2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）知识点过关：定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）知识点过关：定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 673.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-01-05 08:33:24 | ||
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文档简介
1.5 定积分的概念
1.6 微积分基本定理
1.7 定积分的简单应用
1．定积分的概念
一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作________，即．
这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的__________．这就是定积分的几何意义．
3．定积分的性质
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
①为常数）；
②；
③（其中）．
4．微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
为了方便，我们常常把记成，即．
微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出．
5．定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．
6．定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．
②变力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为．
已知某物体在变力的作用下做直线运动，并且该物体沿着与相同的方向从移动到，求变力所做的功，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到．
K知识参考答案：
1． 2．曲边梯形的面积 3． 4．
6．① ②
K—重点
定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用
K—难点
运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积
K—易错
运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限
利用定积分的几何意义计算定积分
利用定积分所表示的意义求的值的关键是确定由曲线，直线，直线及轴所围成的平面图形的形状．
利用定积分的几何意义求，其中．
【答案】．
【解析】．
∵为奇函数，∴．
利用定积分的几何意义，如下图：
∴，，
故．
【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
（2）设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则．
利用微积分基本定理计算定积分
求函数在某个区间上的定积分时，要注意：
（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差．
（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
计算下列定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）
．
（4）．
【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．
定积分在几何中的应用
对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，
（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．
求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）．
【答案】图形见解析，平面图形的面积为．
【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．
解方程组，可得．
故平面图形的面积为
，所以所求图形的面积为1．
【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．
（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
定积分在物理中的应用
（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．
（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．
设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
【答案】将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【解析】设表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得，且当时，，即，
解得，则．
故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm换算为m．
1．定积分的大小
A．与和积分区间有关，与的取法无关
B．与有关，与区间以及的取法无关
C．与以及的取法有关，与区间无关
D．与、区间和的取法都有关
2．在求由抛物线与直线，，所围成的平面图形的面积时，把区间等分成个小区间，则第个区间为
A． B．
C． D．
3．已知，则
A． B．
C． D．
4．计算：
A． B．
C． D．
5．定积分与的大小关系是
A． B．
C． D．无法确定
6．计算：
A． B．
C． D．
7．下列等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
8．由直线，，及曲线所围成的封闭图形的面积
A． B．
C． D．
9．定积分
A． B．
C． D．
10．已知函数，则
A． B．
C． D．
11．已知，，则________________．
12．计算：________________．
13．计算________________．
14．若，则实数________________．
15．已知函数，若成立，则实数________________．
16．已知函数，求的值．
17．已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的解析式；
（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积．
18．如图，抛物线的方程为，则图中阴影部分的面积可表示为
A． B．||
C． D．
19．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
20．下列命题不正确的是
A．若是连续的奇函数，则
B．若是连续的偶函数，则
C．若在上连续且恒正，则
D．若在上连续且，则在上恒正
21．如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是
A． B．
C． D．
22．若，其中，则
A． B．
C． D．
23．已知是一次函数，若，，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
24．已知分段函数，则
A． B．
C． D．
25．已知，则________________．
26．如图，由曲线，与直线，围成的阴影部分的面积为________________．
27．（2014陕西理）定积分的值为
A． B．
C． D．
28．（2014山东理）直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A． B．
C．2 D．4
29．（2013湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是
A． B．
C． D．
1．【答案】A
【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分的大小与和积分区间有关，与的取法无关，故选A．
2．【答案】B
【解析】在区间上等间隔地插入个点，将它等分成个小区间[1，]，[，]，…，，…，[，2]，所以第个区间为．故选B．
4．【答案】C
【解析】由题可得．故选C．
5．【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出与的图象如下图所示，由图可知当时，的图象在的图象上方，由定积分的几何意义可知．故选C．
6．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
7．【答案】C
【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．例如，，，但．故选C．
8．【答案】B
【解析】由题可得，故选B．
9．【答案】D
【解析】
，故选D．
11．【答案】
【解析】根据定积分的性质可得．
12．【答案】
【解析】．
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】，解得．
15．【答案】或
【解析】取，则，，所以，
所以，所以，即，解得或．
16．【答案】．
【解析】如图，可得，
所以．
17．【答案】（1）；（2）．
（2）由或，
所以．
18．【答案】C
【解析】由图形可知阴影部分的面积为，而
，故选C．
19．【答案】B
【解析】由题可得，，，因为，所以．故选B．
20．【答案】D
【解析】对于A，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，所以轴上方的面积和轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；
对于B，因为是偶函数，所以图象关于轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等， B正确；C显然正确；
对于D，可以小于0，但必须有大于0的部分，且的曲线围成的面积比的曲线围成的面积大，D不正确．故选D．
21．【答案】B
【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，故阴影部分的面积，故选B．
23．【答案】A
【解析】由题可设，则，
，所以且，解得，，所以．故选A．
24．【答案】C
【解析】，，
根据定积分性质可知
．故选C．
25．【答案】
【解析】由题可得
，两边同时平方可得，所以．
27．【答案】C
【解析】，故选C．
28．【答案】D
