专题1.1变化率与导数-同步巩固2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）
文档属性
| 名称 | 专题1.1变化率与导数-同步巩固2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 819.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-01-04 19:59:32 | ||
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文档简介
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1．平均变化率
设函数，我们把式子___________称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的___________．
注意：是一个整体符号，而不是与相乘．
2．瞬时速度
物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，___________无限趋近的常数．
3．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作___________，即．
注意：不可以是0．
4．导数的几何意义
函数在处的导数，就是曲线在处的切线的___________，即．
5．导函数
对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，___________便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作___________，即．
注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．
K知识参考答案：
1． 斜率 2． 3．或 4．斜率 5．
K—重点
平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数
K—难点
导数的几何意义
K—易错
（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；
（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”
求平均变化率
求函数从到的平均变化率的三个步骤：
（1）求出或者设出自变量的改变量：；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；
（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．
求函数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？
【答案】在附近的平均变化率最大．
【解析】在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为．
若，则，，，
由于，所以在附近的平均变化率最大．
【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．
求函数在某点处的导数
（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．
②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．
（1）求函数在处的导数；
（2）有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度．
【答案】（1）函数在处的导数为；（2）此物体在时的瞬时速度为．
【解析】（1）∵，
∴．
由，得．
【名师点睛】（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．
（2）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度．如果物体的运动方程是，那么函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度．
求曲线的切线
（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．
（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
已知曲线．
（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由得，解得，．
从而求得公共点为，．
即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．同时应注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．
忽略增量的一致性而致错
设函数在处可导，则
A． B． C． D．
【错解】，故选A．
【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致．
【正解】函数在处可导，所以，所以．故选B．
【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错
求过点，且与曲线相切的直线方程．
【错解】因为，
所以，则切线方程为，即．
【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错．
【正解】点不在曲线上，设切点坐标为．
因为，所以切线斜率为．
又，所以或．
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．
1．已知函数，那么下列说法错误的是
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在到之间的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
2．设，则曲线在点处的切线
A．不存在 B．与轴平行或重合
C．与轴垂直 D．与轴相交但不垂直
3．设函数在处可导，则
A． B．
C． D．
4．若曲线在点处的切线方程为，则
A． B．
C． D．不确定
5．在曲线的图象上取一点及附近一点，则
A． B．
C． D．
6．若，则
A． B．
C． D．
7．已知的图象如图所示，则与的大小关系是
A． B．
C． D．与大小不能确定
8．已知曲线上一点，则点处的切线斜率等于
A． B．
C． D．
9．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
10．质点运动规律为，则从到时间段内运动距离对时间的变化率为______________．
11．已知函数，则在区间上的平均变化率为______________．
12．已知函数的图象在点处的切线方程为，则____________．
13．求函数在处的导数．
14．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度等于，枪弹从枪口射出时所用时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度（位移公式：）．
15．求双曲线在点处的切线的斜率，并求出切线方程．
16．已知曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B．
C． D．
17．若函数在内可导，且，若=4，则
A． B．
C． D．
18．已知是可导函数，且，则
A． B．
C． D．
19．曲线在点处的切线的倾斜角为
A． B．
C． D．
20．若，则
A． B．
C． D．
21．已知函数在处可导，为常数，则
A． B．
C． D．
22．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
A． B．或
C．或 D．以上均不对
23．若，则______________．
24．设曲线在其上一点处的切线斜率为，则点的坐标为______________．
25．已知，则______________．
26．已知曲线上一点，求点处的切线的斜率及切线方程．
27．某一运动物体，在(单位：)时离出发点的距离(单位：)是．
（1）求在第内的平均速度；
（2）求在末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到?
