勾股定理
第1课时
教学目标
1．了解勾股定理的简要历史，体验勾股定理的探索过程．
2．会用不同的方法来验证勾股定理，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力．
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能应用勾股定理解决一些实际问题，加强合作学习.
教学重点难点
勾股定理的内容及证明． 勾股定理的证明．
教学过程
一、导入新课
师：我们知道勾股定理有着悠久的历史，它的发现、验证的过程蕴涵了丰富的文化价值，你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？21教育网
二、新课教学
师：同学们刚才谈了这么多关于勾股定理的故事，其实勾股定理的验证方法比它相关的故事还丰富，下面请同学们来当一回小老师，根据你们所找到的资料，并结合自己的理解，谈谈验证勾股定理的思路．www.21-cn-jy.com
生1：利用4个完全相同的直角三角形拼成如右图所示的正方形，大正方形的面积可以表示为．
大正方形还可以看成4个直角三角形的面积和内部小正方形的面积之和，表示为．
比较两种表示方法，可以得到＝，
化简得：．
生2：4个直角三角形还有另外一种拼法：以斜边为边长的正方形的面积加上四个三角形的面积就等于外正方形的面积，如右图．21cnjy.com
生3：古代数学家赵爽提供了的弦图证明，他也是通过大正方形面积的不同表示推得的．
生4：美国总统加菲尔德在1876年只用了两块相同的直角三角形便完成了它的证明.（如下图）
设计目的：通过学生的交流活动，主要是了解前人证明勾股定理的一些思路和方法.学生从书籍资料中获得了一定的思想，从而为下面操作活动的展开产生积极的作用.2·1·c·n·j·y
三、拓展练习
根据学生的展示，教师可以适当补充利用四个直角三角形来拼出弦图，或利用五巧板来构造“青朱出入图”的活动操作以及画家达·芬奇的研究结果来丰富学生的想象．
四人小组，小组内每人提供一个直角三角板（完全相同），利用四个三角板围成一个大正方形，并尝试证明勾股定理．【来源：21·世纪·教育·网】
四、课后练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a、b、c是△ABC的三边，则
（1）c＝ .（已知a、b，求c） （2）a＝ .（已知b、c，求a）21·cn·jy·com
（3）b＝ .（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a＝19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来.21·世纪*教育网
3、4、5
32＋42＝52
5、12、13
52+＋122＝132
7、24、25
72＋242＝252
9、40、41
92＋402＝412
……
……
19、b、c
192＋b2＝c2
3．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直.21世纪教育网版权所有
2． ；则b＝，c＝；当a＝19时，b＝180，c＝181. 3．5秒或10秒
五、布置作业： 习题17.1第1、2题．
教学反思
勾股定理
第2课时
教学目标
1．会用勾股定理进行简单的计算.
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想.
教学重点难点
勾股定理的简单计算. 勾股定理的灵活运用.
教学过程
一、导入新课
复习勾股定理的文字叙述、符号语言，然后导入新课的教学．
二、新课教学
例1 一个门框的尺寸如下图所示，一块长3m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度．求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
AC2＝≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．
例2 如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少？
分析：这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是两条直角边还是一直角边一斜边，因此要分两种情况讨论．
解：这道题可分以下两种情况：
（1）当两条直角边是6cm和8cm时，根据勾股定理，
斜边长＝＝10(cm)．
所以，三角形的周长＝6＋8＋10＝24(cm)； 面积＝×6×8＝24(cm2)．
（2）当斜边为8cm，一直角边为6cm(斜边大于直角边)时，根据勾股定理，
另一直角边长＝＝2(cm)
所以，三角形的周长＝6＋8＋2＝14＋2(cm)； 面积＝×2×6＝6(cm2)．?
例3 如下图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长？21世纪教育网版权所有
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的A1B、A2B，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．21教育网
解：如图，当搅拌棒在AB位置时最长，过B画底面直径BC，则在Rt△ABC中，
AC＝15cm，BC＝4×2＝8cm
根据勾股定理得
所以可放的最长搅拌棒为17cm．
三、课堂练习
1. 在Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）已知a＝b＝5，求c； （2）已知a＝1，c＝2，求b；
（3）已知c＝17，b＝8，求a； （4）已知a:b＝1:2，c＝5， 求a； （5）已知b＝15，∠A＝30°，求a，c．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．
（1）是已知两直角边，求斜边．可直接用勾股定理求出．
（2）（3）是已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形即可求出．
（4）（5）是已知一边和两边比，求未知边．
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．21cnjy.com
2 已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中较大边是12，12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算，让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．21·cn·jy·com
参考答案：1.（1）5；（2）；（3）15；（4）；（5）a＝5，c＝10．
2.（1）12是直角边时，第三边为13；（2）12是斜边时，第三边为．
四、布置作业： 习题17.1第3、7、8题．
教学反思
勾股定理
第3课时
教学目标
1．会用勾股定理解决简单的实际问题.
