (2) 0+2 -2·(2)- -(0.01) 0.5
=1+×()-()=1+×-=.
2. 计算:?
(1)();
(2)0.008;
(3)();
(4)(2a+1) 0;
(5)［-() -1］-1.
【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如(1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.
在幂的运算中,对于形如m 0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m≠0时,m 0才有意义;而对于形如()-n的式子,我们一般是先变形为()n,然后再进行运算.
【答案】(1)()-=()= = =.
(2)0.008=(0.2 3) =0.2 -2=() -2=5 2=25.
(3)()=()-===.
(4)(2a+1) 0=1, a≠-,无意义,a=-.
(5)［-() -1］-1
=(-) -1
=(-) -1
=-.
3. 把根式-25(a-b) -2改写成分数指数幂的形式为… ( )?
A.-2(a-b)-
B.-2(a-b)-
C.-2(a- -b-)
D.-2(a--b-)
【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b) -=-2(a-b) -.故选A.
【答案】 A
4. 化简下列各式:?
(1)(x -1+x+ x 0)(x--x);
(2);
(3).
【思路解析】
注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.?
【答案】
(1)原式=(x) 3-(x) 3=x-x.
(2)原式=-=
(x-)2-x-y-+(y-)2-[((x-)2-x-y-+(y-)2)]=2(xy)-=-2.
(3)原式=.
5. 下列各等式中,正确的是( )?
A. =a
B. =
C.a0=1?
D. =(-1)
【思路解析】
要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.?
【解】=|a|,由于不知道a的符号,因此A不正确;?
∵,<0,
∴≠.
因此B不正确;?
如果a=0,则a0没有意义,因此C也不正确;?
∵>1,∴=(-1)=(-1).?
∴D正确.因此,选D.
【答案】 D
6. 已知a +a- =2,求下列各式的值.?
(1) a2 +a -2;
(2) a3 +a -3;
(3) a4 +a -4.
【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a+a-)2=a+ a -1+2=4可知a+ a -1=2.
同理可知
(a+ a -1)2=a2+a -2+2,?
(a2+a -2)2=a4+a -4+2.?
【答案】
(1)2;(2)2;(3)2.
7. 已知x+x =3,求x+ x -1与的值.?
【思路解析】
由(x+x)2=9,
可得x+ x -1=7.?
∵(x+x)3=27,?
∴x+3x·x +3xx -1+x-=27.
∴x+ x-=18.?
故原式=2.
8. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是( )?
A. (1)和(2)都是指数函数?
B. (1)和(2)都不是指数函数?
C. (1)是指数函数,(2)不是?
D. (2)是指数函数,(1)不是?
【思路解析】
由指数函数特征知(1)不是,(2)是.?
【答案】 D
9. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是( )
A. (0, 3)
B. (0, 2)
C. (1, 3)
D. (1, 2)
【思路解析】
函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又∵a取不同的值,因此x-1=0.从而得解.
为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3).
因此,选C.
【答案】 C
10. 设y 1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=() -1.5,则( )?
A. y 3?>y 1?>y 2
B. y 2?>y 1?>y 3
C. y 1?>y 2?>y 3
D. y 1?>y 3?>y 2
【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2 1.8,y 2=2 1.32,y 3=2 1.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y 1>y 3>y 2.?
【答案】 D
11. 当x>0时,函数f(x)=(a 2-1) x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )?
A. 1<|a|<2
B. |a|<1
C. |a|>1
D. |a|>2
【思路解析】 由指数函数的性质可知f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以a 2-1>1,a 2>2,|a|>2.
【答案】 D
12. 函数y=3 (x2+1)的值域为.?
【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.?
由于x 2+1≥1,而y=3 x在(-∞,+∞)?上是增函数,所以y=3 x2+1≥3,即y=3 x2+1的值域为［3,+∞).
【答案】 ［3,+∞)
13. 求函数y=f(x)=() x-() x+1,x∈［-3,2］的值域.?
【思路解析】 将()x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t的二次函数求解.?
【答案】
∵f(x)=［()x］2-() x+1,x∈［-3,2］,?
∴()2≤()x≤()-3,即≤()x≤8.
设t=() x,则≤t≤8.?
将函数化为f(t)=t 2-t+1,t∈［,8］.?
∵f(t)=(t-) 2+,
∴f()≤f(t)≤f(8).?
∴≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［,57］.
14. 曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和y=d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( )?
A. aB. aC. bD. b【思路解析】
首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0【答案】 D
15. 函数f(x)=(a 2-1) x是减函数,则a的取值范围是_____________.?
【思路解析】 如果此函数是减函数则00,a2-1<1.
解得a∈(-2, -1)∪(1,2).?
【答案】 (-2,-1)∪(1,2)
16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=a t,有以下叙述,其中正确的是… ( )
①这个指数函数的底数为2?
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月?
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3,则t 1+t 2=t 3
A.①②
B.①②③④?
C.②③④⑤
D.①②⑤?
【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为y=2 x(x≥0).?
【答案】 D
17. 求函数y=a -x2+2x+2(a>0,且a≠1)的单调区间和值域.?
【思路解析】
本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域.?
【解】
y=a -x2+2x+2=a -(x-1)2+3.?
令t=g(x)=-(x-1)2+3,t在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减.?
y=f(t)=a t=f［g(x)］.?
当a>1时,y=f(t)=a t递增,??
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减.?
当x=1时,y max=a3,
又y=a t>0,?
∴函数的值域为(0,a3］.?
当0∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递减,在区间［1,+∞)上递增,当x=1时,y min=a3,函数的值域为［a3,+∞).
18． 函数y=(-1) (x+1)(x-3)的单调递增区间是( )?
A. (1, +∞)
B. (-∞, 1)
C. (1, 3)
D. (-1, 1)
【思路解析】
此函数可以看成是以u=(x+1)(x-3)与y=(-1) u复合而成的函数,显然y=(-1) u单调递减,所以求内层函数也是递减区间即可,借助二次函数图象可知它在(-∞,1)上满足要求.?
【答案】 B
21． 集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x≥0,f(x)∈(1,4］,且f(x)在［0,+∞)上是减函数.判断函数f1(x)=2-x及f2(x)=1+3·()x(x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中,试说明理由.?
【答案】
∵f1(49)=2-=-5(1,4］,?
∴f1(x)不在集合A中.?
又∵x≥0,
∴0<()x≤1.
∴0<3·()x≤3.
从而1<1+3·()x≤4.
∴f2(x)∈(1,4］.
又f2(x)=1+3·()x在［0,+∞)上为减函数,?
∴f2(x)=1+3·()x在集合A中.
2.1 指数函数
知识导学
在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义.
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:
(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x轴是函数图象的渐近线.
当01时,x→-∞,y→0.
当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快;当0 (2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=()x,y=()x在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
记忆口诀:
(1)方根口诀
正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
(2)指数函数性质口诀
指数增减要看清,抓住底数不放松,
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
疑难导析
用语言叙述这三个公式:
(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
(2)n为奇数时,实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时,实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.
在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.
判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=ax(a>0,a≠1)的形式.
问题导思
指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来.
另外,底数a对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y轴;当0典题导考
绿色通道
根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些.
第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？
黑色陷阱
做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题.
典题变式
1.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2)(-6)÷(-3);
(2)()8.
答案:(1)4a;(2).
2.已知+=3,求a2+a-2的值.
答案:47.
3.已知函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.
答案:12
绿色通道
比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m、n的定位进行判断.
黑色陷阱
如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B的情形.
典题变式 如图2-1-5,曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax、y=bx、y=cx和y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是( )
图2-1-5
A.a答案:D
绿色通道
1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.
首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;
其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.
2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.
典题变式
1.设y1=40.9,y2=80.44,y3=()-1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案:D
2.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|>2
答案:D
绿色通道
本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.
典题变式
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
答案:B
2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.
黑色陷阱
解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.
典题变式 家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,t的单位是年.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？
答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 利用根式的性质化简、求值
利用根式的性质化简求值，就是利用与()n的结果进行去根号化简，所以在运算时要特别注意：
(1)n为奇数时，对任意a∈R都有意义，并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根．即()n＝a.
(2)n为偶数时，只有当a≥0时才有意义， (a>0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，也叫n次算术根，但a还有另一个负的n次方根是－，即(±)n＝a.
(3)( )n与的意义不同. 对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
【典型例题1】 求下列各式的值：
(1) ＋；
(2)( )5＋()6(b>a)．
思路分析：先利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
解：(1)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(2)原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0.
方法总结化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简；化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a.
探究二条件根式的化简
在对根式进行化简时，若被开方数中含有分母，则要注意分母的取值范围，即确定中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果．
若根式的根指数是偶数，可由被开方数不小于0确定出字母的取值范围，再进行化简．
【典型例题2】 化简：
(1)设－3(2)( )2＋＋＝__________；
(3) ＝__________.
