破题致胜——期末复习检测高一数学：第三章函数的应用3.2函数模型及其应用

复习指导
考点一：几类不同增长的函数模型
1．三种函数模型的性质
　　 函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐
渐变陡
随x增大逐
渐变缓
随n值
而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
解题指导：
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
例题：
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50　　　　　　　 B．y＝1 000x
C．y＝2x－1 D．y＝ln x
解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.
答案：C
2.若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
解析：如图所示，由图可知当x∈(0，1)时，2x>x>lgx.
答案：A
考点二：函数模型的应用实例
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
2．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
解题指导：1. 用已知函数模型解决问题；2. 建立函数模型解决实际问题.
例题：
为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示.
根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.

答案：（1）（2）0.6
2. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间(t)
50
110
250
种植成本(Q)
150
108
150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

答案：（1）（2）当 (天)时,西红柿种植成本最低为 (元/102kg)
巩固练习
一、选择题
1．下面对函数，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A. f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B. f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C. f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D. f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
2．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）
A. B. C. D.
3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
4．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A. f1(x)＝x2 B. f2(x)＝4x C. f3(x)＝log2x D. f4(x)＝2x
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A. y＝2x－2 B. y＝ (x2－1)
C. y＝log2x D. y＝
6．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据： ）
A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年
二、解答题
7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
8．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．
(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；
(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；
(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元)．
(参考数据：1.073＝1.225 0，1.074＝1.310 8，1.075＝1.402 551，1.076＝1.500 730)
9．根据统计，某机械零件加工厂的一名工人组装第（）件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）.已知该工人组装第件产品用时小时.
（1）求的值；
（2）试问该工人组装第件产品比组装第件产品少用多少时间？
10．在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度， 称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据： ， ）
11．某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查与预测， 产品的利润与投资关系如图（1）所示； 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．

（1）分别将 ， 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到 万元资金，并将全部投入 ， 两种产品的生产．问怎样分配这 万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?
参考答案与解析
1．C
【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。选C.
【点睛】
当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数。当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的。当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的。
2．C
故选C.
3．C
【解析】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量 的增长速度最慢，对数型函数变化，故选C
4．D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D。
5．B
【解析】由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0,+∞)上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快；
∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，C.D答案；
∴B中函数y＝ (x2－1)符合题意。
故选：B.
6．C
【解析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元，
由题意可得： ，即，
两边取对数可得： ，
则，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是年.
本题选择C选项.
7．④
【解析】画出散点图如图所示．
由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.
答案：④
点睛：本题主要考查了线性相关的概念，散点图，以及函数拟合相关关系的问题，属于中档题，首先根据数据画出散点图，判断变量间的相关关系，其次在拟合选取函数时，主要看函数的单调性，特殊值的适当性，以及图象变化的快慢等等。
8．(1)详见解析;(2) 140 255元(或14.025 5万元);(3) 24 389元(或2.438 9万元)．
试题解析：
(1)y＝10·(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}．
(2)5年后的还款总额为y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075＝14.025 5.
答：5年后的还款总额为140 255元(或14.025 5万元)．
(3)由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.025 5.
解得x＝2.438 9.
答：每次还款的金额为24 389元(或2.438 9万元)．
点睛：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，当把实际问题转化为数学问题后，再利用数学知识解决函数问题，最后给出实际问题相应的答案.
9．(1)60；(2) 少用分钟.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合，可得.
(2)结合(1)的结论计算可得该工人组装第件产品比组装第件产品少用分钟.
该工人组装第件产品比组第节产品少用分钟.
点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
10．25.9分钟
【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式，求解就可得到半衰期h的值．再利用公式，中， ， ， 代入，求出半衰期h的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟．
试题解析：依题意，可令， ， ， 代入式子得：
，解得
又若代入式子得
则
∴
答：降温到95F约需要25.9分钟.
11．（1）；（2）投入 产品 万元， 产品 万元时，总利润最大值为 万元
试题解析：
（1） 对于 ，当 时，因为图象过 ，所以 ，
当 时，令 ，因图象过 和 ，得
解得 ， ，故
对于 ，易知 ．
（2） 设投入 产品 万元，则投入 产品 万元，利润为 万元．
若 时，则 ，则投入 产品的利润为 ，投入 产品的利润为 ，则 ，令 ， ，
则 ，此时当 ，即 时， 万元；
当 时， ，则投入 产品的利润为 ，投入 产品的利润为 ，则 ，令 ， ，
则 ，当 时，即 时， 万元；
由 ，
综上，投入 产品 万元， 产品 万元时，总利润最大值为 万元．