2．树立数形结合的思想.
教学重点难点
勾股定理的应用. 实际问题向数学问题的转化.
一、导入新课
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用，勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题．21世纪教育网版权所有
二、新课教学
例1 已知直角三角形的一直角边为9，另两边的长为整数，求三角形的周长．
分析：根据勾股定理，知道直角三角形一直角边可以得出斜边和另一直角边之间的关系，再由这两边的长为整数可以推出两边的长，当然这里不需要分别求出，只要求出另两边的和就可以了．
解：设斜边为c，另一直角边为a，由勾股定理得c2－a2＝92．
即(c＋a)(c－a)＝81．
又因为c、a为正整数，所以c＋a，c－a也是正整数，且c＋a＞c－a.
因为81＝81×l＝27×3 所以c＋a＝81或c＋a＝27(c－a＝1或c－a＝3)
所以a＋b＋c＝81＋9＝90或27＋9＝36． 即三角形的周长为90或36．
例2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了lm，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．21·cn·jy·com
分析：由题意可知绳子比旗杆多lm，把下端拉开5m后，下端刚好接触地面，这时，旗杆AB、绳子AC、旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形．如图3如果设旗杆AB＝m，则绳长AC＝(x＋1)m.www.21-cn-jy.com
解：设旗杆高为xm，则绳子长(x＋1)m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根据勾股定理得【来源：21·世纪·教育·网】
AC2＝AB2＋BC2，
即
(x＋1)2＝x2＋52
x＝12m．
所以旗杆的高度为12m．
三、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米.21教育网
2．有一个边长为1米正方形的洞口，用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米.2·1·c·n·j·y
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 .21·世纪*教育网
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC＝80公里，BC＝60公里，则改建后可省工程费用是多少？21cnjy.com
参考答案： 1．；2．； 3．18米； 4．11600．
四、布置作业
习题17.1第5、9题．
教学反思：
勾股定理
第4课时
教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题.
2．树立数形结合的思想.
教学重点难点
勾股定理的综合应用. 勾股定理的综合应用.
教学过程
一、导入新课
教师复习上节课内容（两道例题），导入新课的教学．
二、新课教学
思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？21·cn·jy·com
教师引导学生先画出图形，再写出已知条件，然后证明．
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt △ABC和Rt △A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得
BC＝，B′C′＝．
又 AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴ BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′ （SSS）．
探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
此为在数轴上画出表示的点，教师可分以下四步引导学生：
（1）将在数轴上画出表示的点问题转化为画出长为的线段的问题；
（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边；21世纪教育网版权所有
（3）通过尝试我们发现，长为的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边；
（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
在此基础上，结合教材第27页图17.1-11和图17.1-12指出：利用勾股定理，可以作出长为（n是整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n是整数）的点．www.21-cn-jy.com
三、实例探究
例 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥BC于D，∠A＝60°，CD＝，求线段AB的长.
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2－BD2＝AC2－AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．
要求学生能够自己画图，并正确标图．
欲求AB，可由AB＝BD＋CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD＝3和AD＝1．或欲求AB，可由AB＝，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC＝2和BC＝6.
四、课堂练习
1．△ABC中，AB＝AC＝25cm，高AD＝20cm，则BC＝ ，S△ABC＝ ．
2．△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，AC＝cm，则∠A＝ 度，∠B＝ 度，∠C＝ 度，BC＝ ，S△ABC＝ ．21教育网
3．△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝，CD⊥AB于D，则AC＝ ，CD＝ ，BD＝ ，AD＝ ，S△ABC＝ ．21cnjy.com
4．在数轴上画出表示－，的点．
参考答案：1．30cm，300cm2；
2．90，60，30，4，；
3．2，，3，1，；
4．略.
