破题致胜——期末复习检测高一数学：第二章基本初等函数（I）2.2对数函数

复习指导
考点一：对数与对数运算
1.对数
对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作x＝.a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数的性质
(1) 0和负数没有对数；
(2) ；
(3)
对数的四则运算法则
(1) ;
(2) ;
(3).
两种特殊对数
常用对数: 以10为底的对数自然对数：
自然对数：以无理数（≈2.71828.……）为底的对数:
2.对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时．如图所示：
3.对数换底公式
(,且,,且, )
解题指导：
1.对数运算问题常用结论：
(1) (,且,,且,, ).
(2)
(3) （）.
2.比较对数大小常用方法
（1）同底数的对数比较大小用单调性.
（2）同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数形式.
（3）作差或作商法.
（4）利用中间量0、1比较.
比较大小—对数法比大小

例题：
1．已知log2m=2.016,log2n=1.016,则等于　(　　)
A. 2 B. C. 10 D.
解析：∵，
∴，即
∴，故选B.
答案：B
2．正数满足，则（ ）
A. B. C. D.
解析：给定特殊值，不妨设，
则： .
答案：C
考点二：对数函数及其性质
1.对数函数的图象与性质
函数
（）
图象
0＜a＜1
a＞1
图象特征
在y轴右方，过定点（1,0）
当x 逐渐增大时，图象逐渐下降
当x 逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
（0，+∞）
值域
（-∞，+∞）
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
函数值变化规律
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0
2. 对数函数与指数函数的关系
指数函数（）和对数函数（）互为反函数，图象关于直线对称，单调性相同.
解题指导：
对数函数中底数对图象位置的影响 数形结合比大小—比较对数大小

例题：
1. 已知函数f(x)=loga(2x＋b－1)(a＞0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A. 0＜a－1＜b＜1 B. 0＜b＜a－1＜1
C. 0＜b－1＜a＜1 D. 0＜a－1＜b－1＜1

答案：A
2. 已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
(2)
由得
∴的定义域为
(3) ()
令，则其单调减区间为， 为单调增函数
∴的单调区间为.
点睛：本题主要考查对数函数及复合函数的单调性有关方面的知识，对于对数函数的单调性取决于底数的范围，二次函数的单调性尤其开口方向与对称轴来判断，那么对于复合函数的单调性，一般有“同增异减”之说法，即若复合函数的两个函数的单调性相同，则为增函数，若两个函数的单调性不同，则为减函数.
巩固练习
1．已知函数，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
2．若， 且，则的值（ ）
A. B. C. D. 不是常数
3．若 ，则（ ）
A. B. C. D.
4．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5．已知在区间上是增函数，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
6．已知， ， ，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，则函数与函数的图象可能是
A. B. C. D.
8．下列式子中，成立的是（ ）
A. B. C. D.
9．己知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、解答题
10．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求的值．
11．已知， ，设函数.
（1）若， ，求；
（2）若，且是奇函数，求.
12．设函数,若实数满足
(1)证明:
(2)证明存在使得
13．已知
⑴若，求函数的定义域；
⑵当时，函数有意义，求实数的取值范围.
14．已知函数， ，（ ）.
（1）设，函数的定义域为，求的最大值；
（2）当时，求使的的取值范围.
15．如图，过函数的图象上的两点作轴的垂线，垂足分别为 ，线段于函数的图象交于点，且与轴平行.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）已知，若为区间任意两个变量，且，求证： .
参考答案与解析
1．C
【解析】∵， ，
∴。选C。
2．C
3．A
【解析】，
所以，故选A。
4．A
【解析】函数的定义域为
令，则
在上单调递减，在上单调递增，
为减函数，
根据“同增异减”可知：
函数的单调递增区间是
故选：A
点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.
5．D
【解析】令，则原函数由和复合而成的复合函数， 函数在上是增函数， ，解得， 的取值范围是，故选D.
6．B
【解析】， ，故选B.
7．A
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
8．D
【解析】对于A： ,所以,故A错；
对于B： 在R上递增，所以故B错；
对于C：因为故C错；
因为y=log0.4x是减函数，所以log0.44＞log0.46正确；故选D．
9．B
【解析】∵,
∴函数为减函数，
要使函数在上是减函数，需满足
，解得。
∴实数的取值范围是。选B。
点睛：
复合函数的单调性满足“同增异减”的性质，解答本题时要注意题目的隐含条件，即且，并由此得到函数为减函数，进一步可得。同时还应注意定义域的限制，对数的真数要满足大于零的条件，这一点在解题中很容易忽视。
10．64
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.
因此＝＝8×8＝64.
点睛：本题考查了对数函数的运算性质，注意计算的准确性，是基础题.
11．(1)1；(2)100.
【解析】试题分析：（1）当， 时，将 代入函数解析式，利用多事的运算法则化简即可；（2）代入解析式，利用对数的运算法则化简为，利用可得结果.
试题解析：（1）当， 时，
=
所以.
（2）若，则

∵是奇函数
∴
∴
∴.
【方法点睛】本题主要考查对数的运算法则及函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
12．（1）见解析（2）见解析
试题解析：
（1）由
又
.
（2）由(1)得
.
由得即
.
.
令
.
.
是连续函数
∴在区间有实数解
故存在 满足：
13．（1）（2）
试题解析：
(1)当
则要 解得
即
所以 的定义域为
(2)当 时,令
则有意义,
即在上恒成立
即在上恒成立.
因为
当时， 所以
所以
点睛：恒成立的问题常用方法：
（3）若 恒成立，可转化为（最值需同时取到）.
14．（1）4(2)
【解析】试题分析：（1）利用函数的单调性直接求解函数的最大值即可．（2）当时， ,满足即得解.
试题解析：
（1）当时， ,在为减函数，
因此当时最大值为 4
（2）,即当时， ,满足,故当时解集为: .
15．（1）;(2) ;(3)见解析.
【解析】试题分析：（1）通过，解得.（2），因为，所以，所以，最小值.（3）
，由， ， ，所以，即.
试题解析：
又与轴平行，所以，
因为，所以，
所以，
所以， 取得最小值.
（3），
因为，且，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，即.