2018年春 人教版八年级数学下册（广西） 期末复习学案（二） 勾股定理（含答案）
文档属性
| 名称 | 2018年春 人教版八年级数学下册（广西） 期末复习学案（二） 勾股定理（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 288.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-01-04 17:26:44 | ||
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文档简介
广西期末复习（二） 勾股定理
知识结构图
本章知识在考试中主要考查勾股定理的运用，在几何图形中或实际问题中，利用勾股定理求线段长是常考题型，特殊题型有平面图形的折叠问题．
重难点突破
重难点1 勾股定理的证明
【例1】 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
图1 图2
【思路点拨】 利用梯形面积的两种算法列出等式证明．
【解答】
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成图形的示意图；
（2）证明勾股定理．
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】 如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠C＝90°.
【思路点拨】 （1）利用勾股定理求出四边形的各边长；（2）求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
【解答】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出，勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路，本题的第（2）问还可以通过两个三角形来证明．
2．（2017·南宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝____________.
3．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°.
重难点3 勾股定理的实际应用
【例3】 如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下方法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
【思路点拨】 过点C作CE⊥AD于点E.先根据等腰三角形的判定得出BC的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理和直角三角形中30°角的性质求出CE的值即可．
【解答】
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解．
4．如图所示，某三条公路的交叉地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是AC＝130 m，BC＝140 m，AB＝150 m，市政府准备将其规划为绿化用地，请求出这块绿化地的面积．
重难点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】 （2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B. C．5 D.
【思路点拨】 由四边形ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且△BEF与△BEA全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD－BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF＝x，并用x表示出ED，利用勾股定理列关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到DE的长．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝____________.
备考集训
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．5，12，17 D．6，8，12
2．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝15，则a等于（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
4．（2017·南宁月考）a，b，c是三角形的三边长，且（a＋b）2＝c2＋2ab，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
6．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A. B. C．4 D．5
7．（2016·柳州期中）如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆．若S1＝10，S3＝8，则S2＝（ ）
A．2 B．6 C. D.
8．（2016·防城港期中）在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a＋b＝21，c＝15，则△ABC的面积是（ ）
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．
10．如图，数轴上点A表示的数是____________．
11．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____________．
12．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．
13．已知|x－12|＋（y－13）2和z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形是____________三角形．
14．考古学家们发现了几块大约完成于公元前2 000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位长度的棍子直立在墙上，当其上端垂直滑下6个单位长度时，请问其下端离开墙角有多远？”，这个问题的答案是：其下端离开墙角____________个单位长度．
三、解答题（共50分）
15．（8分）如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
16．（10分）（2017·北流期中）如图，△ABC中，D是BC上的一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
17．（10分）（1）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝5，试判断△ABC的形状；
（2）试在下列4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上．（每个小方格的边长为1）
18．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，BC边上的中线AD＝12 cm，则△ABC是等腰三角形吗？说明理由．
19．（12分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
广西期末复习(二) 勾股定理
【例1】 ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.整理，得a2＋b2＝c2.
【例2】 (1)根据勾股定理可知：AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四边形ABCD的周长为8＋2.(2)证明：连接BD.∵BC＝，CD＝，DB＝2，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠C＝90°.
【例3】 过点C作CE⊥AD于点E.由题意得，AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°.∴AB＝BC＝30 m．在Rt△BCE中，∵∠CBD＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝BC＝15 m．又∵BC2＝BE2＋CE2，∴CE＝＝＝15(m)．答：小河的宽度为15 m.
【例4】 C
变式训练
1．略．
2．8
3．证明：连接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.又∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625.∴AC2＝CD2＋AD2.∴∠D＝90°.∴∠A＋∠C＝360°－180°＝180°.
4．过点A作BC边上的高AD.设BD＝x，则CD＝140－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝1502－x2.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝1302－(140－x)2.∴1502－x2＝1302－(140－x)2.解得x＝90.∴AD＝＝120.∴S△ABC＝BC·AD＝×140×120＝8 400(m2)．答：这块绿化地的面积为8 400 m2.
5．6
备考集训
1．B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.90° 10.－2
11．45° 12.8 13.直角 14.18
15．根据已知可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝1 700(米).1 700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶．
16．∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，CD＝＝＝15，∴S△ABC＝BC·AD＝(BD＋CD)·AD＝×21×8＝84.