五、布置作业
习题17.1第6、13题．
教学反思：
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时
教学目标
1. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理．
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法．
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．
教学重点
掌握勾股定理的逆定理及证明．
教学难点
勾股定理的逆定理的证明．
教学过程
一、导入新课
教师：我们学习了勾股定理，那么谁能说说勾股定理？
学生：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
教师：说的很好．反过来，如果一个三角形具有a2＋b2＝c2的数量关系，能否确定这个三角形就是直角三角形呢？21世纪教育网版权所有
学生思考、讨论．
二、教学过程
教师：古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这说明了什么？
学生：这说明如果一个三角形具有a2＋b2＝c2的数量关系，就可以确定这个三角形就是直角三角形．
教师：说的很对．相传，我国古代大禹治水测量工程时，也是用类似的方法来确定的．现在我们测量一下教材中的三角形的度数，并计算三边长的关系．21cnjy.com
师生活动：教师指导学生测量三角形，然后计算三边的数量关系．
教师：同学们测量好了吗？
学生：好了．
教师：结果怎么样？
学生：是直角三角形，符合a2＋b2＝c2的数量关系．
教师：如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52＋62＝6.52”，这个三角形是直角三角形吗？试试看！换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5cm，再试一试．
学生按照要求画出三角形，然后计算三边的数量关系，最后度量三角形最大角的度数发现做大角是90°．
教师：同学们画的很好，通过检测，我们可以得出以下结论：
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
教师：这个命题就上勾股定理的逆定理，那么怎样证明它呢？要证明一个命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证，然后再证明．21·cn·jy·com
证明过程见教案A．
学生：老师，原命题成立时，它的逆命题都成立吗？
教师：一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如本章中的命题 1 成立，它的逆命题命题 2 也成立；命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立．www.21-cn-jy.com
三、实例探究
例 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝15，b＝8，c＝17；
（2）a＝13，b＝14，c＝15．
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．2·1·c·n·j·y
解：（1）因为152＋82＝225＋64＝289，
172＝289，
所以152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
（2）因为132＋142＝169＋196＝365，
152＝225，
所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形.
四、课堂练习
1. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15
2.在△ABC中，D是BC上一点，若BC＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积是（ ）
A.30 B.42 C.84 D.10021教育网
参考答案：1.C 2.C
五、布置作业
教材第33页练习第1、2题．
教学反思
勾股定理的逆定理
第2课时
教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形．
2．灵活应用勾股定理及逆定理解决问题．
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识．
教学重点
利用勾股定理及逆定理解决问题．
教学难点
利用勾股定理及逆定理解决问题．
教学过程
一、导入新课
教师检查上节课布置的作业，巩固勾股定理及其逆定理．导入新课的教学．
二、新课教学
例1如果一个三角形的三边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m＞n)，则这三角形是直角三角形．21教育网
分析：验证a，b，c三边是否符合勾股定量的逆定理．
证明：∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2．
∴ a2＋b2＝c2．
∴ ∠C＝90°．
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．21cnjy.com
例2 如下图，已知：CD⊥AB于D，且有AC2＝AD·AB．
求证：△ACB为直角三角形．
分析：根据勾股定理的逆定理，只需证明AC2＋BC2＝AB2即可．
证明：∵CD⊥AB，
∴CD2＝AC2－AD2＝AD·AB－AD2＝AD·BD．
又∵BC2＝CD2＋BD2＝AD·BD＋BD2＝BD·AB．
∴AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝AB2．
∴△ABC为直角三角形．
说明：充分利用勾股定理及其逆定理．
三、课堂练习
1. 若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是______三角形.
2. 若一个三角形的三边长分别为m＋1，m＋2，m＋3，，当m 为_____时，此三角形是直角三角形. 21世纪教育网版权所有
3. 若一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么△ABC是 三角形.
4. 已知：在△ABC中，AB＝25cm，BC＝48cm，BC边上的中线AD＝7cm. 求证：△ABC是等腰三角形. 21·cn·jy·com
参考答案：1.直角 2. 2 3.直角
4. 解：∵AD为中线，∴BD＝CD＝24cm，，则在△ABD中有，AB2＝BD2＋AD2，∴AD⊥BC，∵AD既为中线又为高，∴△ABC是等腰三角形. www.21-cn-jy.com
四、布置作业
习题17.2第4题．
教学反思：
勾股定理及逆定理
第3课时
教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识．
教学重点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
教学难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
教学过程
一、导入新课
复习勾股定理及其逆定理，并指出勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目，从而导入新课的教学．21世纪教育网版权所有
二、新课教学
例1 如下图，某港口P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？21教育网
分析：在上图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．21cnjy.com
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，
QR＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
例2 如下图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.
分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形.
证明：∵AC2＝AD2+CD2，BC2＝CD2+BD2，
∴AC2+BC2＝AD2+2CD2+BD2
＝AD2+2AD·BD+BD2
＝(AD+BD)2＝AB2
三、课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是（ ）．
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
2. 若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的面积．
3. 在△ABC中，AB＝13cm，AC＝24cm，中线BD＝5cm．求证：△ABC是等腰三角形．
参考答案：1. C 2. 6
3.提示：因为AD2+BD2＝AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB＝BC.
四、布置作业
习题17.2第5题．
教学反思：
