破题致胜——期末复习检测高二数学：第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件

复习指导
考点一：充分条件、必要条件与充要条件的概念
1．充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
2．充要条件
一般地，如果既有，又有，就记作．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
概括地说，如果，那么p与q互为充要条件．
注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．（2）充分条件、必要条件具有传递性．
例题：
1. 设,都是非零向量.下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A. B. C. D.且

【答案】C
考点二：充分条件与必要条件的判定
1. 定义法：根据p?q，q?p进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法．
2. 集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系．当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题．
3. 等价转化法：用p?q与，q?p与，p?q与的等价关系．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
例题：
1. 设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的（ ）
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C
2.设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的（ ）
A .充分非必要条件 B .必要非充分条件
C .充要条件 D .既非充分也非必要条件

【答案】A
考点三：根据充分条件、必要条件求参数的范围
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
根据充分条件、必要条件或充要条件求参数的值或取值范围的关键：
①首先要将，等价化简；
②根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）；
③求出参数的值或取值范围.
例题：
1.已知：，：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】．
巩固练习
一、选择题
1. 已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A(B”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 设a,b,c∈R+,则“bc=1”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记,那么φ(a,b)=0是a与b互补的(　 　)
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 原命题：“， 为两个实数，若，则， 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（ ）
A. 逆命题为：若， 中至少有一个不小于1，则，为假命题
B. 否命题为：若，则， 都小于1，为假命题
C. 逆否命题为：若， 都小于1，则，为真命题
D. “”是“， 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
5．已知函数的定义域为，且，设：函数是偶函数； ：函数是奇函数，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
6．关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．
7．已知且，则“”是“”的__________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”）
三、解答题
8．命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
9．证明： 的充要条件是为等边三角形．这里是的三条边．
参考答案与解析
1.【答案】A
【解析】A(B等价于a=2或a=3,故“a=3”是“A(B”的充分不必要条件,故选A.
2.【答案】A
【解析】当abc=1时,,
而(当且仅当a=b=c=1时取等
号),即,所以充分性成立;取a=b=c=4∈R+,显然有
,但abc≠1,必要性不成立.故选A.
3.【答案】C
4．D
【解析】原命题：“， 为两个实数，若，则， 中至少有一个不小于1”，
逆命题：“， 为两个实数，若， 中至少有一个不小于1，则，”
否命题：“， 为两个实数，若，则， 中都小于1”
逆否命题：“若， 都小于1，则，为真命题”.
逆否命题显然为正，故原命题也为真；
当，则不成立，即逆命题为假命题.
所以“”是“， 中至少有一个不小于1”充分不必要条件.
故选D.
5．C
【解析】由函数是偶函数可得： ， ，所以函数是奇函数，充分条件成立，当函数是奇函数时，有，又=，可得函数，所以函数是偶函数，即必要条件也成立，所以是的充要条件.
6．
7．充要
【解析】考查充分性，若，则： ，分类讨论：
当时， ，据此可得： ，
当时， ，据此可得： ，
据此可得充分性成立；
考查必要性：
若，则，分类讨论：
当时， ，据此可得： ，此时有，
当时， ，据此可得： ，此时有，
据此可得必要性成立；
综上可得：“”是“”的充要条件.
点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
8．(1) a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1 (2) 命题?p是命题r成立的一个充分不必要条件．
试题解析：
关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为?，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞ ；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
∴q为真时a＜﹣或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时， ，即﹣1≤a＜﹣；
当p真q假时， ，即＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵?p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴?p?r，且r≠＞?p，
∴命题?p是命题r成立的一个充分不必要条件．
【点睛】根据三个命题的要求解出的范围，落实三个命题所表示的的范围；再根据对命题和的要求，判断出对命题的要求，限制的范围；有关充要条件问题有两种思路，一是从逻辑关系判断，二是从所表示的集合的包含关系去判断，本题根据所表示的集合与所表示的集合的包含关系确定是成立的条件.
9．见解析;
【解析】试题分析：本题考查解三角形问题，利用题意结合三角形的性质和所给的关系式分别证明充分性和必要性即可.
试题解析：
充分性：
如果为等边三角形，那么
所以，
所以，
所以．
必要性：
如果，那么
所以
所以
即