思路分析：(1)去根号，化为含绝对值的形式，然后讨论x的范围去绝对值；(2)(3)由根式得出a的范围，再去根号化简．
解：(1)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
(2)由知a－1≥0，
∴原式＝a－1＋＋1－a＝a－1.
(3)由原式知即a＝－1.
∴原式＝＝－.
温馨提醒当n为偶数，化简时，先写成绝对值形式，再去绝对值．
探究三易错辨析
易错点 忽略n的范围导致式子化简出错
【典型例题3】 计算：＋.
错解：＋
＝(1＋)＋(1－)＝2.
错因分析：≠1－，而是＝|1－|＝－1.其出错原因是忽略了＝a成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么＝|a|.
正解：＋
＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．
2．能利用根式的性质对根式进行化简.
一、n次方根
二、根式
名师点拨1.对()n的理解
()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定：
(1)当n为大于1的奇数时，a∈R.例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0，则()n＝a.
(2)当n为大于1的偶数时，a≥0.例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0，则()n＝a；若a<0，例如，由于x2＝－2，x4＝－54均不成立，则，均无意义，所以()2，()4均无意义，则式子()n无意义．
由此看来，只要()n有意义，其值就恒等于a，即()n＝a.
2．对的理解
是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，an不受n的奇偶性限制，a∈R，但是式子的值受n的奇偶性限制：
(1)当n为大于1的奇数时，例如，＝－2，＝6.1，即＝a.
(2)当n为大于1的偶数时，例如，＝3，＝3，即＝|a|.
自主思考－3是9的平方根，对吗？9的平方根是－3吗？
提示：“－3是9的平方根”是正确的，但“9的平方根是－3”是错误的，因为9的平方根有两个是±3.
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便．因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化．
(1)分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
【典型例题1】 将下列根式化为分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2) ；
(3)( ) (b>0)．
解：(1)原式＝＝＝＝
(2)原式＝＝＝
＝＝＝.
(3)原式＝＝＝.
探究二 分数指数幂的运算
当一个式子中既含有根式又含有分数指数幂时，通常，我们需要对其化简，这时一般先统一化为分数指数幂，运用幂的运算性质进行运算．对分数指数幂进行化简时，常将负指数幂化为正指数幂，带分数化为假分数．
【典型例题2】 (1)计算：－＋＋16－0.75＋；
(2)化简：÷ (a>0)．
解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.
温馨提示 此类题目的运算结果，可以是根式也可以是分数指数幂，但不能两者混合，也不能既含有分母又含有负指数．
探究三 条件求值
已知某些代数式的值，求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型．解答这类题目，可先分析条件式与所求式的区别与联系，有时通过化简变形把已知条件整体代入，有时需根据已知条件求出某字母的值再代入．
【典型例题3】 已知＋＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3)a2－a－2.
思路分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件＋＝的联系，进而整体代入求值．
解：(1)将＋＝的两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得
y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.
∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
方法总结整体代换是解答这类问题的重要方法，另外还要注意隐含条件的挖掘与应用．
探究四 易错辨析
易错点 忽略有意义的条件导致计算出错
【典型例题4】 化简：
错解：
＝
＝(1－a)(a－1)－1＝
错因分析：错解中忽略了题中有意义的条件，若有意义，则－a≥0，故a≤0，这样＝(1－a)－1.
正解：由有意义，可知－a≥0，故a≤0，
所以
＝
＝(1－a)(1－a)－1＝.
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
2．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.
一、分数指数幂
自主思考1我们知道an(n∈N*)表示n个a相乘，那么(n∈N*，m∈N*)还表示个a相乘吗？
提示：在中，当不是正整数时，它不表示个a相乘，它是根式的另一种写法．
自主思考2 与一定相等吗？
提示：不一定．当a≥0时，＝；
当a<0时，两者不相等，如a＝－4时，＝(－4)＝＝＝2，而＝(－4)＝无意义，此时，两者显然不相等．
二、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
名师点拨 幂指数概念的扩展过程
如下表所示：
幂指数
定义
底数的取值范围
有理数指数
整数指数
正整数指数
(n∈N*)
a∈R
零指数
a0＝1
a≠0且a∈R
负整数指数
a－n＝ (n∈N*)
a≠0且a∈R
分数指数
正分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a∈R
m为偶数
a≥0
负分数指数
＝ (m，n∈N*，且m>1)
m为奇数
a≠0且a∈R
m为偶数
a>0
无理数指数
ap是一个确定的实数(其中p为无理数)
a>0
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 指数函数的概念
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1.
【典型例题1】 (1)下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；
③y＝(2a－1)x；④y＝2·3x.
(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
思路分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．
解：(1)①中，底数－8<0，故不是指数函数．
②中，指数不是自变量x，故不是指数函数．
③中，∵a>，且a≠1，∴2a－1>0，且2a－1≠1.
∴y＝(2a－1)x是指数函数．
④中，3x前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．
综上所述，仅有③是指数函数．
(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得?a2－3a＋3＝1，,a>0，且a≠1，
解得∴a＝2.
探究二 指数函数的图象问题
1．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
实际上，无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，因此，作出直线x＝1，则该直线与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小．
2．因为函数y＝ax的图象恒过点(0,1)，所以对于函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1)，若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)．
3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
4．处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性．
【典型例题2】 函数y＝|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
思路分析：先讨论x，将函数写为分段函数，然后画出函数的图象，最后根据图象写出函数的值域和单调区间．
解：∵y＝|x|＝
∴其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．
而y＝x(x>0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
探究三 求函数的定义域、值域
对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数：
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
【典型例题3】 求下列函数的定义域与值域．
(1) ； (2)y＝－|x|.
思路分析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
解：(1)∵由x－4≠0，得x≠4，
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
∵≠0，∴≠1.
∴的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，
∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.
故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
方法总结 求指数型函数y＝af(x)的值域主要是利用指数函数的单调性求解，因而求函数y＝f(x)的值域就成为求函数y＝af(x)值域的关键．
探究四 易错辨析
易错点 利用换元法时，忽视中间变量的取值范围
【典型例题4】 求函数y＝x＋x＋1的值域．
错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，故当t＝－时，ymin＝，故原函数的值域是.
错因分析：原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝x>0，而不是t∈R，错解中，t的取值范围扩大了．
正解：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，故原函数的值域是(1，＋∞)．
方法总结求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，再转化为求f(t)的值域．
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数．
2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.
指数函数
名师点拨 对指数函数中底数取值范围的理解
(1)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如，(－2)x，当x＝时无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义．
自主思考函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象有怎样的对称关系？
提示：观察课本第56页图2.1-4知，两函数的图象关于y轴对称．事实上，函数y＝ax图象上任一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y＝x的图象上，所以这两个函数的图象关于y轴对称．
2.1 指数函数
课堂探究
探究一 比较两个幂的大小
对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：
(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．
【典型例题1】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)1.5－7，；
(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值1比较大小．
解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，
考察函数y＝.
∵0<<1，∴y＝在R上是减函数．
又7<12，∴>，
即1.5－7>.
(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则2.3－0.28＜0.67－3.1.
探究二 解指数不等式
解指数不等式问题，需注意三点：
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式利用图象求解．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1) ≤16；
(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．
解：(1)∵≤16，∴≤.
∵0<<1，∴x＋5≥－4，即x≥－9.
故原不等式的解集为{x|x≥－9}．
(2)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
探究三指数型函数的单调性
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；
(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0【典型例题3】 已知函数y＝，
(1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
思路分析：将函数y＝分解为y＝与u＝x2－6x＋17，再根据u＝x2－6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．
解：(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝的定义域为R.
∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴≤.
又>0，∴函数的值域为.
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1，即y1>y2，∴函数y＝在[3，＋∞)上是减函数．
同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．
规律总结函数y＝af(x)可看作是函数y＝au与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称为内函数，函数y＝au为外函数．函数y＝af(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数y＝af(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝af(x)是减函数．
探究四 易错辨析
易错点 因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误
【典型例题4】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
错解：∵y＝(ax＋1)2－2，
又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值．
∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0，
∴a＝3，或a＝－5(舍去)．
∴a＝3.
错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，ax∈；
当0而y＝(t＋1)2－2在(－1，＋∞)上是单调递增的，
故当t取最大值时，y取最大值．
综上，应分两种情况求解才是正确的．
正解：设t＝ax，若a>1，则t∈，
若0∵y＝(t＋1)2－1，它关于t在(－1，＋∞)上单调递增．
∴当a>1时，y在t＝a处取得最大值，
∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3.
当0∴＋－1＝14，∴a＝.
∴a＝3或a＝.
反思 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围．
2.1 指数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值．
2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用.
指数函数的图象和性质
y＝ax(0y＝ax(a>1)
图 象
性 质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1
当x>0时，01
当x>0时，y>1；当x<0时，0在R上是减函数
在R上是增函数
自主思考 底数对指数函数的影响？
提示：(1)对指数函数变化趋势的影响．
①当底数a>1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，且当x>0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图(1)所示．
②当底数0(2)对函数值大小的影响．
①若a>b>1，当x<0时，总有00时，总有ax>bx>1.
