向量的概念及其表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景；理解向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.
2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量等概念.
3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别
【重难点】
重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
难点: 准确理解向量的有关概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
【预习案】看书P59—60，弄懂下列概念
1、书P58实例, 位移和距离有什么不同?
；
2、你能举出一些不仅有大小, 而且有方向的量么?比如？
；
3、这些量有何共同特征？
；
4、向量的概念：
；
5、根据以前所学知识，你认为可用哪些方法表示向量呢？
；
6、向量有数的属性，类比特殊的数，你想到了哪几种特殊向量？
零向量： ；单位向量： ；
7.类比数与数之间的特殊关系，你想到了向量与向量之间有哪几种特殊关系？
相等向量： ；相反向量： ；
8.向量也有形的属性，类比线段与线段的特殊位置关系，你想到了向量与向量之间有什么样的特殊关系?
平行向量： ；共线向量： ；
9、实数可以比较大小，向量能吗？为什么? ；
10、直线平行与向量平行有区别吗？如果有，你认为区别在那里？
【探究案】
探究一：判断下列命题的真假, 并说明理由.（以讨论为主）
(1)平行向量一定方向相同 （ ）； (2)共线向量一定相等（ ）；
(3)起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量（ ）；
(4)不相等的向量一定不平行（ ）； (5)向量的模是一个正实数（ ）；
(6)两个相反向量必是共线向量( ) （7）单位向量都相等（ ）
(8)若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等（ ）
（9）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上（ ）
（10）任一向量与它的相反向量不相等. ( )
（11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.( )
（12）a与b共线，b与c共线，则a与c也共线( )
（13）向量a与b不共线，则a与b都是非零向量（ ）
（14）有相同起点的两个非零向量不平行. （ ） （15）若∥，∥，则 ∥( ）
探究二：
已知O为正六边形ABCDEF的中心, 在图中所标出的向量中:
(1)试找出与共线的向量; ；
(2)确定与相等的向量; ；
(3)与相等吗? ；
探究三：
在如图的4×5方格纸中有一个向量, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与相等的向量有多少个? 与长度相等的共线向量有多少个? (除外)
向量的共线定理
【学习目标】1.理解向量共线定理, 了解其证明方法.
2.会用向量共线定理判定向量共线, 解决有关向量共线问题.
【重难点】重点: 向量共线定理及其应用； 难点: 向量共线定理的理解及证明
【预习案】看书P70-P71弄懂下列概念，完成第4题
1、如图, D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
(1) 和的关系如何? 答： ；
(2)能否将用线性表示? 答： ；
(3)你能总结出向量共线的一个条件吗? 答：（共线定理内容）
；
3、向量共线定理及其证明：
证明：
注: (1)定理中包含两层意思 (2)注意条件≠的限制.
4、已知向量、满足, 试确定向量和满足的关系是 ；
【探究案】
探究一：判断两个向量共线
1．设, 是两个不共线向量, 判断下列各题中的向量, 是否共线?
(1)=5, =－7; (2)= , =3 .
变式：=5, ，则向量, 是否共线? ；
2. 设, 是两个不共线向量, 向量=－,向量=3－2，判断向量, 是否共线?21教育网
探究二：向量的共线定理应用
1.设, 是两个不共线向量, 四边形ABCD满足=－,向量=3－2，判断四边形ABCD的形状.21cnjy.com
2.设, 是平面内的一组基底, 如果, , , 求证: A、B、D三点共线.
变式：设, 是平面内的一组基底, 如果, , , 若 A、B、D三点共线，则 ；21世纪教育网版权所有
向量的数乘
【学习目标】1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律.
3.能熟练运用向量的数乘及加减运算进行有关计算和证明.
【重难点】重点: 向量数乘的含义及运算律；难点: 综合运用向量的加减和数乘解决问题.
【预习案】看书P68-P69弄懂下列概念，完成第5题
1、质点从点O出发做匀速直线运动, 若经过1s的位移对应的向量用表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3表示, 3是何种运算的结果?请画出该质点经过3s的位移所对应的向量。21世纪教育网版权所有
2.、+可记为2, 该怎样理解?请画图。
3、向量的数乘的定义：
4、向量数乘的运算律：
5、设、为向量，计算下列各式：
（1）－×3= ； （2）2（－）－（+）= ；
（3）（2m－n）－m－（m－n）（－）= （m、n为实数）.
【探究案】
探究一： 根据向量的线性运算的定义作图
●已知向量和向量, 求作向量－2.5和向量2－3.
变式：作出2－3
探究二：向量线性运算律应用
（1）、3(－)－2(+2)= ;
（2）、2(2+6－3)－3(－3+4－2)= ;
（3）、[(3+2)－(+)]－2(+)= .
变式：1、化简： ；
2、若3(－)=2(+2)，则= ；
探究三：利用已知向量线性表示所求向量
●在正六边形ABCDEF中, 已知=, =, 求, , .
变式：如图, △OAB中, C为直线靠近B点三等分点, 用
向量表示向量；
向量的减法
【学习目标】1. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
2. 通过向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想
【重难点】学习重点: 向量减法的概念和向量减法的作图法
学习难点: 减法运算时方向的确定.
