21.2.1 配方法学案（附答案）

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21.2.1 配方法
知识梳理
1．直接开平方法的定义：用直接 求解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2．方程或根的情况：(1)当p>0时，方程有 个实数根，且 ；(2)当p=0时，方程的实数根是 ；(3)当p<0，方程 .www.21-cn-jy.com
3. 方程或能直接开方的条件： .
4．配方法的定义：用配方的方法求解一元二次方程的方法叫做 .
5．配方法解一元二次方程的一般步骤：先把 ( http: / / www.21cnjy.com )二次项系数化为 ，并把常数项移到右边；再在方程两边同时加上 ，将方程左边构成一个 ，右边是一个不小于0的常数，最后利用 求解.2·1·c·n·j·y
重点突破
知识点一 利用直接开平方法解一元二次方程
1.下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A.x2=25 B.4x2-4x-3=0 C.x2-3x=0 D.x2-2x-1=9
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中的直接开平方法。等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数，只有A选项符合要求，故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】A
2.的解是（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中的直接开平方法。方程是直接开平方法的基本形式，即左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，利用平方根的定义求解.即：∵，∴1-2x=±2，∴1-2x=2或1-2x=-2，∴,故选B.
【答案】B
知识点二 一元二次方程或根的情况
1. 一元二次方程x2=-4的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中能直 ( http: / / www.21cnjy.com )接开平方的条件。因为此时方程已是等号左边是完全平方式，等号右边是小于零的常数，因此方程没有实数根,故选C.
【答案】C
知识点三 利用配方法解一元二次方程
1. 已知、、为常数，，则= ，= ，= .
【解析】本题主要考查如何利用配方法解一元二次方程的步骤。等式左边二次项系数为3，因为可以判断出等式右边的值为3，将等式右端变成完全平方式，对应得到和的值，从而得出正确结果。21·世纪*教育网
【答案】3、、；
2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】本题主要考查如何利用配方法解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程。先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1，最后两边都加上一次项系数一半的平方可得。解：
A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t=2，∴t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )t+ ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴（t﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，故C选项正确．21世纪教育网版权所有
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x= ( http: / / www.21cnjy.com )，∴x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x + ( http: / / www.21cnjy.com ) = ( http: / / www.21cnjy.com ) + ( http: / / www.21cnjy.com )，∴（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )．故D选项正确．www-2-1-cnjy-com
【答案】B．
基础过关
1.下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有( )
①，②，③④，⑤，⑥，⑦
A．3个　　　　 B．4个 C．5个 D．6个
2. 方程的根是( )
A． B. C. D.
3.方程2x2+8=0的根为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.没有实数根
4.方程（x-2）2=9的解是( )
A.x1=5，x2=-1 B.x1=-5，x2=1 C.x1=11，x2=-7 D.x1=-11，x2=7
5．一元二次方程(x+5)2=9可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+5=3，则另一个一元一次方程是( )2-1-c-n-j-y
A.x-5=3 B.x-5=-3 C.x+5=3 D.x+5=-3
6.关于x的一元二次方程的解为( )
A. B. C. D.此方程无解
7.方程的根是( )
A. B. C. D.
8．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对
9.用配方法解方程，应把方程两边同时( )
A.加上 B.减去 C.加上 D.减去
10．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为( )
A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+2
11. 把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是( )
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
12．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
13. 用配方法解方程，正确的是( )
A. B. C. D.
14.方程x2－9=0的根是 .
15. 若＞0，且取任意实数时，恒成立，则= .
16.解方程：
（1）（x+4）2﹣25=0 （2）4x2﹣18=0．
（3）x2-2x=4 （4）
（5） （6）3x2﹣2x﹣6=0
（7）4x2﹣4x+1=0 （8）x2＋4x－1＝0
能力拓展
1.若关于x的方程，则的值为( )
A.1 B.-1 C.x1=-1，x2=1 D.方程无解
2.对形如(x+m)2=n的方程，下列说法正确的是( )
A.用直接开平方得x=-m± ( http: / / www.21cnjy.com ) B.用直接开平方得x=-n± ( http: / / www.21cnjy.com )
C.当n≥0时，直接开平方得x=-m± ( http: / / www.21cnjy.com ) D.当n≥0时，直接开平方得x=-n± ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 用配方法解方程x2- ( http: / / www.21cnjy.com )x+1=0，正确的是( )
A.(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2=1,x1= ( http: / / www.21cnjy.com ),x2=- ( http: / / www.21cnjy.com ) B.（x- ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，x= ( http: / / www.21cnjy.com )
C.(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com )，原方程无实数解 D.(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com )，原方程无实数解
4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，此方程可变形为( )
A.(x+ ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com ) B.(x+ ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com )
C.(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com ) D.(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2= ( http: / / www.21cnjy.com )
5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
6.若方程有整数根，则m的值可以是_____(只填一个)
7.方程的根是_____
8.将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=　 　．
9.解方程：（3x﹣4）2=（3﹣4x）2．
10.自由下落物体的高度h ( http: / / www.21cnjy.com )(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？21教育网
11.若2(x2+3)的值与3(1-x2)的值互为相反数，求的值.