②若0ax>1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x>0时，总有0综上所得，当x>0，a>b>0时，ax>bx；当x<0，a>b>0时，ax2.2.1 对数函数
课堂导学
三点剖析
一、对数的概念
【例1】 将下列指数式写成对数式.
(1)2-2=;
(2)102=100;
(3)a0=1(a>0且a≠1);
(4)a1=a(a>0且a≠1);
(5)ea=16;
(6)=.
思路分析:指数式与对数式互化的依据是ab=NlogaN=b(a>0且a≠1).
解:(1)log2=-2;
(2)log10100=2,即lg100=2;
(3)loga1=0;
(4)logaa=1;
(5)loge16=a,即ln16=a;
(6)log64=-.
温馨提示
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段和重要思想方法.
二、对数的运算性质
【例2】 求值：（1）lg-lg+lg;
(2)lg8+log39+lg125+log3;
(3)［log2(log216)］(2log36-log34);
(4)()3-45×2-11.
解析:(1)解法一：原式=（5lg2-2lg7）-·lg2+（2lg7+lg5）
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5
=lg2+lg5=（lg2+lg5）
=lg10=.
解法二：原式=lg-lg4+lg7=lg=10·=lg=.
(2)原式=lg8+lg125+log39+log3
=lg(8×125)+log3(9×)
=lg1 000+log31=3+0=3.
(3)原式=(log24)(log336-log34)
=2log3=2log39
=4.
(4)原式=()3-210×2-11
=()3-2-1=-1-=-.
温馨提示
这类问题的处理方法一般有两种：
（1）将式中真数的积、商、幂运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；（2）将式中的对数的积、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂，然后化简求值.
【例3】 计算下列各式的值:
(1)(log43+log83)log32;
(2);
(3)2+log279.
思路分析:由于对数运算法则中的各公式都是同底的,因此凡作对数运算,若所给式不同底则一般先化成同底.
解:(1)原式=(+)log32
=(+)log32=+=.
(2)原式===-.
(3)原式=+
=+=2+=.
三、对数运算性质的应用
【例4】 已知log189=a,18b=5,求log3645.
思路分析:18b=5log185=b,将log3645如何化为以18为底的对数成为解决本题的关键.
解:解法一：∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=====.
解法二:由于log189=a,18b=5log185=b,
因此,log3645===.
解法三:由于log189=a,18b=5,因此,=a,blg18=lg5.
∴log3645==
===.
【例5】 若lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，求的值.
解析：由已知等式得lg［（x-y）（x+2y）］=lg（2xy）
∴（x-y）（x+2y）=2xy，
即x2-xy-2y2=0，
∴（x-2y）（x+y）=0，
∴x-2y=0或x+y=0.
∴=2或=-1.
由题意x＞0，y＞0，
∴=-1（舍），
所求=2.
各个击破
类题演练1
已知lg3=α,lg4=β,求10α+β、10α-β、10-2α、.
解析：由条件得10α=3,10β=4，
则10α+β=10α·10β=12，10α-β=.
10-2α=（10α）-2=，==.
答案：12
变式提升1
设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z,
求证：-=.
证明：首先将指数式转化为对数式.
设3x=4y=6z=k，
∵x，y，z∈R+，
∴k＞1.
∴x=log3k=，y=log4k==，z=log6k=.
∴+=logk3+logk2=logk6=,
即-=.
类题演练2
计算下列各式的值:
(1)log3;
(2)4lg2+3lg5-lg+［log2(log4256)］.
解析：（1）原式=log327+log39-log3=3+-=.
（2）原式=4-4lg5+3lg5+lg5+［log24］=4+2=6.
答案：（1） （2）6
变式提升2
求值：（1）log535-2log5+log57-log51.8;
（2）（log43+log83）（log32+log92）-;
（3）lg25+lg2lg5+lg2;
（4）.
解析：（1）原式=log5（5×7）-2（log57-log53）+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
（2）原式=（log23+log23）（log32+log32）+log2
=×log23log32+=+=.
（3）原式=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
（4）原式===1.
答案：（1）2 （2） （3）1 （4）1
类题演练3
(1)(log43+log83)(log32+log92);
(2)log23·log34·log45·log52.
解析：（1）原式=;（2）原式=1.
答案：（1） （2）1
变式提升3
计算下列各式的值：
（1）（lg5）2+2lg2-（lg2）2;
（2）（log23+log49+log827+…+log2n3n）×log9.
解析：（1）原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg10=1.
（2）原式=
（log23+log2232+…+log2n3n）×log9
=（log23+++…+）×log9
=×log932=×=.
类题演练4
已知lg2=0.301 0,lg7=0.845 1.求lg35.
解析：lg35=lg5×7=lg5+lg7=1-lg2+lg7=1.544 1.
答案：1.544 1
变式提升4
已知log53=a,log54=b,
求证:log2512=(a+b).
证明：证法一：log2512=log253+log254=+=（a+b）.
证法二：(a+b)=(log53+log54)=log512=log5==2 log25=log2512.
类题演练5
已知log23=a，log37=b，则log4256=________________________________.
答案：
变式提升5
已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy.求x∶y的值.
解析：原式化为lg=lg（4xy）
=4xy2x2-7xy+3y2=02x=y或x=3y，
∴=或=3.
2.2.2 对数函数及其性质
课堂导学
三点剖析
一、对数函数的概念、性质及其图象
【例1】 分别求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件，解不等式组.
解:(1)要使函数有意义,必须loga(1-x)2≠0,即则得到
函数的定义域为{x|x∈R且x≠1,x≠2,x≠0}.
(2)要使函数有意义,则有>01-3x>03x<1x<0.
因此函数的定义域为(-∞,0).
(3)要使函数有意义,则有logx(3-x)>0 ①或 ②
解①得1 因此,函数的定义域为(1,2).
温馨提示
求函数的定义域一般地根据其解析式列出其约束条件,然后解不等式（组）.分式中，分母不为零；偶次根式被开方数大于或等于零；对数式中,真数大于零，底数大于0且不于1等.
【例2】 比较下列各组数的大小.
(1)loga2+a+3π,loga2+a+3;
(2)loga4.7,loga5.1(a>0且a≠1);
(3)log34,log43;
(4)log32,log50.2;
(5)log20.4,log30.4;
(6)3log45,2log23.
思路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小.
解:(1)底数相同,且为a2+a+3=(a+)2+>1,根据单调递增性,得loga2+a+3π>loga2+a+3.
(2)底数相同,但大小不定,所以需对a进行讨论.当a>1时,loga4.7loga5.1.
(3)底数不同,但是log34>log33=1,log43log43.
(4)底数不同,但是log32>log31=0,log50.2log50.2.
(5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法.
解法一:根据y=logax的图象在a>1时,a越大,图象越靠近x轴,如图所示,知
log30.4>log20.4.
解法二:换底.log20.4=,log30.4=.由于log0.43=log20.4.
(6)利用换底公式化同底.3log45=3=log25=log2.2log23
=log29温馨提示
常见的对数比较大小有以下三种类型:
(1)底数相同,可直接利用单调性比较;
(2)底数不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1进行间接比较;
(3)底数不同,真数相同,则可用图象关系或进行换底后比较.
二、运算性质的应用
【例3】 （1）作出y=lg|x|的图象，并指出单调区间；
（2）作出y=|lgx|的图象，并指出单调区间.
解析：（1）∵f(-x)
=lg|(-x)|
=lg|x|=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.先画出x>0时的图象,再利用其对称性完成整个函数的图象.
f(x)=lg|x|=如上图.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
（2）当lgx≥0，即x≥1时，y=lgx；
当lgx＜0，即0＜x＜1时，y=-lgx.
其图象如下图：
由图象可知其单调增区间为［1，+∞），单调减区间为（0，1］.
三、对数函数的单调性
【例4】 求函数y=(1-x2)的单增区间.
思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间.
解:要使函数有意义,则有1-x2>0x2<1|x|<1-1 ∴函数的定义域为x∈(-1,1).
令t=1-x2,x∈(-1,1).
画出t=1-x2在(-1,1)上的图象,图略.
在x∈(-1,0)上,x↗,t↗,y=t↘,
即在(-1,0)上,y随x增大而减小,为减函数;
在［0,1］上,x↗,t↘,y=t↗,即在［0,1］上,y随x的增大而增大,为增函数.
∴y=(1-x2)的增区间为［0,1).
温馨提示
1.求复合函数的单调区间一般有如下几个步骤：（1）首先求出函数的定义域.（2）研究里层函数和外层函数在定义域上的单调性.（3）根据复合函数“同增异减”的原则，判断出函数的增减性求出单调区间.
