(共33张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质（1）
湘教版 九年级下
导入新知
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax +bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)
2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。
一条直线．
列表、描点、连线
二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？
新知讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
画二次函数y=x2的图象．
（1）列表：
9
4
1
0
4
1
9
列表之前要考虑自变量取值范围，自变量的选值要注意对称性．由解析式可以看出x可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x的值．
y的值是非负数，自变量的取值互为相反数时，两函数值相等．
新知讲解
（3）连线：光滑的曲线顺次连接
（2）描点：以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点
新知讲解
点 A 与点 A′，点 B 与点 B′， …，它们有什么关系？
关于轴对称
由此你能作出什么猜想
y=x2的图象关于轴对称
新知讲解
观察图像，你还得到了二次函数y=x2 的什么特点？
当x>0 (在对称轴的
右侧)时，y随着x的
增大而增大．简称为
“右升”．
当x<0 (在对称轴的
左侧)时，y随着x的
增大而减小．简称
为“左降”．
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外)，顶点
是它的最低点，开口
向上，并且向上无限
伸展；当x=0时，函数y
的值最小，最小值是0．
新知讲解
对称轴与图象的交点是___________；
图象的开口向_________；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；
当x=_______时，函数值最_____．
（0，0）
上
减小
0
小
我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？
新知讲解
一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2 （a>0）的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．
新知讲解
例 1 画二次函数 的图象．
列表
0
2
新知讲解
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分．
新知讲解
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了 的图象．
新知讲解
探究：我们已经会画 的图象， 能不能从它得出二次函数 的图象呢？
分析：把 的图象沿着x轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到 的图象.
新知讲解
画二次函数 的图象．
列表
0
-2
新知讲解
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分．利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来．
新知讲解
在 的图象上任取一点 ，它关于x轴的对称点Q的坐标是 ．如图所示，从点Q的坐标看出，点Q在
的图象上．由此可知， 的图象与 的图象关于x轴对称．因此只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到 的图象．如图的绿色曲线．
新知讲解
观察图象，归纳与总结：
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而_____，在对称轴的右侧，y随x的增大而_____．当a<0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．
y轴
(0，0)
上
低
减小
增大
下
高
增大
减小
新知讲解
例2 画二次函数 的图象．
解 列表：自变量x从原点的横坐标0开始取值．
0
-1
-4
新知讲解
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分．利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来．
新知讲解
观察函数 和 图象的开口大小，你能得出什么结论？
a 要越大，抛物线的开口越小．
新知讲解
观察函数 和 图象的开口大小，你又能得出什么结论？
|a |要越大，抛物线的开口越小．
新知讲解
在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=x2的图象相像吗？
新知讲解
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2（a<0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2．
新知讲解
一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y=ax2的顶点．
巩固提升
（1）y=3x2图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 ；
（2） y=-4x2图象的对称轴是 ， 顶点是 ，图象的开口向 .
y轴
(0,0)
上
1、直接运用性质填空：
(0，0)
下
y轴
巩固提升
2、如图所示，已知二次函数y=ax2的图象经过点A．
（1）求a的值；
（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．
解：（1）将点A（2，3）的坐标代入y=ax2得3=a·22，解得 ；
巩固提升
（2）由（1）知抛物线对应的函数表达式为 ，
把点（-4，12）的坐标代入得，左边=12，
右边= ．
∵左边=右边，
∴点（-4，12）在此函数的图象上．
巩固提升
3、已知函数y=mxm2-2m-1的图象是开口向下的抛物线．
（1）求m的值；
（2）当x=3时，函数值是多少？当y=-6时，求x的值；
（3）试说明当x<3时，函数值的变化情况，并求当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？
巩固提升
解：（1）∵函数y=mxm2-2m-1的图象是开口向上的抛物线，
∴m2-2m-1=2，解得m1=3（舍去），m2=-1；
（2）由（1）可知此二次函数为y=-x2，
（3）当x<0时，y随x的增大而增大，x=0时函数有最大值，最大值是0.
当x=3时，y=-32=-9，
当y=-6时，-6=-x2，解得 ；
巩固提升
4、底面是边长为x（cm）的正方形，高为0.5 cm的长方体的体积为y（cm3）．
（1）求y关于x的函数关系式，并画出函数图象；
（2）根据图象求出y=8 cm3时，底面边长x的值；
（3）根据图象，求出x为何值时，y≥4.5 cm3．
巩固提升
解：（1） （x>0），图象如图所示：
（2）当y=8时， ，解得x1=4，x2=-4（舍去）；
（3）当x≥3时，y≥4.5．
课堂小结
y=ax2（a≠0） a>0 a<0
图 象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
极值
向上
向下
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
当x<0时，y随着x的增大而减小，当x>0时y随着x的增大而增大．
当x<0时，y随着x的增大而增大，当x>0时y随着x的增大而减小．
抛物线y=ax2（a≠0）的形状是由|a|来确定的，一般来说|a|越大，抛物线的开口就越小，|a|越小，抛物线的开口就越大．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站
有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/i 21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计
课题 二次函数的图象与性质(一) 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.
难点 用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习导入 师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？ 学生回顾． 通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．
讲授新课 一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接点 A 与点 A′，点 B 与点 B′， …，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想 从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2 （a>0）的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数的图象．二、探究二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质探究：我们已经会画的图象， 能不能从它得出二次函数的图象呢？分析：把的图象沿着x轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到的图象.画二次函数的图象．在的图象上任取一点，它关于x轴的对称点Q的坐标是．如图所示，从点Q的坐标看出，点Q在的图象上．由此可知，的图象与 的图象关于x轴对称．因此只要把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而_____，在对称轴的右侧，y随x的增大而_____．当a<0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．例2 画二次函数的图象．观察函数和图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数和图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=x2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2（a<0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2． 一般地，二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y=ax2的顶点． 学生填表．在教师的引导下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质．通过实际问题理解抛物线的概念． 启发学生观察表达式的特点． 通过学生思考和交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验． 培养学生画图能力．体会二次函数y=ax2(a＜0）的图象和性质．掌握y=ax2(a＜0）的图象和性质．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．
巩固练习 1、直接运用性质填空：(1)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 ； (2) 图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y=ax2的图象经过点A．（1）求a的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数的图象是开口向下的抛物线．（1）求m的值；（2）当x=3时，函数值是多少？当y=-6时，求x的值；（3）试说明当x<3时，函数值的变化情况，并求当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？4、底面是边长为x（cm）的正方形，高为0.5 cm的长方体的体积为y（cm3）．（1）求y关于x的函数关系式，并画出函数图象；（2）根据图象求出y=8 cm3时，底面边长x的值； （3）根据图象，求出x为何值时，y≥4.5 cm3． 学生独立完成并展示． 巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．
课堂小结 学生自主交流、归纳、总结． 培养学生的归纳、总结能力．
板书 1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：（2）描点： （3）连线：
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
