破题致胜——期末复习检测高一数学：第二章基本初等函数（I）2.3幂函数

复习指导
考点：幂函数及其性质
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的性质．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象
定义
域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)(0，＋∞)
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调
性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]
上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)
上单调递增
在(－∞，0)上单调递学
在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
3．幂函数y＝xα在第一象限的特征
α的范围
过定点
单调性
α＞0[
α＞1
(0,0)，(1,1)
下凸递增
0＜α＜1
上凸递增
α＜0
(1,1)
递减，且以两坐标轴为渐近线
幂函数的奇偶性

解题指导：求幂函数的定义域时，首先改写成分式或根式形式，再由分式、根式有意义求定义域.
例题：
1. 函数的图象是( )
A.　　 B.
C.　 D.

答案：B
2. 已知幂函数 (m∈N)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足的实数a的取值范围.

答案：a<－1或.
巩固练习
一、单选题
1．已知幂函数在上单调递减，则的值为
A. B. C. 或 D.
2．已知函数是幂函数，则
A. 2 B. C. D. 0
3．若函数为幂函数，且当时， 是增函数，则函数（ ）
A. B. C. D.
4．已知幂函数的图象过点，则 （ ）
A. B. C. D.
5．已知幂函数在上为减函数，则等于
A. 3 B. 4 C. -2 D. -2或3
6．已知幂函数的图像关于原点对称，且在上是减函数，则（ ）
A. 0 B. 0或2 C. 0 D. 2
二、填空题
7．若幂函数的图象不过原点，则是__________．
8．若幂函数的图象经过点，则__________.
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，则__________．
10．已知函数， ，如果成立，则实数的取值范围为__________．
参考答案与解析
1．A
【解析】由函数为幂函数得，即，解得或。当时， ，符合题意。当时， ，不和题意。
综上。选A。
2．D
【解析】∵函数是幂函数
∴，即
∴
故选：D
3．D
当时， ，在是增函数，符合题意。
所以。选D。
4．D
【解析】，则， ，所以，故选D。
5．C
【解析】幂函数在上为减函数，
解得
即
故选
6．B
【解析】幂函数在上是减函数，所以，解得，又，所以，当时， 不是奇函数，所以，故选B.
7．
【解析】幂函数的图象不过原点， ，解得，故答案为.
8．
【解析】由题意有： ，
则： .
9．1
10．
【解析】因为函数， 为奇函数，又恒成立,所以在R上递增,? ,可化为,?由递增,得 .