2.复合函数y=f［g(x)］与里层函数μ=g(x)与外层函数y=f(μ)单调性之间的关系（见下表）
函数
单调性
Y=f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ=g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f［g(x)］
增函数
减函数
减函数
增函数
【例5】已知函数f(x)=lg(x2-2x+a),若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
思路分析:f(x)的定义域为R,即x2-2x+a>0恒成立,转化为二次函数来说明容易理解,二次函数的最小值大于零即可.
解:f(x)的定义域为R,即t=x2-2x+a>0恒成立,也即二次函数图象在x轴上方.
由于t=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,只要a-1>0即可,
∴a的取值范围为a>1.
温馨提示
y=lg(x)的定义域为R等价转化为g(x)>0的解集为R，本题中g(x)=x2-2x+a开口向上，解集为R.于是等价转化为g(x)=x2-2x+a的判别式Δ<0，或转化为g(x)min>0.
各个击破
类题演练1
求下列函数的定义域:
（1）y=log2x-1;（2）y=.
解析：（1）
解得x＞且x≠1，
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
（2）x2即
解得x＞，且x≠1.
∴函数的定义域为（，1）∪（1，+∞）.
变式提升1
（2006广东，1）函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是（ ）
A.（-，+∞） B.(- ,1) C.(-,) D.(-∞,-)
解析：解得
-答案：B
类题演练2
比较下列各组数的大小:
(1),16,lg9;
(2)(0.3)-0.4,log0.30.4,log0.34;
(3)log2(x+1)与log2(2x+3);
(4)logax与2log2ax(1答案：（1）＞lg9＞16 （2）(0.3)-0.4＞log0.30.4＞log0.34 （3）log2(x+1)＜log2(2x+3) （4）当0＜x＜1时，logax＜2log2ax；当x=1时，logax=2log2ax；当x＞1时，logax＞2log2ax
变式提升2
(1)若0＜a＜b＜1，试确定logab，logba，a，b的大小关系.
解析：∵0＜a＜b＜1，由对数函数，y=logax的性质可知0＜logab＜1;logba=＞1；
a==-，
∴a为负值且|a|＞1，b==-logab，
∴b为负值且|b|＜1.∴logba＞logab＞b＞a.
答案：logba＞logab＞b＞a
(2)已知logn5＞logm5，试确定m和n的大小关系.
解析：令y1=logm5，y2=logn5，由于logn5＞logm5，它们的图象可能有如下三种情况：（如下图）
由对数函数在第一象限的图象规律知，m＞n＞1;0＜n＜m＜1;n＞1,0＜m＜1.
类题演练3
作出函数y=lg（-x）的图象，并指出其单调区间.
解析：y=lg（-x）的图象与y=lgx的图象关于y轴对称，如下图所示，单调减区间是（-∞，0）.
变式提升3
作出y=|lg|x||的图象
解析：先作出y=lg|x|的图象，然后将x轴下方的图象对折到x轴的上方，图象如图：
类题演练4
求函数y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间.
解析：先求这个函数的定义域，由2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0,得x<-，或x>3.
μ=2x2-5x-3,y=log0.1μ
由于对数的底数0.1<1,故已知函数y=log0.1μ是减函数，欲求它的递减区间，只要求出函数.μ=2x2-5x-3(x<-,或x>3)的递增区间，由于μ=2(x-)2-6,可得μ=2x2-5x-3(x<-或x>3)的递增区间为（3，+∞），从而可得y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+∞）.
答案：（3,+∞）
变式提升4
已知y=log4(2x+3-x2),
(1)求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.
解：（1）由真数2x+3-x2>0,解得-1 ∴定义域是{x|-1 (2)令μ=2x+3-x2,则μ>0,y=log4μ,
由于μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4.
考虑到定义域，其增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
又y=log4μ在μ∈(0,+∞)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1），减区间是［1，3］.
（3）∵μ=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,
∴y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.
∴当x=1,μ取得最大值4时，y就取得最大值1.
类题演练5
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解析：设μ（x)=ax2+2x+1,若f(x)的定义域为R，即对任意x，都有μ（x）>0则解之得a>1.
答案：（1，+∞）
变式提升5
设函数f(x)=|log3x|，若f(a)>f(2),则a的取值范围为___________________.
解析：当log3a>0时：log3a>log32,则a>2;
当log3a<0时：f(a)>f(2)-log3a>log32log3>log32
∴0答案：（0，）
2.2 对数函数
互动课堂
疏导引导
2.2.1 对数与对数运算
1.对数的定义?
一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N记为lg N,以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.?
疑难疏引 (1)因为a>0,所以不论b是什么数,都有a b>0,即不论b是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=loga N中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.?
(2)指数与对数的关系:
ax=N(a>0,a≠1)x=loga N.?
(3)负数和零没有对数.
2.对数的运算?
(1)换底公式:?
①logab=,即有logca·logab=logcb;
②logba=,即有logab·logba=1;?
③logambn=logab;?
(2)对数恒等式:alogaN=N.?
疑难疏引 换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.
3.对数式与指数式的关系?
【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.
●案例1下列四个命题中,真命题是( )?
A. lg2lg3=lg5
B. lg23=lg9
C.若logaM+ N=b,则M+N=a b
D.若log2M+ log3N=log2N+log3M,则M=N
【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.
【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M×N)=logaM×logaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.
●案例2求值:?
(1);?
(2)lg5·lg20+lg22;?
(3)已知log23=a,3 b=7,求log1256的值.?
【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将3 b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.?
(1) = =.
(2)lg5·lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2·lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.?
(3)解法一:
∵log23=a,∴2 a=3.
又3 b=7,∴7=(2 a) b=2 ab.
故56=2 3+ab.
又12=3·4=2 a·4=2 a+2,
从而56=(2 a+2) =12.故log1256=log1212=.
解法二:
∵log23=a,∴log32=.
又3 b=7,∴log 37=b.从而log1256====
=.
解法三:
∵?log23==a,∴?lg3=alg2.
又3 b=7,∴?lg7=blg3.?
∴?lg7=ablg2.从而log1256= == =.
【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.?
(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.?
2.2.2 对数函数及其性质?
1.概念
一般地,我们把函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数的性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0)
(4)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
疑难疏引 对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:?
(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);??
(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;
(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即loga1=0;?
(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;
当0(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;0当01,则y=logax<0;00.?
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:?
对数增减有思路,函数图象看底数,?
底数只能大于0,等于1来也不行,?
底数若是大于1,图象从下往上增;?
底数0到1之间,图象从上往下减.?
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.?
●案例1比较大小:?
(1)log0.27和log0.29;?
(2)log35和log65;?
(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m>1);?
(4)log85和lg4.
【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.
(2)考查函数y=logax底数a>1的底数变化规律,函数y=log3x(x>1)的图象在函数y=log6x(x>1)的上方,故log 35>log 65.
(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm>1即m>10,则(lgm) x在R上单调递增,故(lgm) 1.9<(lgm) 2.1.若0(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.
(4)因为底数8、10均大于1,且10>8,所以log85>lg5>lg4,即log 85>lg4.?
【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:?
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;?
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;?
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;?
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.?
●案例2已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.?
【探究】 注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),从而f(-x)=lg(+x)=-lg(-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+∞)上的单调性.
由题意-x>0,解得x∈R,即定义域为R.
又f(-x)=lg［-(-x)］=lg(+x)?
=lg=lg(-x) -1
=-lg(-x)=-f(x).?
∴y=lg(-x)是奇函数.?
任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1则<+x 1<+x 2
>,
即有-x 1>-x2>0,
∴lg(-x 1)>lg(-x 2),
即f(x 1)>f(x 2)成立.?
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.?
又f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(x)在(-∞,0)上也为减函数.?
【溯源】
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.?
●案例3作出下列函数的图象:?
(1)y=|log4x|-1;
(2)y=log|x+1|.
【探究】 (1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
(2)y=log|x+1|的图象可以看成由y=logx的图象经过变换而得到:将函数y=logx的图象作出,然后关于y轴对称,即得到函数y=log|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.?
函数(1)的图象作法如图①～③所示.?
函数(2)的图象作法如图④～⑥所示.?
【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:?
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样;当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.?
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长?(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍而得到.
●案例4已知f(x)=2+log3x, x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,及y取最大值时,x的值.
【探究】 要求函数y=［f(x)］2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.
【解】 ∵f(x)=2+log3x,?
∴y=［f(x)］2+f(x 2)=(2+log3x) 2+2+log3x 2
=(2+log3x) 2+2+2log3x
=log32x+6log3x+6?
=(log3x+3) 2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,?
∴要使函数y=［f(x)］2+f(x 2)有意义,就需1≤x2≤9,?1≤x≤9.?
∴1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.
∴6≤y=(log3x+3) 2-3≤13.?
∴当x=3时,函数y=［f(x)］2+f(x 2)取最大值13.?
【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.?
●案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )?
A.2015
B.2016
C.2017
D.2018
【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12万件,其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件,即求经过多少年.
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,?
根据题意,得2(1+20%)n>12,即1.2n>6,?
两边取对数,得nlg1.2>lg6,
∴n> = =.