28．已知在曲线上过点的切线为．
（1）若切线平行于直线，求点的坐标；
（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；
（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．
29．（2015新课标全国I）已知函数的图象在点处的切线过点，则______________．
30．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为______________．
1．【答案】C
【解析】由导数的定义可知C错误．故选C．
2．【答案】B
【解析】曲线在点处的切线斜率为，切线与轴平行或重合．故选B．
4．【答案】B
【解析】由，得，由导数的几何意义知，．故选B．
5．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
6．【答案】A
【解析】根据导数的定义可知，
所以．故选A．
7．【答案】A
【解析】由的图象可知，，根据导数的几何意义有．故选A．
8．【答案】D
【解析】因为，所以
，所以，所以点处的切线斜率为．故选D．
9．【答案】B
【解析】由题可得，所以，所以，所以切线的斜率，故所求切线方程为，即．故选B．
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】2【解析】由平均变化率的定义得．
12．【答案】
【解析】由导数的几何意义可知，又，所以．
14．【答案】．
【解析】由题可得，
所以，所以，
因为，，所以．
故枪弹射出枪口时的瞬时速度为．
15．【答案】切线的斜率为，切线的方程为．
【解析】因为，所以．
当时，，所以切线的斜率．切线的方程为，即．
16．【答案】A
【解析】因为，
所以，即．故选A．
18．【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
19．【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以曲线在点处切线的斜率是，
故该切线的倾斜角为．故选B．
20．【答案】D
【解析】由题可得
，
所以，所以．故选D．
21．【答案】B
【解析】．故选B．
22．【答案】C
【解析】由题可得，点在曲线上，所以切线的斜率，故切线方程为，即，设，由题意可得，解得或，故选C．
23．【答案】
【解析】因为，所以．
24．【答案】
【解析】由导数的定义可得，设，则，
解得，所以，故点的坐标为．
26．【答案】切线斜率为，切线方程为．
【解析】由题可得
，
所以，故点处的切线的斜率为．
所以点处的切线方程为，即．
27．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）物体在第内的平均变化率(即平均速度)为．
（2）．
当时，，所以物体在末的瞬时速度为．
（3）
．当时，，令，解得，
即经过，该物体的运动速度达到．
28．【答案】（1）；（2）；（3）．
（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．
29．【答案】1
【解析】因为
，所以，即曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，解得．
30．【答案】
【解析】因为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即．
1.1 变化率与导数
1．平均变化率
设函数，我们把式子___________称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的___________．
注意：是一个整体符号，而不是与相乘．
2．瞬时速度
物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体的运动规律为，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，___________无限趋近的常数．
3．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作___________，即．
注意：不可以是0．
4．导数的几何意义
函数在处的导数，就是曲线在处的切线的___________，即．
5．导函数
对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，___________便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作___________，即．
注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．
K知识参考答案：
1． 斜率 2． 3．或 4．斜率 5．
K—重点
平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数
K—难点
导数的几何意义
K—易错
（1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；
（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”
求平均变化率
求函数从到的平均变化率的三个步骤：
（1）求出或者设出自变量的改变量：；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；
（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．
求函数在附近的平均变化率，取都为，在哪一点附近的平均变化率最大？
【答案】在附近的平均变化率最大．
【解析】在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为；
在附近的平均变化率为．
若，则，，，
由于，所以在附近的平均变化率最大．
【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．
求函数在某点处的导数
（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．
②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．
（1）求函数在处的导数；
（2）有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是，求此物体在时的瞬时速度．
【答案】（1）函数在处的导数为；（2）此物体在时的瞬时速度为．
【解析】（1）∵，
∴．
由，得．
【名师点睛】（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．
（2）求瞬时速度应先求平均速度，再用公式求得瞬时速度．如果物体的运动方程是，那么函数在处的导数就是物体在时的瞬时速度．
求曲线的切线
（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．
（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
已知曲线．
（1）求曲线上横坐标为2的点处的切线方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】（1）；（2）切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由得，解得，．
从而求得公共点为，．
