破题致胜——期末复习检测高一数学：第三章函数的应用3.1函数与方程

复习指导
考点一：方程的根与函数的零点
函数的零点
对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点
方程、函数、图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数根?函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?函数y＝f（x）有零点．
函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0.那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
注意：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）＜0不一定成立
解题指导：
1. 求函数零点的两种方法：（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．
3. 已知函数有零点（方程有根）求参数取值常用的方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
利用函数图象讨论函数的零点问题

例题：
1.已知函数下列是关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的四种判断:①当k>0时，有3个零点；②当k<0时，有2个零点；③当k>0时，有4个零点；④当k<0时，有1个零点.则正确的判断是（ ）
A.③④
B.②③
C.①④
D.①②
当k>0，?合适，k<0时不合适；若kx+1>0，则f（f（x））=log2（kx+1）+1=0，即也即，当k>0时适合；当k<0不合适.因此当k>0时有四个根， ，；当k<0只有一个根，应选A.
答案：A
2.设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.

答案：①③④⑤
3.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .

答案：.
考点二：用二分法求方程的近似解
二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
解题指导：
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
例题：
已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在[0,1]内有两个实根.

巩固练习
1．已知函数?，若存在实数?，使函数?有两个零点，则实数?的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为
2
3
4
5
0.3010
0.4771
0.6020
0.6990
则函数的一个零点存在区间是（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4．是的零点，若，则的值满足（ ）
A. 的符号不确定 B. C. D.
5．已知，则方程所有实数根的个数为（ ）
A. B. C. D.
6．设函数对任意的满足，当时，有.若函数在区间（）上有零点，则的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7．函数（），若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数 ，关于的方程有四个不同的根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9．函数.若该函数的两个零点为，则（ ）
A. B. C. D. 无法判定
10．已知函数.
（Ⅰ）求函数的零点的集合；
（Ⅱ）设，讨论函数的零点个数.
11．已知.
（1）设， ，若函数存在零点，求的取值范围；
（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
参考答案与解析
1．C
【解析】
∵g(x)=f(x)?b有两个零点
可得2故选C.
2．C
【解析】由表格易知： ，∴在定义域上单调递增，
，
,
∴函数的一个零点存在区间是
故选：C
3．B
【解析】函数恰有个零点，由题意可知显然不满足，当时，题意等价于，即函数和函数的图象有3个交点，当时，最多有2个交点，不合题意；
当时，如图所示，原点为其一个交点，当，直线与相切时，设切点坐标为，由及导数的几何意义可得，解得，由幂函数类型函数中系数对图象的影响可得要使得有三个交点应满足，综上可得的取值范围为，故选B.
点睛：本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键；在该题中最大的难点为临界位置的确定，即直线与曲线相切的时对应的参数的范围，同时必须熟练掌握系数对幂函数图象的影响.
4．D
5．D
【解析】在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，
根据函数图象可知，两函数的图象交点的个数为5个，所以方程 所有实数根的个数为5个。选D．
6．D
由图可知,函数f(x)在区间(?3,?2),(6,7)各有一个零点，
故k=?3或k=6，
故选：D.
点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
7．A
【解析】由得 ,因为,作函数 图像如图
由图得，
选A.
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
8．A
【解析】当时，如图所示
与交点个数为2，不成立；
当时，f(x)图象如图：
与交点个数为4，则，
所以.
故选A.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
9．C
故选C
10. (1) (2) 当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.
【解析】试题分析：(1)化简函数的解析式，明确函数图象的走势，从而得到函数的零点；(2) ，研究函数的单调性及极值，从而得到函数的零点个数.
试题解析：
（Ⅰ）
当时，易知单调递增
函数的零点的集合为.
（Ⅱ）
结合①②可知：当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.
另解：（Ⅱ）直接画出的草图，通过直观的观察拿出相应范围上的函数零点个数也给满分,
11．（1）;（2）见解析；
【解析】试题分析：（1）函数有零点转化为方程有解，只需求函数的值域， 的取值范围即为其值域；
（2）根据是偶函数，利用特殊值求，函数与的图象只有一个公共点，即方程有一解，得方程有一解，换元转化为一元二次方程只有一正根的问题，分类讨论即可求出.（1）由题意函数存在零点，即有解.
又 ，
易知在上是减函数，又， ，即，
所以的取值范围是.
则为偶函数，
因为函数与的图象只有一个公共点，
所以方程只有一解，即只有一解，
令 ，则有一正根，
当时， ，不符合题意，
当时，若方程有两相等的正根，则且 ，解得，
若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为图象恒过点，只需图象开口向上，所以即可，解得，
综上， 或，即的取值范围是.
点睛：本题在处理两个函数图象只有一个交点时，转化为对应方程只有一解，利用换元法转化为含有参数的一元二次方程只有一正根，当时，结合二次函数图象，分类讨论即可，在分类讨论时注意分类标准的选择，做到不重不漏.