【解析】由已知得，故选D．
29．【答案】C
【解析】令，解得或（舍去）．故所求距离是
，故选C．
1.6 微积分基本定理
1.7 定积分的简单应用
1．定积分的概念
一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作________，即．
这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的__________．这就是定积分的几何意义．
3．定积分的性质
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
①为常数）；
②；
③（其中）．
4．微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么___________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
为了方便，我们常常把记成，即．
微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出．
5．定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用主要是计算由两条曲线所围图形的面积．由曲边梯形面积的求法，我们可以将求由两条曲线所围图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题，进而用定积分求出面积．
6．定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程：我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．
②变力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了（单位：），则力所做的功为．
已知某物体在变力的作用下做直线运动，并且该物体沿着与相同的方向从移动到，求变力所做的功，与求曲边梯形的面积及求变速直线运动的路程一样，可用“四步曲”解决，得到．
K知识参考答案：
1． 2．曲边梯形的面积 3． 4．
6．① ②
K—重点
定积分的几何意义，定积分的基本性质，运用微积分基本定理计算定积分，定积分的应用
K—难点
运用微积分基本定理计算定积分，用定积分求几何图形的面积
K—易错
运用微积分基本定理计算定积分时，弄错积分的上、下限
利用定积分的几何意义计算定积分
利用定积分所表示的意义求的值的关键是确定由曲线，直线，直线及轴所围成的平面图形的形状．
利用定积分的几何意义求，其中．
【答案】．
【解析】．
∵为奇函数，∴．
利用定积分的几何意义，如下图：
∴，，
故．
【名师点睛】（1）利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
（2）设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则．
利用微积分基本定理计算定积分
求函数在某个区间上的定积分时，要注意：
（1）掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的函数．当这个函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差．
（2）精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
计算下列定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）
．
（4）．
【名师点睛】微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到被积函数的一个原函数．
定积分在几何中的应用
对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，
（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．
求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）．
【答案】图形见解析，平面图形的面积为．
【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．
解方程组，可得．
故平面图形的面积为
，所以所求图形的面积为1．
【名师点睛】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的．
（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
定积分在物理中的应用
（1）已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．
（2）利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可．
设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
【答案】将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【解析】设表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得，且当时，，即，
解得，则．
故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为．
【名师点睛】求解时注意单位的换算，把cm换算为m．
1．定积分的大小
A．与和积分区间有关，与的取法无关
B．与有关，与区间以及的取法无关
C．与以及的取法有关，与区间无关
D．与、区间和的取法都有关
2．在求由抛物线与直线，，所围成的平面图形的面积时，把区间等分成个小区间，则第个区间为
A． B．
C． D．
3．已知，则
A． B．
C． D．
4．计算：
A． B．
C． D．
5．定积分与的大小关系是
A． B．
C． D．无法确定
6．计算：
A． B．
C． D．
7．下列等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
8．由直线，，及曲线所围成的封闭图形的面积
A． B．
C． D．
9．定积分
A． B．
C． D．
10．已知函数，则
A． B．
C． D．
11．已知，，则________________．
12．计算：________________．
13．计算________________．
14．若，则实数________________．
15．已知函数，若成立，则实数________________．
16．已知函数，求的值．
17．已知是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的解析式；
（2）求曲线与曲线所围成的图形的面积．
18．如图，抛物线的方程为，则图中阴影部分的面积可表示为
A． B．||
C． D．
19．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
20．下列命题不正确的是
A．若是连续的奇函数，则
B．若是连续的偶函数，则
C．若在上连续且恒正，则
D．若在上连续且，则在上恒正
21．如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是
A． B．
C． D．
22．若，其中，则
A． B．
C． D．
23．已知是一次函数，若，，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
24．已知分段函数，则
A． B．
C． D．
25．已知，则________________．
26．如图，由曲线，与直线，围成的阴影部分的面积为________________．
27．（2014陕西理）定积分的值为
A． B．
C． D．
28．（2014山东理）直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A． B．
C．2 D．4
29．（2013湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是
A． B．
C． D．
1．【答案】A
【解析】由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤，可知定积分的大小与和积分区间有关，与的取法无关，故选A．
2．【答案】B
【解析】在区间上等间隔地插入个点，将它等分成个小区间[1，]，[，]，…，，…，[，2]，所以第个区间为．故选B．
4．【答案】C
【解析】由题可得．故选C．
5．【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出与的图象如下图所示，由图可知当时，的图象在的图象上方，由定积分的几何意义可知．故选C．
6．【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．
7．【答案】C
【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．例如，，，但．故选C．
8．【答案】B
【解析】由题可得，故选B．
9．【答案】D
【解析】
，故选D．
11．【答案】
【解析】根据定积分的性质可得．
12．【答案】
【解析】．
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】，解得．
15．【答案】或
【解析】取，则，，所以，
所以，所以，即，解得或．
16．【答案】．
【解析】如图，可得，
所以．
17．【答案】（1）；（2）．
（2）由或，
所以．
18．【答案】C
【解析】由图形可知阴影部分的面积为，而
，故选C．
19．【答案】B
【解析】由题可得，，，因为，所以．故选B．
20．【答案】D
【解析】对于A，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，所以轴上方的面积和轴下方的面积相等，故积分是0，A正确；
对于B，因为是偶函数，所以图象关于轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等， B正确；C显然正确；
对于D，可以小于0，但必须有大于0的部分，且的曲线围成的面积比的曲线围成的面积大，D不正确．故选D．
21．【答案】B
【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，故阴影部分的面积，故选B．
23．【答案】A
【解析】由题可设，则，
，所以且，解得，，所以．故选A．
24．【答案】C
【解析】，，
根据定积分性质可知
．故选C．
25．【答案】
【解析】由题可得
，两边同时平方可得，所以．
27．【答案】C
【解析】，故选C．
28．【答案】D
【解析】由已知得，故选D．
29．【答案】C
【解析】令，解得或（舍去）．故所求距离是
，故选C．