破题致胜——期末复习检测高一数学：第二章基本初等函数（I）2.1指数函数

复习指导
考点一：根式
根式的概念
符号表示
备注
如果xn=a，那么x叫做a的n次方根
N＞1且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次饭方根是一个负数
0的n次方根是0
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数
±
（a＞0）
负数没有偶次方根
2.两个重要公式
（1）
（2）
解题指导：对于根式的化简式进行根式运算时，一定要注意根指数的奇偶性的判断，若不明确，就分奇数与偶数情况讨论.
例题：
1.有下列各式：
①；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；
③；④.
其中正确的个数是(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：①，错；②因为，则，对；③，错；④， ，错.所以正确的有1个，故选B.
答案：B
2.根据已知条件求下列各式的值.(1)已知，,;(2)已知a,b是方程x2－6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.

答案：（1）（2）
考点二：有理数指数幂
1.幂的有关概念
（1）正分数指数幂：（，且）.
（2）负分数指数幂：（，且）.
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
2.有理数指数幂的性质
（1）aras＝ar＋s(a＞0，r，sQ)
（2）(ar)s＝ars(a＞0，r，sQ)
（3）(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，rQ)
解题指导：
1.分数指数幂与根式的关系
分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.
2.有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算.
例题：
化简下列各式(式中字母均为正数)．
(1) ；
(2) (结果为分数指数幂)．
答案：（1） ；2）
解析：试题分析：（1）先把根式化成分数指数幂的形式，再根据幂的运算法则求解；（2）按照系数与系数相乘除、同底数幂与同底数幂相乘除的方法进行计算即可.
点睛：根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．
考点三：指数函数的图象与性质
函数
且）
图象
0＜a＜1
a＞1
图象特征
在x轴上方，过定点（0,1）
当x 逐渐增大时，图象逐渐下降
当x 逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
（0，+∞）
单调性
在R上递减
在R上递增
函数值变化规律
当x=0时，y=1
当x>0时，01
当x>0时，y>1；x<0时，0解题指导：
1.指数函数图象的三个关键点
画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：（1，a），（0,1），（-1，）.
2.底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a＞1时，指数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，指数函数的图象“下降”.
3.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高.
例题：
1．已知函数f(x)＝ax(00，则0a；③若f(x1)>f(x2)，则x1A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.要得到函数y＝23－x的图象，只需将函数的图象(　　)
A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位
C. 向右平移8个单位 D. 向左平移8个单位
解析：的图象向右平移个单位得到 即是的图象，故选A.
答案：A
3. 已知函数f(x)=a·2x+b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(Ⅰ)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若ab<0，求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.

巩固练习
一、选择题
1．若，则 等于
A. B.
C. D.
2．下列说法：①16的4次方根是2；② 的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是(　　)
A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ③④
1．A
3.若a＝20.7，b＝20.5，，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. c>a>b B. c>b>a
C. a>b>c D. b>a>c
4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)
A. f(－2)＞f(－1)
B. f(－1)＞f(－2)
C. f(1)＞f(2)
D. f(－2)＞f(2)
5．设函数已知f(a)＞1，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，1)
B. (－∞，－2)∪(1，＋∞)
C. (1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(0，＋∞)
6．函数y= (ex的图像 ( )
A. 与y=ex的图像关于y轴对称
B. 与y=ex的图像关于坐标原点对称
C. 与y=e(x的图像关于y轴对称
D. 与y=e(x的图像关于坐标原点对称
二、解答题
7.已知：ax2 015＝by2 015＝cz2 015，且.
求证：(ax2 014＋by2 014＋cz2 014) ＝a＋b＋c.
8．若b＝9a>0，求的值．
9．已知定义在上的函数.
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
10.已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明：f(x)在R上是减函数．
参考答案与解析
1.【解析】因为
，故选A.
2．D
【解析】对于①，由于，所以16的4次方根是，故①不正确.
对于②，，故②不正确.
对于③，由根式的意义知，当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R都有意义，故③正确.
对于④，由根式的意义知，当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0时才有意义，故④正确.
综上③④正确.选D.
3．A
【解析】由在上是增函数，知，故，即，故选A.
【 方法点睛】本题主要考查指数函数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
4．A
【解析】由f(2)＝a－2＝4，得a＝ ，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)＞f(－1)．
故选A
5．B
答案：B
点睛：根据分段函数对自变量a分类讨论，布列关于a的不等式，注意前提条件，这是一个易错点，最后把适合题意得范围并到一起就可以得到结果.
6．D
【解析】因为函数与函数的图像关于轴对称，与函数关于坐标原点对称，所以A、B、C都不正确，应选答案D。
7．见解析
【解析】试题分析：设ax2 015＝by2 015＝cz2 015＝k，则，左边和右边均可化简得，即可证明.
试题解析：
证明：设ax2 015＝by2 015＝cz2 015＝k，则
ax2 014＝，by2 014＝，cz2 014＝.
于是原式的左边＝＝＝k.
原式的右边＝＋＋＝k＝k.
∴左边＝右边，
∴原命题成立．
8．-3
【解析】试题分析：由负指数幂的运算及分母有理化化简代数式，最后代入已知条件即可.
试题解析：
＝＝
＝＝－＝－3.
9．（1）；（2）.
试题解析：（1） ，若f(x)＝，
则解得， .
（2）若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，
，
，
，
，
，，
，.
【方法点晴】本题主要考查指数型函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.
10.（1）；（2）见解析.
试题解析：(1)解：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
令x＝0，则f(0)＝0，
即＝0?a＝1，所以f(x)＝，经检验是奇函数.
(2)证明：由(1)知f(x)＝＝－1＋，
任取x1，x2∈R，且x1即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在R上是减函数．
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；
（3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.