【预习案】看书P66-P67，弄懂下列概念，并完成第4、5题
1、能从数的减法是加法的逆运算类比向量减法的定义吗?
；
2、通过类比定义向量的减法：
；
3、尝试向量减法的作图方法.，作图区域
●注(1)作两向量的差对向量的起点的要求及差向量的方向.
(2)减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(画图验证).
4、平行四边形中，=，=，
则（1）、= ；（2）、= ；
5、用、表示向量， ；
【探究案】
探究一：向量减法的图形表示
如图, 已知向量, 不共线, 求作向量－.
变式:若, 共线, 则如何作向量－?
探究二：向量减法的符号表示
如图, O是平行四边形ABCD的对角线的交点,化简 +－－.
变式：化简下列各式:
(1) (=_____ (2) －+－=_______
(3) (+)+(－)=______________
探究三：差向量的模的相关问题
已知两个非零向量,, 若的方向与的方向垂直, 试说明|+|与|－|的关系
变式：已知四边形ABCD中,,满足|+|与|－|相等，试判断四边形ABCD的形状。21世纪教育网版权所有
向量的加法
【学习目标】1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和. 培养数形结合
解决问题的能力
3. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结
合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法
【重难点】学习重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量
学习难点: 理解向量加法的定义
【预习案】看书P63-P64（至少3遍）弄懂下列概念，完成第6题
1、课本P63实例，提出问题: , , 三者之间有什么关系?
；
2、向量加法的定义
3、向量加法的三角形法则：
4、向量加法的运算律：
5向量加法的平行四边形法则：
6、填空
①；②；
③；④；
⑤；
【探究案】
探究一：如图, O是正六边形ABCDEF的中心, 作出下列向量;
(1) + (2) + (3) +
变式：作出上图中向量；
探究二：在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?
变式：已知△ABC为等边三角形，则下列各等式中部成立的是 (填序号)
①； ②；
③； ④
探究三：如图, 试用, , , 表示向量.
变式：若M是DC的中点，试用, , , 表示向量.
向量平行的坐标表示
【学习目标】：1.能正确地用坐标表示向量, 理解用坐标表示向量共线的条件.
2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线..
【重难点】向量平行的条件的坐标形式的推导与应用
【预习案】看书P76-P77弄懂概念，完成第2、3题
1.向量平行的坐标表示：
2、已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？ ；
直线AB与平行于直线CD吗？ ；
3、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
【探究案】
探究一：向量平行的坐标表示
1.已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
2.已知，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
变式：（1）设，，且，则锐角为
（2）与向量a＝(12,5)平行的单位向量为________．
探究二：向量平行求参数
已知= (1 , 0) , = (2 , 1), 当实数k为何值时, 向量k－与+3平行, 并确定此时它们是同向还是反向.21世纪教育网版权所有
变式：（1）向量，，若与平行，则等于
（2）已知向量＝(1,0)，＝(0,1)，＝k＋(k为实数)，＝－.如果∥，那么与方向相________(填“同”或“反”)．21cnjy.com
探究三：向量平行在几何图形中的应用
已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(5 , 1) , B(3 , 4) , C(1 , 3) , D(5 ,-3) 。
①判断并证明四边形ABCD的形状；
②求AC与BD的交点E的坐标.
变式：已知△ABC中，A(7,8)， B(3,5)，C(4,3)，M、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F，求.21教育网
平面向量的坐标运算
【学习目标】1.正确理解平面向量的坐标概念2.掌握平面向量的坐标运算
3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【重难点】学习重点: 平面向理的坐标运算
学习难点: 平面向理坐标表示的理解
【预习案】看书P76-P77弄懂下列概念，完成5--8题
1、前面以平面向量研究从“形”的层面借助于有向线段表示, 能否从“数”的层面研究?
具体怎么研究，小组可以讨论得出结论：
2、平面直角坐标系中点与有序实数对如何一一对应的?
3、平面向量的坐标表示：
4、平面向量的坐标运算：
5、已知 ，则等于 ；
6、已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y的值为 ；
7、已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标为 ；
8、若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），则a等于 ；
9、设向量 ，且点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为 ；
【探究案】
探究一：求向量的坐标
●如图, 已知O是坐标原点, 点A在第一象限, ||=4, ∠xOA=60°, 则向量的坐标为 .21世纪教育网版权所有
变式：已知O为原点，A(－1 , 3) , B(1 , －3) , C(4 , 1) , D(3 , 4) ,
向量= ； = ,；= ；= ；
探究二：向量的坐标运算
●已知点O、A、B、C的坐标分别为(0 , 0) , (3 , 4) , (－1 , 2) , (1 , 1)，是否存在常数t , 使+t=成立? 21教育网
变式：已知(3 , 4) , (－1 , 2) , (1 , 1)，用的形式表示
探究三：
●已知P1(x1 , y1), P2(x2 , y2) , P是直线P1P2上一点, 且, 求P点坐标 .
