破题致胜——期末复习检测高二数学：第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆

复习指导
考点一：求椭圆及其标准方程
1．直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，按标准方程写出方程，其中难点是确定a，b的值．
2．待定系数法：除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为
(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．
(4)求解，得方程．
解题指导：
(1)方程与有相同的离心率．
(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
待定系数法求椭圆的方程

例题：
例题1. 当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
例题2. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-5，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为（　　）
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，
则|FM|=2|OF|=10，
由|OP|=|OF|=|OM|知，∠PFM=∠FPO，∠OMP=∠OPM，
所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM，
又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°知，
又由c=5，则
则椭圆的方程为：
【答案】C
考点二： 椭圆的几何性质
1．椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．
2．在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
解题指导：
1．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．
2．求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
构造齐次方程求椭圆的离心率 定义法求椭圆的离心率

例题1：设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，，求椭圆的方程.

【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
例题2. 已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.

【答案】B
考点三：直线与椭圆的关系
1．涉及直线与椭圆的基本题型有：
（1）位置关系的判断
（2）弦长、弦中点问题
（3）轨迹问题
（4）定值、最值及参数范围问题
（5）存在性问题
2．直线与椭圆位置关系的判断
（1）代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方
程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．
（2）几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．
3．圆锥曲线的弦中点问题是圆锥曲线中的常见题型，通常用“点差法”求弦的斜率．
如是椭圆的一条弦，是的中点，
则
4．涉及弦长的问题，应熟练地应用韦达定理“设而不求”地去计算弦长(即运用弦长公式)，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，“设而不求”，简化运算．若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．
解题指导：
1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
2．设直线与椭圆的交点坐标为，
则为直线斜率).
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
代数法判断直线与椭圆的位置关系

例题1：已知椭圆的离心率,且其焦点在x轴上,若椭圆经过点
①求椭圆方程;
②是否存在一条直线过点P(1,1),且与椭圆所截得的弦以P为中点?若存在,求此直线;若不存在,说明理由.

【答案】
①
②存在这样的直线.
例题2. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直
线l的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】
(Ⅰ)
(Ⅱ)不存在，理由请观看视频
巩固练习
一、单选题
1．当点在圆上变动时，它与定点的连结线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
2．如图， 是平面的斜线段， 为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 一条直线 C. 椭圆 D. 两条平行直线
3．已知两点， ，给出下列曲线：①；②；③；④；⑤，在所给的曲线上存在点满足的曲线方程有（ ）
A. ②③④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①④⑤
4．设圆的圆心为， 是圆内一定点， 为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
5．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为（， ），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 和点，点， 为圆上动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7．已知点， ，点在圆上，则使的点的个数为__________.
8．已知点在椭圆上， 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的
中点，则点的轨迹方程是___________.
9．一圆形纸片的半径为，圆心为， 为圆内一定点， ， 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使与重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕，设与交于点（如图），以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则点的轨迹方程为__________．
三、解答题
10．已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的
直线分别交椭圆于点.
（1）设动点，满足，求点的轨迹方程；
（2）当时，求点的坐标；
（3）设，求证：直线过轴上的定点.
参考答案与解析
1．B
【解析】设PQ中点M（x，y），因为点Q 的坐标为(3,0)，所以P（2x-3，2y），代入圆的方程,x2＋y2＝1得(2x－3)2＋4y2＝1.故选B.
点晴：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；
②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.
2．C
3．C
【解析】两点， ，点满足,则点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆, ,,即椭圆方程为;又曲线①③⑤与该椭圆相交,曲线④与椭圆无交点,故选C.
4．D
【解析】圆心,半径为5,设点, 的垂直平分线交于,又,由椭圆的定义可得点M是以A,C为焦点的椭圆,且,故椭圆方程为,故选D.
点睛: 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)；(4)参数法．
5．B
【解析】设， ，过点的直线为，
由得，直线代入得
则，
即， ，所以
故选B
6．C
则。
整理得。
由题意得该圆的方程为，
∴，解得
∴点C的坐标为（-2,0）。
∴,
因此当点M位于图中的的位置时， 的值最小，且为,故选C.
7．1
考查两圆的圆心距： ，
两圆的半径： ，满足： ，
即两圆外切，据此可得：点的个数为1个.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
8．
【解析】设P（x，y），则M（x， ）．∵点M在椭圆上，∴，
即P点的轨迹方程为x2+y2=36．故填.
9．
【解析】以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10
即|PO|+|PF|=10>|OF|,所以点P的轨迹是以F,O为焦点的椭圆。
方程为： ,2a=10,2c=6?b2=16,
点P的轨迹方程为： .
10．(1)；(2)；(3)证明见解析
（1）由题意知:，设，则
， 化简整理得:
（2）把代人椭圆方程,分别求出: ，
直线 ①
直线 ②
由 ①、②得：；
（3）由已知，
直线与椭圆联立，得：
直线与椭圆联立，得：
直线的方程为：
化简得
令，解得，即直线过轴上定点.
点睛：本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力；对于圆锥曲线中的定值定点问题，一般是可以先有特殊位置得到定点，再证明一般情况。或者由特殊情况推出一般情况。证明过定点问题，一般是求谁设谁，或者像这个题一样求出交点坐标，用这两个点表示出直线方程。