17．(1)在△ABC中，∵AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2.∴△ABC为直角三角形．(2)略．
18．△ABC是等腰三角形，理由如下：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝5 cm.在△ABD中，AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm，∴AD2＋BD2＝122＋52＝169＝132＝AB2，即AD2＋BD2＝AB2.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，AD＝12 cm，DC＝5 cm，∴AC2＝AD2＋DC2＝122＋52＝169.∴AC＝13 cm.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
19．(1)正方形、矩形．(2)证明：①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．②∵△ABC≌△DBE，∴AC＝ED.又∵△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.∴四边形ABCD是勾股四边形．
知识结构图
本章知识在考试中主要考查勾股定理的运用，在几何图形中或实际问题中，利用勾股定理求线段长是常考题型，特殊题型有平面图形的折叠问题．
重难点突破
重难点1 勾股定理的证明
【例1】 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
图1 图2
【思路点拨】 利用梯形面积的两种算法列出等式证明．
【解答】
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成图形的示意图；
（2）证明勾股定理．
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】 如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠C＝90°.
【思路点拨】 （1）利用勾股定理求出四边形的各边长；（2）求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
【解答】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出，勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路，本题的第（2）问还可以通过两个三角形来证明．
2．（2017·南宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝____________.
3．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°.
重难点3 勾股定理的实际应用
【例3】 如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下方法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
【思路点拨】 过点C作CE⊥AD于点E.先根据等腰三角形的判定得出BC的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理和直角三角形中30°角的性质求出CE的值即可．
【解答】
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解．
4．如图所示，某三条公路的交叉地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是AC＝130 m，BC＝140 m，AB＝150 m，市政府准备将其规划为绿化用地，请求出这块绿化地的面积．
重难点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】 （2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B. C．5 D.
【思路点拨】 由四边形ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且△BEF与△BEA全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD－BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF＝x，并用x表示出ED，利用勾股定理列关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到DE的长．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝____________.
备考集训
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．5，12，17 D．6，8，12
2．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝15，则a等于（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
4．（2017·南宁月考）a，b，c是三角形的三边长，且（a＋b）2＝c2＋2ab，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
6．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A. B. C．4 D．5
7．（2016·柳州期中）如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆．若S1＝10，S3＝8，则S2＝（ ）
A．2 B．6 C. D.
8．（2016·防城港期中）在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a＋b＝21，c＝15，则△ABC的面积是（ ）
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．如果三角形的三边长分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．
10．如图，数轴上点A表示的数是____________．
11．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____________．
12．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．
13．已知|x－12|＋（y－13）2和z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形是____________三角形．
14．考古学家们发现了几块大约完成于公元前2 000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位长度的棍子直立在墙上，当其上端垂直滑下6个单位长度时，请问其下端离开墙角有多远？”，这个问题的答案是：其下端离开墙角____________个单位长度．
三、解答题（共50分）
15．（8分）如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
16．（10分）（2017·北流期中）如图，△ABC中，D是BC上的一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
17．（10分）（1）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝5，试判断△ABC的形状；
（2）试在下列4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上．（每个小方格的边长为1）
18．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，BC边上的中线AD＝12 cm，则△ABC是等腰三角形吗？说明理由．
19．（12分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
广西期末复习(二) 勾股定理
【例1】 ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.整理，得a2＋b2＝c2.
【例2】 (1)根据勾股定理可知：AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四边形ABCD的周长为8＋2.(2)证明：连接BD.∵BC＝，CD＝，DB＝2，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠C＝90°.
【例3】 过点C作CE⊥AD于点E.由题意得，AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°.∴AB＝BC＝30 m．在Rt△BCE中，∵∠CBD＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝BC＝15 m．又∵BC2＝BE2＋CE2，∴CE＝＝＝15(m)．答：小河的宽度为15 m.
【例4】 C
变式训练
1．略．
2．8
3．证明：连接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.又∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625.∴AC2＝CD2＋AD2.∴∠D＝90°.∴∠A＋∠C＝360°－180°＝180°.
4．过点A作BC边上的高AD.设BD＝x，则CD＝140－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝1502－x2.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝1302－(140－x)2.∴1502－x2＝1302－(140－x)2.解得x＝90.∴AD＝＝120.∴S△ABC＝BC·AD＝×140×120＝8 400(m2)．答：这块绿化地的面积为8 400 m2.
5．6
备考集训
1．B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.90° 10.－2
11．45° 12.8 13.直角 14.18
15．根据已知可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝1 700(米).1 700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶．
16．∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.在Rt△ACD中，CD＝＝＝15，∴S△ABC＝BC·AD＝(BD＋CD)·AD＝×21×8＝84.
17．(1)在△ABC中，∵AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2.∴△ABC为直角三角形．(2)略．
18．△ABC是等腰三角形，理由如下：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝5 cm.在△ABD中，AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm，∴AD2＋BD2＝122＋52＝169＝132＝AB2，即AD2＋BD2＝AB2.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，AD＝12 cm，DC＝5 cm，∴AC2＝AD2＋DC2＝122＋52＝169.∴AC＝13 cm.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
19．(1)正方形、矩形．(2)证明：①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．②∵△ABC≌△DBE，∴AC＝ED.又∵△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.∴四边形ABCD是勾股四边形．