破题致胜——期末复习检测高二数学：第三章空间向量与立体几何3.1－3.2空间向量及其运算、立体几何中的向量方法

复习指导
考点一：空间向量的线性运算
1.
加法：
减法：
数乘：
当时，与方向相同；
当时，与方向相反；
当时，为零向量．
线性运算律
①加法交换律：
②加法结合律：
③分配律：，
2.
（1）向量定理
两个空间向量的充要条件是存在唯一的实数x，使.
（2）向量共面的条件
（3）空间向量的分解定理
（4）两个向量的夹角
（5）异面直线
（6）两个向量的数量积
3.空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底．
建立空间直角坐标系，分别沿轴、轴、轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底．
单位向量都叫做坐标向量．
(2)空间向量的坐标表示．
在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组，使分别为向量在方向上的分向量，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作
4空间向量平行和垂直的条件
设则
当3都不为0，；
(2)＝0
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
设则
，
，
设，则
解题指导：
空间向量解决立体几何问题的步骤：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义

例题1. 在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.
(1)求EF的长;
(2)证明:EF∥平面AA1D1D;
(3)证明:EF⊥平面A1CD.

【答案】
（1）
（2）见解析
（3）见解析
例题2. 已知是空间单位向量,?,若空间向量满足,，
对于任意则
=_______ =_______,=________

【答案】
巩固练习
1．若直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（ ）
A. α B. //α C. α D. A、C都有可能
2．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ）．
A. B. C. D.
3．设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面内一点，若面分别与面ABCD和面所成的锐二面角相等，则长度的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
4．如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（ ）
A. PB⊥AD B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
5．如图，四棱锥中，底面是矩形， 平面，且，点是上一点，当二面角为时， （ ）
A. B. C. D. 1
6．在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知三点， ，则以为方向向量的直线与平面系是（ ）
A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有可能
8．已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（　）
A. B. C. D.
9．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， ， ，若、分别是棱， 上的点，且， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中， ， ，点为棱的中点，点为上的点，且满足（），当二面角的余弦值为时，实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
11．已知矩形， ，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）．设二面角的大小为，直线， 与平面所成的角分别为则（ )
A. B. C. D.
12．正四棱柱中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面 的距离为 （ ）
A. B. C. D.
13．把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为 （ ）
A. 120° B. 30° C. 90° D. 60°
二、解答题
14．如图，在三棱锥中， 两两互相垂直，点分别为棱的中点， 在棱上，且满足，已知， .
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
15．如图，四棱锥，底面是边长为2的菱形， ，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角为，试求线段的长.
16．如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点．
（I）求证： ．
（II）若， 分别是， 的中点，求证： ∥平面．
（III）若二面角的大小为，求线段的长
参考答案与解析
1．A
【解析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为
且，即.所以α.
2．B
， ，
， ，
， ，
，
设平面的一个法向量为，
， ，
∵平面的一个法向量为，
，
∴所求锐二面角为．
3．A
【解析】如图，过点 作 的平行线交 于点 、交 于点 ，连接 ，
则 是平面 与平面 的交线， 是平面 与平面 的交线．
，交 于点 ，过点作 垂直 于点 ，则有与平面 垂直，所以， ，即角 是平面 与平面 的所成二面角的平面角，且
交 于点，过点 作 于点，同上有： ，且有 ，又因为 ，故 而 ，故 ，
∴ 长度的最小值
4．D
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD=2AB，即tan∠ADP=，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°
5．A
又平面的一个法向量是且，解之得，
6．B
【解析】∵，，如图
∴，∴，
过点A作，在和，，则，，在空间四边形中，直二面角，
∵，，
∴平面，
以点为原点，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∴，，
∴，，，
设与所成的角为，则
7．A
【解析】由题意， ， ，所以以为方向向量的直线与平面垂直
8．B
9．D
【解析】 以的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为且，
所以,
所以,
则,
所以异面直线与所成的角的余弦值为
10．A
【解析】由题意知，过点在平面内作，则以为原点，
分别以为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则， ， ，
设平面的法向量为，则，
取平面法向量为，由二面角余弦值为，
则，所以
11．D
12．A
距离为
13．D
【解析】过作，交于，连结，则是的中点，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，， ，，，设异面直线、所成的角为，则，所以.所以异面直线、所成的角为
14．（1）异面直线与所成角的余弦值为；（2）二面角的正弦值为；
【解析】
（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.
因此异面直线与所成角的余弦值为.
（2）平面的一个法向量为.
设为平面的一个法向量，
又，
则即
不妨取，则，
所以为平面的一个法向量，
从而,
设二面角的大小为，则.
因为，所以.
因此二面角的正弦值为.
15．（1）见解析；（2）线段的长为.
设．
所以
设平面的法向量为,

得，
令，则．
平面的法向量可取，
由题， ，解得，
所以线段的长为．
16．（I）见解析（II）见解析（III）
【解析】
（I）∵平面， 面，
∴．
∵， ，
∴中， ，
∴．
∵，
∴面．
∵面，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴．
又平面， 面，
∴平面．
（III）∵，且平面，
∴， ， 两两垂直。
以为原点， ， ， 分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
设，则， ， ， ，
∴， ， ．
设平面的法向量为，
故， ，
则有，令，则，
又平面的法向量为．
∵二面角的大小为，
∴，
解得，即，
，
∴．