12.已知方程，若老师将等号右边的0变成了代数式：.
（1）用配方法求出原方程的解；
（2）你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？
参考答案
知识梳理
1．开平方
2． 2，互为相反数， 0，无实数根
3.
4．配方法
5． 1，一次项系数一半的平方，完全平方式，直接开平方法
基础过关
1.D
2.C
3.D
4.A
5．D
6.C
7.A
8．C
9.C
10．B
11. C
12．A
13. B
14. x1=3，x2=﹣3
15. 6
16.解：（1）由原方程移项，得（x+4）2=25，
直接开平方，得x+4=±5，即x=﹣4±5，
∴x1=1，x2=﹣9；
（2）由原方程移项，得4x2=18，
化二次项系数为1，得x2=，
直接开平方，得x=±，
∴x1=，x2=﹣．
（6）3x2﹣2x=6，∴x2﹣x=2，∴x2﹣x+（）2=2+（）2，∴（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴，；21cnjy.com
（8）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4 ( http: / / www.21cnjy.com )x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－21·cn·jy·com
能力拓展
1.C
2.C
3. D
4．A
5．A
6.0
7.
8.7
9.解：开方得： 3x﹣4=3﹣4x①，3x﹣4=﹣（3﹣4x）②，
解方程①得：3x+4x=3+4，
∴7x=7，
∴x=1，
解方程②得：3x﹣4x=﹣3+4，
∴﹣x=1，
∴x=﹣1，
即原方程得解：x1=1，x2=﹣1．
10.解：当h=19.6时，4.9t2=19.6.
∴t1=2，t2=-2(不合题意，舍去).
∴t=2.
答：到达地面需要2秒.
11.解：由题意可得2(x2+3)+3(1-x2)=0，
∴x2=9.∴x1=3，x2=-3.
∴的值为6或0.
12.（1）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
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知识梳理
1．直接开平方法的定义：用直接 求解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2．方程或根的情况：(1)当p>0时，方程有 个实数根，且 ；(2)当p=0时，方程的实数根是 ；(3)当p<0，方程 .www.21-cn-jy.com
3. 方程或能直接开方的条件： .
4．配方法的定义：用配方的方法求解一元二次方程的方法叫做 .
5．配方法解一元二次方程的一般步骤：先把二次项系数化为 ，并把常数项移到右边；再在方程两边同时加上 ，将方程左边构成一个 ，右边是一个不小于0的常数，最后利用 求解.2·1·c·n·j·y
重点突破
知识点一 利用直接开平方法解一元二次方程
1.下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A.x2=25 B.4x2-4x-3=0 C.x2-3x=0 D.x2-2x-1=9
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中的直接开平方法。等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数，只有A选项符合要求，故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】A
2.的解是（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中的直接开平方法。方程是直接开平方法的基本形式，即左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，利用平方根的定义求解.即：∵，∴1-2x=±2，∴1-2x=2或1-2x=-2，∴,故选B.
【答案】B
知识点二 一元二次方程或根的情况
1. 一元二次方程x2=-4的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定
【解析】本题主要考查一元二次方程解法中能直接开平方的条件。因为此时方程已是等号左边是完全平方式，等号右边是小于零的常数，因此方程没有实数根,故选C.
【答案】C
知识点三 利用配方法解一元二次方程
1. 已知、、为常数，，则= ，= ，= .
