第01章章末检测-期末复习2017-2018学年高二数学人教版（选修2-2）

第一章 导数及其应用
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为可导函数，且，则
A． B．
C． D．
2．若，则函数的导函数
A． B．
C． D．
3．曲线在点处的切线的方程为
A． B．
C． D．
4．已知函数的导函数是且，则实数的值为
A． B．
C． D．
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是
A B C D
6．下列函数求导运算正确的个数为
①；②；③；④；⑤．
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知函数，且，则函数的一个零点为
A． B．
C． D．
8．函数在上为减函数，则
A． B．
C． D．
9．已知函数的最大值为，则
A． B．
C． D．
10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则
A． B．
C． D．
12．已知为常数，函数有两个极值点，则
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．由曲线以及直线，所围成的封闭图形的面积为______________．
14．已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为______________．
15．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是______________．
16．已知一个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的半径为1，则当圆锥的体积最大时，圆锥的高为______________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求与直线平行的曲线的切线方程．
18．已知函数的导函数为．
（1）解不等式；
（2）求函数的单调区间．

19．据统计，某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时，每小时的耗油量（升）与行驶速度（千米∕时）之间有如下函数关系：．已知甲乙两地相距100千米．
（1）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
20．已知函数．
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值；
（2）设，若在上单调递减，求实数的取值范围．

21．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．

22．设，．已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．

1．【答案】B
【解析】因为，故选B．
2．【答案】D
【解析】由题意得，故选D．
4．【答案】B
【解析】，故选B．
5．【答案】C
【解析】由导函数图象可知，函数在，上单调递增，在上单调递减，故选C．
6．【答案】C
【解析】，，正确的为②③⑤，共3个．故选C．
7．【答案】A
【解析】，又，所以，所以，令，可得，，即，，所以函数的一个零点是．故选A．
8．【答案】A
【解析】当时，，在上为减函数，成立；当时，，根据题意可知，在上恒成立，所以且，可得．综上可知．故选A．
9．【答案】B
【解析】因为，所以，解得，
所以，令得，令得，
所以，故选B．
10．【答案】C
【解析】因为，所以．
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．故实数的取值范围是．故选C．
12．【答案】D
【解析】由题可得，易知在点P（1，0）处的切线为．
当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，
，
，
易知函数在上单调递增，所以，
即，故选D．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题．已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．
14．【答案】
【解析】当时，，观察函数在上的图象，可得在，上单调递增，即当时，；当时，，观察函数在上的图象，可得在上单调递增，即当时，，无解．综上，不等式的解集为．
15．【答案】4
【解析】，则切线斜率，则过的切线方程为，与坐标轴交点分别为，，又切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得．
17．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）∵，∴，
求导可得，∴切线的斜率为，
∴所求切线方程为，即．
（2）设与直线平行的切线的切点为，
则切线的斜率为．
又所求切线与直线平行，∴，解得，
代入可得切点为或，
∴所求切线方程为或，
即或．
18．【答案】（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为．
【解析】（1）由题可得，
所以即，
即，解得，
所以不等式的解集为．
（2）由题可得，
所以，
所以当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
19．【答案】（1）；（2）速度为千米∕时耗油最少，为升．
（2）由题意可得从甲地到乙地需行驶小时，设耗油量为升，
依题意可得，，
则，
令，解得，
当时，，是减函数；
当时，，是增函数，
所以当时，取得最小值，
所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为升．
20．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）．
【解析】（1）由可得，
由题意知，解得，
所以，．
当时，或；
当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的极大值为，
极小值为．
令，则，
所以在上单调递增．
故，所以，
故实数的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
令，则，
所以当时，，故在上单调递增，
所以当时，，即，
所以在上单调递增，
故当时，函数取得最小值，最小值为．
（2）当时，对于任意的，恒有，
由（1）知，故恒成立．
当时，令，则，
由（1）知在上单调递增，
所以在上单调递增，
而，取，由可得，
则，
所以函数存在唯一的零点，
当时，，在上单调递减，
所以当时，，即，不符合题意．
综上，，故实数的取值范围为．
22．【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）．
【思路分析】（1）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，进而可得函数的单调区间；（2）（ⅰ）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，可求得；（ii）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，可得，，构造函数，根据单调性可求函数的值域，即得b的取值范围．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）（i）因为，由题意知，
所以，解得．
所以在处的导数等于0．
另一方面，由于，故，
由（1）知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，
从而在上恒成立．
由，得，．
令，，则，
令，解得（舍去）或．
因为，，，故的值域为．
所以的取值范围是．
【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求的取值范围的关键是得出，然后构造函数进行求解．