破题致胜——期末复习检测高二数学：第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线

复习指导
考点一：抛物线的标准方程及几何性质
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
3．抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，则：
(1) ；
(2)若直线的倾斜角为，则；
(3)若F为抛物线焦点，则有. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”，是解决抛物线焦
点弦有关问题的重要途径.
4．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
解题指导：
1．在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；
2．标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线 上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
抛物线中的四个圆 抛物线焦点弦相关的一个角平分性质

点与抛物线的位置关系 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值

例题1. 已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48

【答案】C
例题2. 已知抛物线,过其焦点且斜率为l的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=－1 C.x=2 D.x=－2

【答案】B
例题3. 已知抛物线C: 过点A(1,－2)．
(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由．

【答案】
(Ⅰ) 抛物线C的方程为，其准线方程为
(Ⅱ)见解析
例题4.已知m是非零实数,抛物线C: 的焦点F在直线l:上.
(Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.

【答案】
(Ⅰ)
(Ⅱ)求证过程见解析
巩固练习
一、单选题
1．过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （ ）
A. B. C. D.
2．已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到轴的最短距离为 （ ）
A. B. C. D.
3．过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
4．已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于， 两点，以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
6．已知点， ， ， ， ， 是抛物线（）上的点， 是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值
时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
8．已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________．
9．已知为坐标原点， 为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为__________．
10．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是____________.
三、解答题
11．如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点.
（1）求抛物线的方程及准线的方程；
（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，，，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
12．已知抛物线：和： 的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且 .
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.
13．已知抛物线和直线， 为坐标原点．
(1)求证： 与必有两交点；
(2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值．
14．已知抛物线.
(1)设点的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线的距离最短，并求出距离的最小值．
15．在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.
参考答案与解析
1．D
【解析】设，过A,B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E。
∵，∴。
由抛物线的定义得，又，
解得。
∴
2．C
3．A
【解析】

如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。
得，所以，整理得。
4．C
【解析】取AB的中点M,分别过A,B,M作准线的垂线AP,BQ,MN,垂足分别为P,Q,N,如图所示,由抛物线的定义可知, ,在直角梯形APQB中,
,故圆心M到准线的距离等于半径,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,
5．B
6．B
【解析】依题意，由抛物线定义可知，
，
故，故抛物线的方程为.
7．D
【解析】根据抛物线的定义P到焦点的距离等于P到准线的距离，所以点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和最小，只需点到点的距离与点P到准线的距离之和最小，过点作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为.
8．
【解析】 由抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，设点到抛物线的准线的距离为，所以，可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小， 所以最小值为.
9．
【解析】
直线过焦点，
，则，所以，
所以。
10．5
【解析】抛物线准线为 ，
11．(1) 抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1. (2) 存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立
【解析】
由消去y整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
显然，
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则，
又Q(1,2),则。
因为A,F,B三点共线,
所以，
即,
所以k1+k2==2(k+1),
即存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立.
12．(1)；(2)8.
【解析】
解得，
将其代入①式解得，从而求得，
所以的方程为.
（2）联立得，联立得，
从而，
点到直线的距离，进而

令，有，
当，即时，
即当过原点直线为时，△面积取得最小值.
13．（1）见解析；（2）
【解析】
②，因为, ,代入②得.
14．（1）距点最近的点的坐标为， ；（2），
【解析】
(1)设抛物线上任一点 ，则
,
，且在此区间上函数单调递增，故当 时， ，故距点最近的点的坐标为.
(2)设点是上任一点，则到直线 的距离为
，当 时， , 点的坐标为.
15．（1）（2）
【解析】
（2）设，
设直线代入到中得，
所以，
又中点，
所以直线的垂直平分线的方程为，
可得.