18. 2 特殊的平行四边形
第1课时
教学目标
1. 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3. 渗透运动联系、从量变到质变的观点．
教学重点难点
矩形的性质． 矩形的性质的灵活应用．
教学过程
一、导入新课
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形， 堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．21世纪教育网版权所有
二、新课教学
1. 矩形
教师向学生展示下列图形，引导学生知道矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象． 21教育网
活动：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形．
如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．21cnjy.com
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？21·cn·jy·com
2. 矩形的性质
既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形性质定理2：矩形的对角线相等．
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
思考 ：如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？www.21-cn-jy.com
根据矩形的性质，我们知道，BO＝BD＝AC. 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2·1·c·n·j·y
（这实际上是△的一个重要性质，即△斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到）【来源：21·世纪·教育·网】
例 如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形对角线的长．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA＝OB．
又 ∠AOB＝60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ OA＝AB＝4．
∴ AC＝BD＝2OA＝8．
注意：教师要强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算．
三、课堂练习
教材第53页练习1、2、3．
四、布置作业
习题18.2第1题．
教学反思：
特殊的平行四边形
第2课时
教学内容
矩形．
教学目标
1. 掌握矩形的判定定理．
2. 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
教学重点
矩形的判定．
教学难点
矩形的判定及性质的综合应用．
教学过程
一、导入新课
什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．21世纪教育网版权所有
二、新课教学
1. 矩形判定定理
思考 1：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
思考2：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？21cnjy.com
教师引导学生分析、猜测，得出矩形的判定定理．
矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
教师可指导学生证明这两个判定定理．完成后，归纳矩形的判定方法：
（1）一个角是直角的平行四边形．
（2）对角线相等的平行四边形．
（3）有三个角是直角的四边形．
2. 矩形判定方法的实际应用
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这就应用了矩形的判定定理． 21教育网
除教材中所举外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．
3. 矩形知识的综合应用
例 如下图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC＝AC， OB＝OD＝BD．
又 OA＝OD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
∴ ∠DAB＝90°．
又 ∠OAD＝50°，
∴ ∠OAB＝40°．
三、课堂小结
1. 矩形的判定方法l、2都是有两个条件：①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．
判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角．
2. 要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．
四、布置作业
习题18.2第2、3题．
教学反思：
特殊的平行四边形
第3课时
教学目标
1. 掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2. 理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3. 通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4. 根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
教学重点难点
菱形的性质1、2． 菱形的性质及菱形知识的综合应用．
教学过程
一、导入新课
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．21世纪教育网版权所有
二、新课教学
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
强调：菱形是平行四边形；一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子：一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等都有菱形的形象．21cnjy.com
思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？21·cn·jy·com
对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你自己完成证明），菱形还有以下性质：www.21-cn-jy.com
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
如下图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形．2·1·c·n·j·y
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
三、实例探究
例1 如下图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.
在Rt△OAB中，
AO＝AB＝×20＝10，
∴ 花坛的两条小路长
AC＝2AO＝20（m），
BD＝2BO＝20≈34.64（m）．
花坛的面积
S菱形ABCD＝4×S△OAB＝ AC·BD＝200≈346.4（ m2）． 21教育网
例2? 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD＝∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB＝CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE＝∠DCE．又 CE＝CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE＝∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠AFD＝∠FDC，
∴ ∠AFD＝∠CBE．
四、课堂练习
教材第57页练习1、2．
五、布置作业
习题18.2第5题．
教学反思：
特殊的平行四边形
第4课时
教学目标
1. 理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2. 在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
3. 经历菱形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力．
教学重点
菱形的两个判定方法．
教学难点
判定方法的证明方法及运用．
教学过程
一、导入新课
复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1：菱形的四条边都相等；性质2：菱形的对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角．2·1·c·n·j·y
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
过渡：要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？
二、新课教学
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．
思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例1 如下图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：□ABCD是菱形．
证明：∵ AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴ AB2＝AO2＋BO2． ∴ △OAB是直角三角形，
AC⊥BD． ∴□ABCD是菱形．
例2 已知：如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1＝∠2．
又 ∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO＝FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴ □AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．21cnjy.com
思考 ：我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的另一个判定定理：四条边相等的四边形是菱形．
三、课堂练习
1. 教材第58页练习1、2、3．
2. 做一做：设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形． 21世纪教育网版权所有
四、布置作业：习题18.2第6、10题．
教学反思：
教学目标
1. 掌握平行四边形的判定定理4，并能与性质定理、定义综合应用．
2. 进一步使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．
3. 通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力． 21·cn·jy·com
教学重点难点
平行四边形的判定定理4的应用． 判定定理和性质定理的综合应用．
教学过程
一、导入新课
复习平行四边形的三个判定定理．
过渡：我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？www.21-cn-jy.com
二、新课教学
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 【来源：21·世纪·教育·网】
我们猜想这个结论正确，下面进行证明．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC．
∵ AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2．
又 AB＝CD，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA． ∴ BC＝DA．
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．
于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
三、实例探究
例1 如下图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：根据平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．可以证明．（证明过程见教材第47页）21教育网
四、课堂小结
今天学习了什么？还有什么问题？
五、布置作业：习题18.1第6题．
教学反思：