∴n=10,即2 006+10=2 016.?
因此,选B.
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.
3.反函数的图象和性质?
对数函数y=log ax(a>0且a≠1)与指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于y=x对称.
疑难疏引 (1)f(a)=b?f -1(b)=a;?
(2)若原函数过点(a, b),则其反函数必过点(b, a);?
(3)原函数的定义域、值域为其反函数的值域、定义域;?
(4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x对称.
在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.
●案例6如何求函数y=5 x2-1(-1≤x<0)的反函数？?
【探究】
先求原函数的值域.由-1≤x<0,
∴-1∵-1≤x<0,∴x=-,即y=- (【溯源】
求反函数时,首先要求值域,然后解关于x的方程,第三要把解出的方程中的x、y互换位置,用f -1(x)表示,最后把原函数的值域作为定义域标出.?
关于对数运算的几点提示:?
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1,N>0,b∈R)容易记错.?
(2)解决对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.?
(3)关于对数式?logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.
以1为分界点,当a、N在同侧时,logaN>0;当a、N在异侧时,logaN<0.
活学巧用
1.的值是( )
A.
B. 1?
C.
D. 2?
【思路解析】 考查有关对数的运算性质,logambn=logab.?
【答案】 A
2. 若log2［log(log2x)］=log3［log(log3y)］=log5［log(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是?( )
A. zC. y【思路解析】 依特殊的对数式loga1=0及logaa=1可分别求出相应的x、y、z的值.?
log5［log(log5z)］=0,可知log(log5z)=1,所以log5z=,可得z=5.同理可得x=2,y=3,借助分数指数幂可得这三个数的大小,答案为D.
【答案】 D
3. 下列各式中成立的是( )?
A. logax 2=2logax?
B. loga|xy|=loga|x|+loga|y|?
C. loga3>loga2
D. loga =logax- logay?
【思路解析】 用对数的运算法则解决问题.
A、D的错误在于不能保证真数为正,C的错误在于a值不定.选B.
【答案】 B
4. 求下列各式中的x:?
(1)logx=-;
(2)logx5=;?
(3)log (x-1)(x 2-8x+7)=1.?
【思路解析】 根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.?
【解】 (1)原式转化为()-=x,所以x=.
(2)原式转化为x =5,所以x=.
(3)由对数性质得解得x=8.
5. 已知loga2=m,loga3=n,则a 2m-n=__________.?
【思路解析】 首先把对数式化为指数式,再进行指数运算.?
∵loga2=m,loga3=n,
∴a m=2,a n=3.
∴a 2m-n= = ==.
【答案】
6. (1)已知3a=2,用a表示log34-log36;?
(2)已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.?
【解】 (1)∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log3 =log32-1=a-1.?
(2)∵3b=5,∴b=log35.
又∵log32=a,?
∴log3=log3(2×3×5)= (log32+log33+log35)=(a+b+1).
7. (1)将下列指数式写成对数式:?
①2 10=1 024;②10 -3=;③0.3 3=0.027;④e0=1.?
(2)将下列对数式写成指数式:
①log0.46.25=-2;
②lg2=0.301 0?;?
③log 310=2.095 9;
④ln23.14=x.?
【思路解析】
应用指数式与对数式的等价关系求解.?
【答案】
(1)①log21 024=10;?②lg=-3;?③log0.30.027=3;④?ln1=0.
(2)①0.4 -2=6.25;?②10 0.301 0=2;③3 2.095 9=10;?④e x=23.14.
8. 已知loga3>logb3>0,则a、b、1的大小关系是.?
【思路解析】 由对数函数的性质可知a>1,b>1,关键是判断a与b的大小,这可以利用对数函数的单调性来解决.?
【解法一】 由loga3>logb3>0> >0
log3b>log3a>0
log3b>log3a>log31.
∵y=log3x是增函数,故b>a>1.?
【解法二】
分别作出y=logax与y=logbx的图象,然后根据图象特征进行推断.?
∵?loga3>logb3>0,∴a>1,b>1.
故y=logax与y=logbx均为增函数.
又∵?loga3>logb3>?0,
∴当x>1时,y=logax的图象应在y=logbx图象的上方,如图所示.?
根据对数函数的图象分布规律,可知b>a>1.
【答案】 b>a>1
9. 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4, log28.5;?
(2)log0.31.8, log0.32.7;?
(3)loga5.1, loga5.9(a>0,a≠1).?
【解】 (1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是?log23.4(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7.?
(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1当0loga5.9.
10. 求函数y=log(-x2+4x+5)的定义域和值域.?
【解】 函数有意义,必须-x2+4x+5>0x2-4x-5<0-1∴函数的定义域为{x|-1由-1∴0≤-x2+4x+5≤9.
从而log(-x2+4x+5)≥log9=-2,
即值域为{y|y≥-2}.
11. 已知函数f(x)=loga (a>1且b>0).?
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
【思路解析】 本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.?
【解】 (1)由,解得x<-b或x>b.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).?
(2)由于f(-x)=loga()=loga()=loga()-1=-loga()=-f(x),所以f(x)为奇函数.
12. 求函数y=log(-x2+2x+3)的值域和单调区间.?
【思路解析】 通过换元,令t=-x2+2x+3,是复合函数的问题.
【解】 设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.?
∵y=logt为减函数,且0∴y≥log4=-2,即函数的值域为［-2,+∞).?
再由函数y=log(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1∴t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增而在［1,3)上递减.
而y=logt为减函数.?
∴函数y=log(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为［1,3).
13. 函数y=lg|x|( )?
A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增?
B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减?
C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增?
D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减?
【思路解析】 画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时,注意应用函数y=lg|x|是个偶函数,其图象关于y轴对称.比如列表时,要先确定对称轴,然后在对称轴的两侧取值列表.
【答案】 B
14. (2005北京高考,文2)为了得到函数y=2 x-3-1的图象,只需把函数y=2x上所有点… ( )
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度?
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度?
【思路解析】 本题考查函数图象的平移问题,根据图象平移的方法口决“左加右减,上加下减”,极易求出答案.?
【答案】 A
15. 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1).?
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;?
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.?
【思路解析】 f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R要求u=ax 2+2x+1取遍一切正数,使u能取遍一切正数的条件是a>0,Δ≥0.
【解】 (1)f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax 2+2x+1>0的解集为R,?
当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R;?
当a≠0时,有 a>1.
∴a的取值范围为a>1.?
(2)f(x)的值域为R,即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数a=0或0< a≤1.
∴a的取值范围为0≤a≤1.
16. 设函数f(x)=x 2-x+b,且f(log2a)=b,log2［f(a)］=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
【思路解析】 关键是利用已知的两个条件求出a、b的值.?
【解】 由已知得log22a-log2a+b=b,?log2(a2-a+b)=2,即?
?log2a(log2a-1)=0,?a2-a+b=4,①?②?
由①得log2a=1,∴a=2.?
代入②得b=2.∴f(x)=x 2-x+2.?
∴f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-) 2+.
∴当log2x=时,f(log2x)取得最小值,此时x=2.
17. 已知y=loga(2-ax)在区间［0,1］上是x的减函数,求a的取值范围.?
【思路解析】 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量a是一样的,可知a>0且a≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决.
【解】 先求函数定义域:
由2-ax>0,得ax<2,
又a是对数的底数,
∴a>0且a≠1.∴x<.
由递减区间［0,1］应在定义域内,
可得>1,∴a<2.
又2-ax在x∈［0,1］上是减函数,?
∴y=loga(2-ax)在区间［0,1］上也是减函数.?
由复合函数单调性可知a>1,
∴118. 某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0, lg11.49=
1.060 2)
【思路解析】 设产值平均年增长率为x,则(1+x) 10=4.?
两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.?
∴lg(1+x)= =0.0602
∴1+x=10 0.060 2.?
又∵lg11.49=1.060 2,?
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.060 2.
∴10 0.060 2=1.149.?
因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%?.?
【答案】 14.9%?
19. 已知函数f(x)=2 x+1,则f -1(4)=__________.?
【思路解析】 由反函数定义域和值域间的对应关系知,f -1(4)的值即为f(x)=2 x+1=4时,自变量x对应的值.
【答案】 1
20. 已知函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),求f(x).?
【思路解析】 根据函数f(x)=a x+k的图象过点(1,3),可列出一个关于a和k的方程,再根据其反函数f -1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x+k的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a和k的方程.
【解】 依题意得a1+k=3,?a0+k=2,?
解得a=2,?k=1.?
∴f(x)=2x+1.
2.2 对数函数
知识导学
一般地,对于一个数a(a>0且a≠1),如果a的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底的N的对数,记作logaN=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.
在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即logaN=bab=N.
对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算.
一般地,我们称logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程.
有了对数的概念后,要求log0.840.5的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数;自然对数是指以e(e=2.718 28…,是一个无理数)为底的对数.
有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求log0.840.5的值了.
对数恒等式:=N的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明.
∵ab=N,∴b=logaN.