即切线与曲线C的公共点除切点外，还有其他的公共点．
【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解．同时应注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．
忽略增量的一致性而致错
设函数在处可导，则
A． B． C． D．
【错解】，故选A．
【错因分析】本题分子中的增量是，而分母中的增量是，两者的增量不一致．
【正解】函数在处可导，所以，所以．故选B．
【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”而致错
求过点，且与曲线相切的直线方程．
【错解】因为，
所以，则切线方程为，即．
【错因分析】点不在曲线上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错．
【正解】点不在曲线上，设切点坐标为．
因为，所以切线斜率为．
又，所以或．
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即；
当时，切线斜率为，则过点的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．
【名师点睛】求关于曲线的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．
1．已知函数，那么下列说法错误的是
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在到之间的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
2．设，则曲线在点处的切线
A．不存在 B．与轴平行或重合
C．与轴垂直 D．与轴相交但不垂直
3．设函数在处可导，则
A． B．
C． D．
4．若曲线在点处的切线方程为，则
A． B．
C． D．不确定
5．在曲线的图象上取一点及附近一点，则
A． B．
C． D．
6．若，则
A． B．
C． D．
7．已知的图象如图所示，则与的大小关系是
A． B．
C． D．与大小不能确定
8．已知曲线上一点，则点处的切线斜率等于
A． B．
C． D．
9．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
10．质点运动规律为，则从到时间段内运动距离对时间的变化率为______________．
11．已知函数，则在区间上的平均变化率为______________．
12．已知函数的图象在点处的切线方程为，则____________．
13．求函数在处的导数．
14．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度等于，枪弹从枪口射出时所用时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度（位移公式：）．
15．求双曲线在点处的切线的斜率，并求出切线方程．
16．已知曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B．
C． D．
17．若函数在内可导，且，若=4，则
A． B．
C． D．
18．已知是可导函数，且，则
A． B．
C． D．
19．曲线在点处的切线的倾斜角为
A． B．
C． D．
20．若，则
A． B．
C． D．
21．已知函数在处可导，为常数，则
A． B．
C． D．
22．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
A． B．或
C．或 D．以上均不对
23．若，则______________．
24．设曲线在其上一点处的切线斜率为，则点的坐标为______________．
25．已知，则______________．
26．已知曲线上一点，求点处的切线的斜率及切线方程．
27．某一运动物体，在(单位：)时离出发点的距离(单位：)是．
（1）求在第内的平均速度；
（2）求在末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到?
28．已知在曲线上过点的切线为．
（1）若切线平行于直线，求点的坐标；
（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；
（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．
29．（2015新课标全国I）已知函数的图象在点处的切线过点，则______________．
30．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为______________．
1．【答案】C
【解析】由导数的定义可知C错误．故选C．
2．【答案】B
【解析】曲线在点处的切线斜率为，切线与轴平行或重合．故选B．
4．【答案】B
【解析】由，得，由导数的几何意义知，．故选B．
5．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
6．【答案】A
【解析】根据导数的定义可知，
所以．故选A．
7．【答案】A
【解析】由的图象可知，，根据导数的几何意义有．故选A．
8．【答案】D
【解析】因为，所以
，所以，所以点处的切线斜率为．故选D．
9．【答案】B
【解析】由题可得，所以，所以，所以切线的斜率，故所求切线方程为，即．故选B．
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】2【解析】由平均变化率的定义得．
12．【答案】
【解析】由导数的几何意义可知，又，所以．
14．【答案】．
【解析】由题可得，
所以，所以，
因为，，所以．
故枪弹射出枪口时的瞬时速度为．
15．【答案】切线的斜率为，切线的方程为．
【解析】因为，所以．
当时，，所以切线的斜率．切线的方程为，即．
16．【答案】A
【解析】因为，
所以，即．故选A．
18．【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
19．【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以曲线在点处切线的斜率是，
故该切线的倾斜角为．故选B．
20．【答案】D
【解析】由题可得
，
所以，所以．故选D．
21．【答案】B
【解析】．故选B．
22．【答案】C
【解析】由题可得，点在曲线上，所以切线的斜率，故切线方程为，即，设，由题意可得，解得或，故选C．
23．【答案】
【解析】因为，所以．
24．【答案】
【解析】由导数的定义可得，设，则，
解得，所以，故点的坐标为．
26．【答案】切线斜率为，切线方程为．
【解析】由题可得
，
所以，故点处的切线的斜率为．
所以点处的切线方程为，即．
27．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）物体在第内的平均变化率(即平均速度)为．
（2）．
当时，，所以物体在末的瞬时速度为．
（3）
．当时，，令，解得，
即经过，该物体的运动速度达到．
28．【答案】（1）；（2）；（3）．
（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．
29．【答案】1
【解析】因为
，所以，即曲线在点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，解得．
30．【答案】
【解析】因为，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即．