21.2.2公式法学案（附答案）

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21.2.2 公式法
知识梳理
1．公式法的定义：利用求根公式求解一元二次方程的方法叫做 .
2．根的判别式：一般地式子叫做一元二次方程 ，通常用“△”表示.
(1)b2－4ac＞0 方程有两个 的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个 的实数根；
(3)b2－4ac＜0 方程 实数根．
(4)b2－4ac≥0 方程 实数根．
3．公式法解一元二次方程的一般步骤：先把一元二次方程化成一般形式；然后计算判别式的值；最后当≥0时，把各项系数a、b、c的值代入求根公式求解.求根公式 .21教育网
重点突破
知识点一 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解析】本题考查了一元二次方程的根得判别 ( http: / / www.21cnjy.com )式，解题的关键掌握利用判别式判别一元二次方程根的情况．解：∵a=2，b=﹣3，c=1， ∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选择B．21cnjy.com
【答案】B
2．若关于x的一元二次方程(k－1) x +4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）21·cn·jy·com
A．k<5 B． k<5且k≠1 C． k≤5且k≠1 D．k>5
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式， ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键是掌握根的情况与K之间的关系．解：△=16－4(k－1)=20－4k，∵方程有两个不相等的实数根，∴△>0，即20－4k>0．∴K<5．又∵该方程是一元二次方程，∴k－1≠0，∴k≠1．所以k的取值范围是k<5且k≠1，故选B．2·1·c·n·j·y
【答案】B
知识点二 利用公式法解一元二次方程
1. 用公式法解下列方程：x2+2x﹣2=0；
【解析】本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．www.21-cn-jy.com
【答案】解：∵a=1，b=2，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1=﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
基础过关
1.下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2.一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的正根
B.有两个不相等的负根
C.没有实数根
D.有两个相等的实数根
3.方程x2+x-1=0的一个根是( )
A.1- ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C.-1+ ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
4.—元二次方程x2＋2x＋1=0的根的情况（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5.若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
4．一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A.m＞1 B.m=1 C.m＜1 D.m≤1
5.用公式法解方程x2－3x－1=0，正确的解为（ ）
A．x1=，x2= B．x1= ，x2=
C．x1= ，x2= D．x1=，x2=
6. 一元二次方程x2+x=3中，a= ，b= ，c= ，则方程的根是x1= ，x2= ．
7. 一元二次方程a2-4a-7=0的解为 .
8.关于x的一元二次方程x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b＝_______．【来源：21·世纪·教育·网】
9.写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根 ．
10.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　_ ___，x1= ，x2= ．
11. 解方程
（1）x2+10=2 ( http: / / www.21cnjy.com )x (2)x(x-4)=2-8x
(3) x2-2x=4 (4)4x2-4x-1=0
（5）2x2-3x-1=0 （6）2x2-10x=3
12.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根。
能力突破
1.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是（ ）．
A. 1＜c＜5 . B. 2＜c＜3 . C. 1＜c＜2 . D.3＜c＜5 .
3.下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0
4. a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
5.已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　 　）
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
6.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
7.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0)，求证：方程总有两个实数根；
8.已知关于x的方程x2＋mx＋m－2=0
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
9.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长.【来(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；21世纪教育网版权所有
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
参考答案
知识梳理
1．公式法.
2．根的判别式，不相等，相等，没有，有
3．.
基础过关
1.D
2.C
3.D
4.B
5.B
4．D
5.D
6. ，1，-3， -1+ ， ﹣1﹣
7. =2+ ( http: / / www.21cnjy.com ),=2- ( http: / / www.21cnjy.com ).
8. 3(答案不唯一，满足b2>8即可)
9. x2+x﹣1=0（答案不唯一）
10. 41， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
11. (1)x2-2 ( http: / / www.21cnjy.com )x+10=0,
∵Δ=(-2 ( http: / / www.21cnjy.com ))2-4×1×10=-20<0，∴此方程无实数解；
(2)x2+4x-2=0,x= ( http: / / www.21cnjy.com ),
x1=-2+ ( http: / / www.21cnjy.com ),x2=-2- ( http: / / www.21cnjy.com ).
(3) x2-2x-4=0，x==1±,x1=1+,x2=1-.
(4)x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com ).
（5）x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com ).
（6）2x2-10x-3=0 ∴x1= x2=
12.解：∵1为原方程的一个根，∴1+a+a-2=0.
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com ).代入方程得：x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x- ( http: / / www.21cnjy.com )=0.
解得x1=1,x2=- ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a的值为 ( http: / / www.21cnjy.com )，方程的另一个根为- ( http: / / www.21cnjy.com ).
能力突破
1.D
2.A
3.D
4.B
5.A
6.1
7.解：∵a=m，b=-(m+2)，c=2，
∴Δ=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=(m-2)2≥0.
∴方程总有两个实数根.
8.解：把=1代入方程 得 ，
解得 =．
（2）证明：△=
∵ ≥0，∴ ＞0， 即 △>0，
∴ 此方程有两个不相等的实数根．
9. 解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形； 1教育网
(2)△ABC是直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )形．【版权所有：21教育】
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，
∴x2＋x＝0，
解得x1＝0，x2＝－1，
∴如果△ABC是等边三角形，则这个一元二次方程的根为0或－1.
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