∴ab==N,
即=N.
如=5, =6等.要熟记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.
作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图.
比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线y=x对称.
因此,我们只要画出和y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线,就可以得到y=logax的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.
疑难导析
通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当a>1或0 对数函数的反函数是指数函数,所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到:这两种函数都要求底数a>0,且a≠1;对数函数的定义域为(0,+∞),结合图象看,对数函数在y轴左侧没有图象,即负数与0没有对数,也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.
性质靠图象体现,图象靠性质总结.
数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法.借助图形的形象直观,可以迅速准确地得到相关问题的答案,尤其是选择题,能结合图象来思考,会事半功倍.
问题导思
对数换底公式口诀:
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
对数函数的运算性质的助记口诀:
积的对数变加法,商的对数变为减,
幂的乘方取对数,要把指数提到前.
对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质的助记口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减.
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型,好好把握.
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数;
②根据对数底数判断对数函数增减性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
典题导考
绿色通道
利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小,有时也可以画出函数的略图.由此可见,学会一种思考方法比解决一道题目更重要.
典题变式 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1).
答案:(1)log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7;
(3)当a>1时,loga5.1当0loga5.9.
绿色通道
本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.
典题变式
1.已知3a=2,用a表示log34-log36.
答案:a-1.
2.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
答案: (a+b+1).
绿色通道
研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.
典题变式
1.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F,函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G,那么( )
A.GF B.G=F C.FG D.F∩G=
答案:A
2.求函数y=(-x2+4x+5)的定义域和值域.
答案:函数的定义域为{x|-13.已知f(x)=loga (a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
解答:(1)定义域为(-1,1).
(2)当a>1时,f(x)为(-1,1)上的增函数;
当0(3)当a>1时,f(x)>0的解为(0,1);
当00的解为(-1,0).
绿色通道
画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:
平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;y=f(x)+a,将y=f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位而得到.
翻折变换:y=|f(x)|,将y=f(x)的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴的上方,其他部分不变;y=f(|x|),它是一个偶函数,x≥0时,图象与y=f(x)的图象完全一样,当x≤0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
对称变换:y=-f(x),它的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;y=f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;y=-f(-x),它的图象与y=f(x)的图象关于原点成中心对称.
伸缩变换:y=f(ax)(a>0),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a>1)或伸长(00),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(01)到原来的a倍.
典题变式若loga2A.1答案:D
绿色通道
本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确保;(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.
典题变式设a≠0,对于函数f(x)=log3(ax2-x+a),
(1)若x∈R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x) ∈R,求实数a的取值范围.
答案:(1)a>;
(2)02.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数式与指数式的互化
1．logaN＝b与ab＝N(a>0，且a≠1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．
2．已知底数与指数或已知指数与幂时，通常用指数式求幂或底数；若已知底数与幂求指数，需用对数式，所以指数式与对数式的互化在幂的运算中经常用到．
【典型例题1】 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4； (2) ＝－3；
(3)ln 10＝2.303； (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)10－3＝0.001.
思路分析：利用当a＞0，且a≠1时，logaN＝b?ab＝N进行互化．
解：(1)24＝16.
(2) －3＝27.
(3)e2.303＝10.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)lg 0.001＝－3.
探究二 利用对数式与指数式的关系求值
指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a>0，且a≠1)表示了三个量a，x，N之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数．
【典型例题2】 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；
(2)log7(x＋2)＝2；
(3)log＝x；
(4)logx27＝；
(5)lg 0.01＝x.
思路分析：利用指数式与对数式的关系求解．
解：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴x＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵－2＝，
∴log＝－2，∴x＝－2.
(4)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
(5)∵lg 0.01＝x，
∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.
探究三 对数性质的应用
1．对数的性质：
(1)在指数式中N>0，故零和负数没有对数．
(2)设a>0，a≠1，则有a0＝1.
∴loga1＝0，即1的对数等于0.
(3)设a>0，a≠1，则有a1＝a，
∴logaa＝1，即底数的对数为1.
2．对数恒等式：
alogaN＝N，该式叫做对数恒等式．
3．在对数的运算中，常用对数的性质和对数恒等式进行对数的化简与求值．
【典型例题3】 求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1；
(3)log－1＝x； (4)52－log53＝x.
思路分析：利用logaa＝1，loga1＝0，alogaN＝N(a>0，且a≠1)及指数式与对数式的关系解题．
解：(1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1，∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，∴x＝102＝100.
(3)∵log－1＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
(4)x＝52－log53＝＝.
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质．
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
一、对数
名师点拨 对对数的理解：
(1)对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
(2)用指数式来理解对数．对数式b＝logaN表达的意义是ab＝N.指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
式子
名称
a
x
N
指数式
ax＝N
底数
指数
幂
对数式
x＝logaN
底数
对数
真数
(3)对数记号logaN中，a＞0，且a≠1，N＞0.
因为在ab＝N中，a＞0，且a≠1，所以在logaN中，a＞0，且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0.
(4)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，且a≠1，N＞0时，才有ab＝N?b＝logaN.
(5)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．
自主思考 alogaN＝N(a>0，且a≠1)成立吗？
提示：成立．这是因为：由ax＝N，得x＝logaN.将x＝logaN代入ax＝N，得alogaN＝N.
二、常用对数和自然对数
1．常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.
2．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N.
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数运算性质的应用
1．在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【典型例题1】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
思路分析：利用对数的运算性质进行计算．
解：(1)方法一：原式＝log2＝log2＝－.
方法二：原式＝log2＋log2(22×3)－log2(2×3×7)＝log27－log2(24×3)＋2＋log23－－log23－log27＝－×4－log23＋＋log23＝－2＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
方法总结像这类对数的运算，主要有两种解答途径：一是将积(商或幂)的对数化为对数的和(差或系数)，且真数最简；二是将对数的和差逆用运算性质化为积商的对数，但需各对数的系数相同．
探究二 换底公式的应用
对数的运算性质中等式的左边都是同底的对数，也就是逆用公式时，必须使对数同底，当对数的底数不相同时，这就要用换底公式把它们化为同底的．如果原式是几个对数的和，换底后，看能不能逆用性质；如果原式是几个对数的积，换底后，看能不能约分，进而化简对数式．
若题目中既有指数式又有对数式，通常将它们化为同一种形式．
【典型例题2】 计算下列各式的值：
(1)log89·log2732； (2)(log43＋log83) .
思路分析：用换底公式将对数换为同底的对数后再化简求值．
解：(1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.
【典型例题3】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
思路分析：先利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算．
解：∵18b＝5，∴b＝log185.
∴log3645＝＝＝
＝＝＝＝.
探究三 对数的综合应用
对数的概念实质是给出了指数式与对数式间的关系，因此如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，利用指数与对数间的关系，简化求解过程．
【典型例题4】 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)若26a＝33b＝62c≠1，求证：＋＝.
思路分析：用对数式表示出x，y，a，b，c再代入所求(证)式．
(1)解：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝2log363＝log369，
＝＝＝log364.
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1.
(2)证明：设26a＝33b＝62c＝k(k>0，且k≠1)．
则6a＝log2k≠0,3b＝log3k≠0,2c＝log6k≠0.
∴＝＝6logk2，＝＝3logk3，
＝＝2logk6，
∴＋＝6logk2＋2×3logk3＝logk26＋logk36
＝logk66＝6logk6＝.
∴＋＝.
探究四 易错辨析
易错点 忽略对数的真数为正致错
【典型例题5】 解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6.
错解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg(x2＋x)，
∴lg(x2＋x)＝lg 6，
∴x2＋x＝6，解得x＝2，或x＝－3.
错因分析：错解中，去掉对数符号后方程x2＋x＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是x2＋x＝6中，x∈R，而原方程中，应有再验根即可．
正解：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6，
∴x(x＋1)＝6，解得x＝2，或x＝－3，经检验x＝－3不符合题意，∴x＝2.
反思解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数．
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值．
2．了解对数的换底公式及其应用．
3．初步掌握对数在生活中的应用.
一、对数的运算性质
条件
a>0，且a≠1，M>0，N>0
性质
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
名师点拨 对对数的运算性质的理解：
(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
(3)能用语言准确叙述对数的运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和．
loga＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差．
logaMn＝nlogaM(n∈R)―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
自主思考 若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
提示：不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)是不存在的，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．
二、换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：
(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m≠0)．
2．换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数．
2.2 对数函数
课堂探究
探究一 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
【典型例题1】 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log5x.
思路分析：根据对数函数的定义进行判断．
解：只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，故不是对数函数；
(2)中对数式后减1，故不是对数函数；
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
故不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，故不是对数函数．
探究二 对数函数的图象问题
1．画对数函数y＝logax的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，.
2．对数函数图象与直线y＝1的交点横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大．
3．函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，图象越靠近x轴，当0(2)左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logx|.
解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
图①
(2)y＝|logx|＝其图象如图②.