【解析】本题主要考查如何利用配方法解一元二次方程的步骤。等式左边二次项系数为3，因为可以判断出等式右边的值为3，将等式右端变成完全平方式，对应得到和的值，从而得出正确结果。21·世纪*教育网
【答案】3、、；
2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2= D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
【解析】本题主要考查如何利用配方法解一元二次方程。先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1，最后两边都加上一次项系数一半的平方可得。解：
A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．21世纪教育网版权所有
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x + = + ，∴（x﹣）2=．故D选项正确．www-2-1-cnjy-com
【答案】B．
基础过关
1.下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有( )
①，②，③④，⑤，⑥，⑦
A．3个　　　　 B．4个 C．5个 D．6个
2. 方程的根是( )
A． B. C. D.
3.方程2x2+8=0的根为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.没有实数根
4.方程（x-2）2=9的解是( )
A.x1=5，x2=-1 B.x1=-5，x2=1 C.x1=11，x2=-7 D.x1=-11，x2=7
5．一元二次方程(x+5)2=9可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+5=3，则另一个一元一次方程是( )2-1-c-n-j-y
A.x-5=3 B.x-5=-3 C.x+5=3 D.x+5=-3
6.关于x的一元二次方程的解为( )
A. B. C. D.此方程无解
7.方程的根是( )
A. B. C. D.
8．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对
9.用配方法解方程，应把方程两边同时( )
A.加上 B.减去 C.加上 D.减去
10．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为( )
A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2
C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+2
11. 把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是( )
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
12．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
13. 用配方法解方程，正确的是( )
A. B. C. D.
14.方程x2－9=0的根是 .
15. 若＞0，且取任意实数时，恒成立，则= .
16.解方程：
（1）（x+4）2﹣25=0 （2）4x2﹣18=0．
（3）x2-2x=4 （4）
（5） （6）3x2﹣2x﹣6=0
（7）4x2﹣4x+1=0 （8）x2＋4x－1＝0

能力拓展
1.若关于x的方程，则的值为( )
A.1 B.-1 C.x1=-1，x2=1 D.方程无解
2.对形如(x+m)2=n的方程，下列说法正确的是( )
A.用直接开平方得x=-m± B.用直接开平方得x=-n±
C.当n≥0时，直接开平方得x=-m± D.当n≥0时，直接开平方得x=-n±
3. 用配方法解方程x2-x+1=0，正确的是( )
A.(x-)2=1,x1=,x2=- B.（x-）2=，x=
C.(x-)2=，原方程无实数解 D.(x-)2=，原方程无实数解
4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，此方程可变形为( )
A.(x+)2= B.(x+)2=
C.(x-)2= D.(x-)2=
5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
6.若方程有整数根，则m的值可以是_____(只填一个)
7.方程的根是_____
8.将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=　 　．
9.解方程：（3x﹣4）2=（3﹣4x）2．
10.自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？21教育网
11.若2(x2+3)的值与3(1-x2)的值互为相反数，求的值.
12.已知方程，若老师将等号右边的0变成了代数式：.
（1）用配方法求出原方程的解；
（2）你能求出重新组合后的一元二次方程的解吗？
参考答案
知识梳理
1．开平方
2． 2，互为相反数， 0，无实数根
3.
4．配方法
5． 1，一次项系数一半的平方，完全平方式，直接开平方法
基础过关
1.D
2.C
3.D
4.A
5．D
6.C
7.A
8．C
9.C
10．B
11. C
12．A
13. B
14. x1=3，x2=﹣3
15. 6
16.解：（1）由原方程移项，得（x+4）2=25，
直接开平方，得x+4=±5，即x=﹣4±5，
∴x1=1，x2=﹣9；
（2）由原方程移项，得4x2=18，
化二次项系数为1，得x2=，
直接开平方，得x=±，
∴x1=，x2=﹣．

（6）3x2﹣2x=6，∴x2﹣x=2，∴x2﹣x+（）2=2+（）2，∴（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴，；21cnjy.com
（8）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－21·cn·jy·com
能力拓展
1.C
2.C
3. D
4．A
5．A
6.0
7.
8.7
9.解：开方得： 3x﹣4=3﹣4x①，3x﹣4=﹣（3﹣4x）②，
解方程①得：3x+4x=3+4，
∴7x=7，
∴x=1，
解方程②得：3x﹣4x=﹣3+4，
∴﹣x=1，
∴x=﹣1，
即原方程得解：x1=1，x2=﹣1．
10.解：当h=19.6时，4.9t2=19.6.
∴t1=2，t2=-2(不合题意，舍去).
∴t=2.
答：到达地面需要2秒.
11.解：由题意可得2(x2+3)+3(1-x2)=0，
∴x2=9.∴x1=3，x2=-3.
∴的值为6或0.
12.（1）
（2）