变式：已知A(-1,2),B(3,4),点C在线段AB的反向延长线上，且满足AC=3AB,求点C
的坐标。
平面向量的基本定理
【学习目标】1.了解平面向量基本定理及其意义；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量
解决问题的重要思想方法；
3.够在具体问题中适当地选取基底，并会用给定的基底表示指定的向量.
【重难点】平面向量基本定理理解与应用
【预习案】看书P74-P75，弄懂下列概念，完成第6题
1、平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M , , , 试用,表示下列向量= ,；= ； = ；= ；.21世纪教育网版权所有
2、平面内任一向量是否可以用两个不共线向量来表示呢?请写出所得到的结论：
（平面向量基本定理的内容）
3、基底： ；
4、正交分解：
；
●思考: 平面向量基本定理与向量共线定理在内容和表述形式上有什么区别和联系.：
区别是： ；
联系： ；
5、设,上两个不共线向量,已知, , ，若A、B、D三点共线, 则k的值.为 ；21教育网
【探究案】
探究一：运用一组基底表示相关向量
.设, 是两个不共线向量, =+ , =3－3，向量, 是否能作为一
组基底?证明你的结论。
变式：设, 是两个不共线向量, =+ , =3－3，，请用向量, 表示向量。21·cn·jy·com
探究二：三点共线的证明及求解
设,上两个不共线向量, 已知, ,若三点A、B、C共线, 求k的值.
变式：设,上两个不共线向量, 已知, ,，若三点A、B、D共线, 则k的值为 ；21cnjy.com
探究三：在特殊图形中使用向量定理
●已知点G是△ABC重心, 求证: .
变式：; （2）;（3）.
向量的数量积（1）
【学习目标】：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用
【重难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【预习案】看书P83-P84弄懂下列概念，完成第5题
1、通过P76实例: 物理学中的“功”引入，F所做的功W为 ；
2、向量的夹角： ；
3、平面向量的数量积定义：
；
4、数量积的运算律: 设、、为向量, λ为实数, 则:
①·=· ②(λ)·=· (λ)=λ(·)=λ· ③(+)·=·+· 思考: 向量的数量积满足结合律吗?答： ；
5、完成下列题目，已知两个非零向量与的夹角，
当=0°时，向量与方向___________，____________;
当=180°时，向量与方向___________，____________;
当=90°时，向量与方向___________，____________;
【探究案】探究一：根据向量数量积定义求值
1.已知向量与向量的夹角为θ, ||=2 , ||=3 , 分别在下列条件下求·.
(1) θ=135° (2) // (3) ⊥
探究二：向量数量积的简单运用
1. 已知向量与向量的夹角为θ, ||=2 , ||=3，且·=3，则向量与向量的夹角为 ；21世纪教育网版权所有
2．已知||=6 , ||=4, 与的夹角为120°,求
（1）. (+2)·(－3)； （2）
课堂小结：
向量的数量积（2）
【学习目标】：1.掌握平面向量数量积的运算律
2.会用两向量的数量积解决向量的垂直、长度、角度问题.
【重难点】向量的数量积及其运算律在解决长度、角度、垂直等有关问题上的应用.
【预习案】基础知识填空后完成5，6两题
1、向量的夹角： ；
2、平面向量的数量积
(1)定义： ；
(2)几何意义： ；
3、运算律： ；
4、向量数量积的重要性质：
；
5、已知: ||=2 , ||=4 , 与的夹角为1200 , 则_________；
6、已知||=4 , ||=1 , (－2)·(+3)=12, 则与的夹角θ=_________；
【探究案】
探究一：求向量的模
1．已知向量和的夹角是,||=2 , ||=1, 则(+)2=_____ , |+|=_____；
2．已知: ||=2 , ||=5 , ·=－3 , 则|+|=__________ , |－|=_________.；
变式：（1）.平面向量与b的夹角为，， 则
（2）．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
探究二：求向量的夹角
已知||=6 , ||=4 , (+2)·(－3)=－72 , 求与的夹角θ.
变式：若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(+2)·(－3)=－72 ,， 则向量a
的模是________．
探究三：向量垂直的相关问题
1．若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．
2．已知||=3 , ||=4, (且与不共线), 当且仅当k为何值时, 向量+k与－k互相垂直?21世纪教育网版权所有
向量的应用
【学习目标】：1. 掌握平面向量数量积的坐标表示
2. 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件
【重难点】平面向量数量积的坐标表示的综合运用（解决长度、角度、垂直等问题）..
【预习案】
1．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E是线段AB的三等分点（靠近A），则=________．21·cn·jy·com
2．在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足＝2，则·＝________.
【探究案】
探究一：特殊图形中的向量数量积
1．在直角三角形ABC中，∠C＝， AC＝3，取点D使＝2，那么·＝________.
变式：在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝________.
2在边长为1的正三角形ABC中, 设则__________________．
探究二：向量的线性运算与向量数量积运算
1．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．21世纪教育网版权所有
2．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值。
探究三：向量数量积的简单应用
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．21教育网
2．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E是线段AB上的动点，则的取值范围是： 21cnjy.com
3、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.
探究四：运用向量证明
1．已知:，求证：
2．向量满足条件且，求证：是正三角形。