图②
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
规律总结 1.函数y＝loga(x＋m)(a>0，且a≠1)的图象可由函数y＝logax的图象向左(m>0)或向右(m<0)平移|m|个单位而得到．
2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
探究三 与对数函数有关的定义域问题
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数．
【典型例题3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
∴∴x≤1.
故函数的定义域为(－∞，1]．
(2)要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
∴
∴x>，且x≠1.
故函数的定义域为∪(1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，则有解得x<4，且x≠3，
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
探究四 易错辨析
易错点 求函数的定义域时先对解析式变形
【典型例题4】 已知函数f(x)＝log5(x－1)2，求f(x)的定义域．
错解：f(x)＝2log5(x－1)，要使f(x)有意义，则x－1>0，解得x>1，则f(x)的定义域是(1，＋∞)．
错因分析：错解中，由于对f(x)的解析式变形后再求定义域，导致出错．
正解：要使f(x)有意义，则(x－1)2>0，解得x≠1，则f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
反思求函数f(x)的定义域时，不能对f(x)的解析式变形，否则会导致求出的定义域“变大”或“缩小”．
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握对数函数的概念，会判断对数函数．
2．初步掌握对数函数的图象和性质．
3．能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、定点问题.
一、对数函数
名师点拨 1.对对数函数定义的理解：
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a>0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a>0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象：
对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交．
作直线y＝1与函数y＝logax的图象相交，则交点横坐标为a.
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有怎样的关系？
提示：观察课本第70页图2.2-3知，两函数的图象关于x轴对称．事实上，函数y＝logax图象上任一点P(x，y)关于x轴的对称点P′(x，－y)都在函数y＝logx的图象上，所以这两个函数的图象关于x轴对称．
自主思考2a，b在什么情况下，logab>0？什么情况下，logab<0?
提示：观察对数函数图象知，
当a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0,1)时，logab>0.
当a∈(0,1)，b>1或a>1，b∈(0,1)时，logab<0.
二、反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．
名师点拨 对数函数和指数函数的区别与联系
将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：
名称
指数函数
对数函数
解析式
y＝ax(a>0，且a≠1)
y＝logax(a>0，
且a≠1)
定义域
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
单调性
当a>1时为增函数，当0函数值的变化情况
当a>1时：
若x>0，则y>1；
若x＝0，则y＝1；
若x<0，则0当a>1时：
若x>1，则y>0；
若x＝1，则y＝0；
若0当0若x>0，则0若x＝0，则y＝1；
若x<0，则y>1
当0若x>1，则y<0；
若x＝1，则y＝0；
若0图象
y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
2.2 对数函数
课堂探究
探究一利用对数函数的单调性比较大小
对数值比较大小的常用方法：
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论；
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量；
①如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较；
②若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
【典型例题1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141(a>0，且a≠1)．
思路分析：(1)构造函数f(x)＝log3x，利用其单调性比较大小；
(2)分别比较两对数与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9＜2，则f(1.9)＜f(2)，
所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
探究二 解对数不等式
解对数不等式，就是利用对数函数的单调性，将对数符号去掉，转化为一般不等式(组)求解．常见不等式可分为以下三类：
(1)形如logaf(x)>logag(x)，当a>1时，该不等式等价于当0(2)形如logaf(x)>b，当a>1时，不等式等价于f(x)>ab；当0(3)形如logaf(x)＋logag(x)>logah(x)．
当a>1时，不等式等价于
当0当不等式中对数的底数有字母时，要分类讨论．
【典型例题2】 解下列关于x的不等式：
(1)log (x－2)>－2；
(2)loga(x－2)>loga(2x－8)．
思路分析：利用对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
解：(1)由log (x－2)>－2，得log (x－2)>log4，
∴∴2故原不等式的解集为{x|2(2)当a>1时，不等式等价于即4当06.
综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|4当06}．
探究三 对数函数性质的综合应用
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
3．求函数的单调区间有两种思路：
(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；
(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
4．复合函数的单调性按照“同增异减”的原则来判断，对数型复合函数的单调性可用以下方法判断：
设y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)，
首先求满足f(x)>0的x的范围，即函数的定义域．假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则
(1)当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减；
(2)当0【典型例题3】 已知函数f(x)＝loga (a>0，且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
思路分析：此函数是由y＝logau，u＝复合而成，求函数的性质应先求出定义域，再利用有关定义，去讨论其他性质．
解：(1)要使此函数有意义，则有或解得x>1或x<－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；
当0探究四 易错辨析
易错点 忽略对底数的讨论致错
【典型例题4】 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
错解：因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，
所以loga4－loga2＝1，
即loga＝1，所以a＝2.
错因分析：错解中误以为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上是增函数．
正解：(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
(2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)，知a＝2或a＝.
反思在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a＞1与0＜a＜1两种情况．
2.2 对数函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小．
2．能利用对数函数的单调性解简单的对数不等式．
3．能解答简单的对数综合问题.
一、对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
底数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即图象恒过定点(1,0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
二、对数函数的反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝ax(a＞0，且a≠1)．
自主思考1函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？
提示：函数y＝log2x与y＝logx的图象，函数y＝log3x与y＝logx的图象如图所示，结合图象可知函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
其实y＝logx＝＝＝－logax，因为y＝logax与y＝－logax的图象关于x轴对称，所以函数y＝logax与y＝logx的图象也关于x轴对称．
自主思考2底数对对数函数图象的影响？
提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．
(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．
(2)y＝logx，y＝logx，y＝logx，y＝logx，如图②所示．
①
②
观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．
结论：①当a>1时，图象上升，自变量x越大，函数值y就越大；当x∈(0,1)时，y<0，当x∈(1，＋∞)时，y>0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k>1时，有log2k>log3k>log4k>lg k，当0②当00，当x∈(1，＋∞)时，y<0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k>1时，logklogk>logk>logk.
2.3 幂函数
互动课堂
疏导引导
一、幂函数的定义?
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中,x是自变量,α是常数.?
疑难疏引
1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.
2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:?
(1)当指数n是正整数时,定义域是R.?
(2)当指数n是正分数时,设n= (p、q是互质的正整数,q>1),则x n=x=.
如果q是奇数,定义域是R;?
如果q是偶数,定义域是［0,+∞).?
(3)当指数n是负整数时,设n=-k, x n=,显然x不能为零,所以定义域是{x|x∈R且x≠0}.
(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q>1),则x n= =.
如果q是奇数,定义域是{x|x∈R,且x≠0};?
如果q是偶数,定义域是(0,+∞).
3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.
二、幂函数的图象和性质?
如图所示,幂函数有如下性质:?
1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);
2.如果a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;
3.如果a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.?
疑难疏引
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2、y=x 3及y=x的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:?
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.?
(2)对于幂函数y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0记忆口诀:?
如何分析幂函数,记住图象是关键,?
虽然指数各不同,分类之后变简单,?
大于0时抛物线,小于0时双曲线,?
还有0到1之间,抛物开口方向变,?
不仅开口向右方,原来图象取一半.?
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,?
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.?
●案例1比较下列各组数的大小.?
(1)3.14与π;?
(2)(-)-与(-) -.?
【探究】 指数相同,可以根据幂函数的单调性判断.(1)由于幂函数y=x(x>0)单调递减且3.14<π,∴3.14>π.?
(2)由于y=x-这个幂函数是奇函数,?
∴f(-x)=-f(x).?
因此,(- ) -=-() -,(-) -=-() -.?
而y=x-(x>0)单调递减,且<,
∴() ->() --() -<-() -,即(-) -<(-) -.?
【溯源】 幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式.?
三、幂函数的实际应用?
●案例2 某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%,若两年下降的百分率相同,则每年下降的百分率为( )
A.30%
B.25.5%
C.24.5%
D.51%
【探究】 本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设中没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数.
设t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则t+2年的成本为a(1-x) 2,
∴=51%,解得x=30%.
因此,选A.
【溯源】 依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如何建立恰当的数学模型.
活学巧用
1. 已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;?④y=x-;⑤y=x0;⑥y=2x中,是幂函数的有.?
【思路解析】 由于幂函数中,变量的系数是1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判断答案.另外特别注意幂函数和指数函数的区别:指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=xα中,底数是自变量.
【答案】 ④⑤
2. 当m为何值时,幂函数y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3的图象同时通过点(0,0)和(1,1)？?
【思路解析】 因为是幂函数,则m 2-5m+6=1,又过(0,0)和(1,1)点,则m 2-2m-3>0.
【答案】 ∵y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3是幂函数,?
∴m 2-5m+6=1,得m=.
又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,?
∴m 2-2m-3>0,则有(m-1) 2>4,得m>3或m<-1.
∴m= (舍去),即m=.
3. 分别写出幂函数y=x和y=x-的定义域.
【思路解析】 本题主要考查了分数指数幂的相关知识,可以把它们化为根式形式,然后再进行观察得到相应的结果.因为y=x =x,所以要想此函数有意义,则x≥0,又因为y=x-=,所以可得到x>0.另外要注意到要表达成集合的形式.
