破题致胜——期末复习检测高二数学：第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线

复习指导
考点一：双曲线的定义及标准方程
1．双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合，运用平方的方法，建立与的联系.
2．求双曲线标准方程的一般方法：
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线有相同渐近线时可设所求双曲线方程为.
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
解题指导：
1．双曲线的轨迹类型是；
2．双曲线标准方程的求解方法主要是”待定系数法”，“先定型，后计算”．
双曲线的标准方程

例题1. 对于双曲线C1：和C2：，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（　　）
A．（1）（2）（4）
B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（2）（4）
解析：由题意，双曲线C1：，C2： ，
（1）离心率分别为，
（2）渐近线相同，为
（3）没有公共点
（4）焦距相等，为1 , 0
【答案】C
例题2. 是方程表示的图形为双曲线的（　　）
A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
考点二： 双曲线的几何性质
1．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线 的两条渐近线方程.
2．双曲线方程中，说明双曲线方程中最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
3．求双曲线的离心率或其范围时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.特别注意不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是这个前提条件.
4．双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式.
解题指导：
1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.
2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
5．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
构造不等式求双曲线的离心率 定义法求双曲线的离心率

例题1：设F1, F2是双曲线的左、右焦点, P是双曲线右支上的一点, |PF1|︰|PF2|=2︰1,且△PF1F2是以∠P为直角的直角三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.

【答案】C
例题2. 已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.

【答案】B
例题3. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设,若l的斜率存在,且,求l的斜率.

【答案】
（1）
（2）
巩固练习
一、单选题
1．已知点在双曲线： （， ）上， ， 分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，其顶角为，则（ ）
A. B. C. D.
2．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
3．当双曲线的离心率取得最小值时， 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4．双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2 D.
5．已知双曲线（， ）的实轴的两端点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6．过双曲线： 的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．设和为双曲线的两个焦点，若， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
8．抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线 的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9．设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．若双曲线以为渐近线，且过，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、解答题
11．已知双曲线， 为双曲线上任意一点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）若点，求的最小值.
12．已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程。
13．双曲线的右焦点为．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作
圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
14．(1) 已知双曲线：的离心率，求实数的取值范围．
(2)过抛物线 的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若线段的长为8，求的值．
15．已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．
参考答案与解析
1．D
【解析】不妨设点在第一象限，因为为等腰三角形，其顶角为，则的坐标为，代入双曲线的方程得，故选D.
2．B
【解析】双曲线方程即为，所以，又，可得，所以。选B。
3．A
4．A
【解析】由题意可知： ，其中为坐标原点，
结合通径公式可得： ，则： ，
即： ，整理可得：
，
故，结合可知： .
5．C
【解析】 以线段为直径的圆与直线相切，
所以原点到直线的距离，得，
所以椭圆的离心率为，故选C.
6．B
7．C
【解析】若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，
∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
∴=2c，∴c2+4b2=4c2，
∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，
∴c2=4a2，即c=2a，
b==a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
即为．
8．D
【解析】抛物线的焦点为，其准线方程为
准线经过双曲线 的左焦点，
点为这两条曲线的一个交点，且
的横坐标为
代入抛物线方程，可得的纵坐标为
将的坐标代入双曲线方程，可得
9．D
又因为在右支上存在一点，使由焦半径公式得，
得，故因为即
综上则该双曲线的离心率的取值范围是
10．D
【解析】(1)若焦点在轴上，则
由题意得： ，无解舍去
（2）若焦点在轴上，则
由题意得： ，解得
故双曲线的方程为
11．(1)证明见解析；(2) .
【解析】
（2）设点，则
当时， 有最小值.
12．（1）（2）
【解析】
（1）因为双曲线的渐近线方程为，
则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），
所以由题意知，又因为，解得，
故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，由余弦定理得，
即
又由双曲线的定义得，平方得，
相减得。
根据三角形的面积公式得，
得。再由上小题结论得，
故所求双曲线方程是.
13．（1）；（2）．
【解析】
（2）由题意，设，则，从而， ，

将代入双曲线得：

且
从而
14．(1) (2)
【解析】
(1) 　，
∴　　
∴
∴
15．（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为，
∴设双曲线方程为，
∵点在双曲线上．
∴，
∴
∴双曲线方程为，即。
（Ⅱ）由题意知。
设直线方程为，
由 ，解得，
∴。
由直线方程为.以代替上式中的，可得
。
∴。