【答案】 {x| x≥0},{x| x>0}.
4．下列4个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是( )?
A.y=x
B.y=x3
C.y=x-
D.y=x-
【思路解析】 根据幂函数的性质知,函数y=x在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;
函数y=x3在R上是单调递增的,
∴在(-∞,0)上也是增函数;函数y=x-在(-∞,0)上是单调递增的,在R +上是单调递减的;
函数y=x-的定义域是R +,在(-∞,0)上没有定义,
∴函数y=x-在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选D.
【答案】 D
5． 函数y=(3x-2)+(2-3x)-的定义域为.
【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条件,(3x-2)的底数非负,(2-3x)-的底数非零.
依题意得x>.
【答案】 (,+∞)
6. 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为( )?
A.cB.aC.bD.c【思路解析】 ∵幂函数在第一象限内为增函数时,指数为正,为减函数时,指数为负,∴a、b为正,c<0.又∵当指数为正,底数大于1且相同时,指数较大的图象在上方,由图象可知a>b.综上,a>b>c.因此,选A.
【答案】 A
7. 已知幂函数y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4在第一象限内的图象分别是C 1、C 2、C 3、C 4(如图),则n 1、n 2、n 3、n 4、0、1的大小关系是.?
【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断.?
【答案】 n 18. 若(a+1)-<(3-2a) -,则a的取值范围是__________.
【思路解析】 因为函数y=x在［0,+∞)上单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递减.
所以解得【答案】 (,)
9. 某公司产值最初为m万元,以后连续三年持续增长,这三年的增长率分别为a、b、c,求这三年的平均增长率.?
【思路解析】 第一年的产值为m(1+a),第二年的产值为m(1+a)(1+b),第三年的产值为?m(1+a)(1+b)(1+c),如果设平均增长率为x,则第三年的产值也为m(1+x)3.?
【解】 设这三年的平均增长率为x,
依题意得m(1+x)3=m(1+a)(1+b)(1+c).?
解得x=-1.
答:这三年的平均增长率为x=-1.
2.3 幂函数
知识导学
我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.
(2)对于幂函数y=xn(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0图2-3-1
记忆口诀:
如何分析幂函数,记住图象是关键,
虽然指数各不同,分类之后变简单,
大于0时抛物线,小于0时双曲线,
还有0到1之间,抛物开口方向变,
不仅开口向右方,原来图象取一半.
函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,
奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.
疑难导析
对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质,做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数,以便应用图象及性质解题.
当n取不同的有理数时,幂函数y=xn的定义域:
当n∈N*时,定义域为R;
当n=0时,定义域为{x|x≠0};
当n为负整数时,定义域为{x|x≠0};
当n= (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为［0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为R;
当n=- (p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,
①若q为偶数,则定义域为(0,+∞);
②若q为奇数,则定义域为{x|x≠0}.
问题导思
分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.
(1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、m,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们规定b叫做a的次幂,记作b==.
对于负分数指数幂,可按a-n=去理解.
典题导考
黑色陷阱
忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.
典题变式当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是…( )
A.α<1 B.0<α<1 C.α>0 D.α<0
答案:A
绿色通道
解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.
典题变式T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是( )
A.T1C.T2答案:D
绿色通道
幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系,幂函数的图象在直线x=1的右侧,由低到高,幂指数α由小变大;在y轴与直线x=1之间,由低到高,幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响:
(1)当α=0时,图象是直线y=1.
(2)当α是正奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α是正偶数时,图象分布在第一和第二象限.
(3)当α为一个既约正分数〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,
若q为奇数,p也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q为奇数,p为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数,则图象分布在第一象限.
(4)当α为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;
(5)当α为负分数时,类似于(3)可设α=-〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,情况和(3)一样.
幂指数α>0时,图象全是“抛物线型”,而幂指数α<0时,图象全是“双曲线型”.
典题变式当0A.h(x)C.g(x)答案:D
黑色陷阱
本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.
典题变式 (1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时,函数值如何变化？并画出图象;
(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？
思路分析:
根据幂函数的性质求解.
答案:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.当x<-2时,函数值y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小.
(2)将y=x-2的图象向左平移2个单位,即得到y=(x+2)-2的图象.
绿色通道
据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x上标±2,y=x上标±1等)的图象和性质,特别地,y=x0勿漏.
典题变式 函数f(x)=(k2+k),当k=_______时成正比例函数,当k=_______时成反比例函数,当k=_______时为幂函数.
答案:1± 2
2.3 幂函数
课堂导学
三点剖析
一、幂函数的概念
【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.
（1）y=;(2)y=x-2;
(3)y=;(4)y=x-1;
(5)y=;(6)y=;
(7)y=;(8)y=.
解析：由幂函数的图象规律可得
（1）⑤；（2）③；（3）①；（4）⑦；（5）②；（6）⑨；（7）④；（8）⑥.
温馨提示
幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当01时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.
（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：
【例2】比较大小：
（1）____________;
(2)0.71.5_____________________0.61.5;
(3)_____________;
(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2;
(5)0.20.6_____________________0.30.4;
(6)_______________.
解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.
由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小.
（5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)=<<.
答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<
温馨提示
利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：
（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.
（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.
（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.
二、幂函数的图象和性质
【例3】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的取值集合是( )
A.{m|m=-1或m=2} B.{m|-1思路分析:由幂函数定义,只有具有y=xα形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m2-2m-3<0,由此确定m的取值.
解:由条件知
解得m=2.
答案:C
【例4】若幂函数的图象经过点(4,),则f()=____________________.
思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α.
解:设幂函数为y=xα,点(4,)满足解析式,则=4α,即2-1=22α,
∴α=-.
∴f(x)=,f()==()-1=4.
温馨提示
本题是利用待定系数法确定解析式.
各个击破
类题演练1
幂函数y=xa在第一象限的图象如下图所示，a取2,-2,,-四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，-
解析：由上面的图象规律可知应选B.
答案：B
变式提升1
(1)如下图，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.nm>0 D.m>n>0
解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n答案：A
(2)若幂函数y=xα(α∈R)的图象在0解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.
答案：α<1
类题演练2
将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.
（1）,,；
(2),,；
(3),,.
解析：（1）∵=>0,<0,又y=在（0,+∞）上单调递增,
∴<<.
(2)∵>1,0<<1,<0,
∴<<.
(3)=,==,
∵y=在（0，+∞）上单调递减.
又>0.5>0.4
∴<<.
变式提升2
函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.
解析：∵函数f(x)是幂函数，
∴解得∴f(x)=.
∵函数f(x)=在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).
类题演练3
如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值范围为( )
A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1
解析： 解得m=1.
答案：D
变式提升3
已知幂函数y=(m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y的解析式并讨论单调性和奇偶性.
解析：由幂函数的性质知：
m2-2m-3<0，即-1 ∴m=0,1,2.
当m=0时，y=x-3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x）-3=-x-3，
∴函数y=x-3是奇函数.
当m=1时，y=x-4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x）-4=x-4.故为偶函数.
当m=2时，y=x-3同m=0时的结论.
类题演练4
若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).
解析：设y=xα，则3=9α，
∴α=,
∴y=,
∴f(64)=8.
答案：8
变式提升4
m为何值,y=(m2+2m)为反比例函数.
解析：
解得m=-1或m=0(舍去).
答案：-1
2.3 幂函数
课堂探究
探究一幂函数的概念
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：
(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．
例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
【典型例题1】 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
思路分析：由已知f(x)＝(m2－m－5)·xm－1是幂函数，且当x>0时是增函数，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性确定m的值．
解：根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
探究二幂函数性质的应用
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较．
【典型例题2】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 与； (2) 与；
(3) 与.
思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用y＝x－1的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小．
解：(1)∵幂函数在[0，＋∞)上是增函数，
又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，∴>.
(3)∵函数为减函数，且>，
∴>.
又∵函数在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>.∴>.
探究三 根据幂函数的性质求解析式
【典型例题3】 已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求f(x)．
思路分析：由f(x)在(0，＋∞)上单调递减求出m的范围，再根据m∈N*且图象关于y轴对称，确定m的值，进而写出f(x)．
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，∴f(x)＝x3×1－9＝x－6.
探究四 易错辨析
易错点 因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解
【典型例题4】 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．
错解：考察幂函数f(x)＝x－1.因为该函数为减函数，
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得a＋1>3－2a，解得a>.
故实数a的取值范围是.
正解：考察幂函数f(x)＝x－1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，且在(－∞，0)上有f(x)<0；在(0，＋∞)上有f(x)>0，
所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得或a＋1>3－2a>0，或3－2a故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪.
反思函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误，此类问题的求解必须在各单调区间内分别进行，也可以结合函数的图象来考虑．
2.3 幂函数
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象，掌握它们的性质．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
幂函数
名师点拨 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．
自主思考1幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)一样吗？
提示：不一样．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
自主思考2(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上单调递增．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上的图象都是单调递增的，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．
