21.2.3因式分解法学案（附答案）

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21.2.3因式分解法
知识梳理
1.分解因式的定义：把一个多项式分解成几个单项式 的形式叫做分解因式.
2.因式分解法的定义：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为 .
3.因式分解法解一元二次方程的条件：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于 .
重点突破
知识点 利用因式分解法解一元二次方程
1. 方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3
【解析】本题主要考查如何利用因式分解法解一元二次方程。根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（x﹣2）（x+3）=0，
∴x﹣2=0或x+3=0，
∴x1=2，x2=﹣3，
【答案】D
2.一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=3
【解析】本题主要考查如何利用因式分解法解一元二次方程，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤。首先对x2﹣2x﹣3=0进行因式分解得到（x﹣3）（x+1）=0，然后得到x+1=0或x﹣3=0，解两个一元一次方程即可．
【答案】A
3.解方程：x2=x
【分析】解一元二次方程-因式分解法
【解析】本题主要考查如何利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.此题方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：方程移项得：x2﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=1，x2=0．
基础过关
1.解方程的最佳方案是（　　）
A.配方法 B.直接开平方法 C.公式法 D.因式分解法
2.下面一元二次方程的解法中，正确的是（　　）
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D． x2=x 两边同除以x，得x=1
3.方程 的两个根为（　　）
A． B． C． D．
4. 方程3x(x+1)=3x+3的解为（　　）
A.x=1 B.x=-1 C.x1=0，x2=-1 D.x1=1，x2=-1
5. 若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1
6. 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　）
A.(2x-2)(3x-4)=0化为2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1化为x+3=0或x-1=1
C.(x-2)(x-3)=2×3化为x-2=2或x-3=3
D.x(x+2)=0化为x+2=0
7.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______________．
8.当 = 时，代数式与的值相等.
9.用因式分解法解方程：
（1）2(x－3)2＝x2－9
（2）
（3）2y2+4y=y+2
（4）
（5）
（6）
能力拓展
1.已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则二次三项式x2﹣px+q可分解为（　　）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4）
2.已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），则的值为（　　）
A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或6
3.如图，已知点A是一次函数y=x-4图像上的一点,且矩形ABCD的面积等于3,则点A的坐标为 .
4.若用因式分解法解一元二次方程4(x+2)2-9(2x-1)2=0，首先将左端的式子用 公式分解为[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+2)-3(2x-1)]=0，从而求得方程的根为 .
5.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2-8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为　　．
6.对于解一元二次方程： .
A同学说，可以先将方程化为.利用配方法去求解；
B同学说，可以直接套用求根公式.
请你用以上两种方法中的一种或者是你认为更简便的其他方法解这个方程.
7.已知，求的值.
8.如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm，一只老鼠C由柱子底端以2 cm／s的速度向顶端B爬行，同时，另一只老鼠从O点以3 cm／s的速度沿木棍OE爬行，问是否存在这样的时刻，使两只老鼠与O点组成的三角形面积为1800 cm2．
参考答案
知识梳理
1.乘积
2.因式分解法
3.零
基础过关
1.D
2.B
3.D
4.D
5.B
6.D
7.12
8.0或2
9.解：（1）2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)(2x－6－x－3)＝0，解得x1＝3，x2＝9　
（2），
（3）2y（y+2）=y+2，2y（y+2）+（y+2）=0，（y+2）（2y+1）=0，解得，．
（4），
（5），
（6），
能力拓展
1.A
2.D
3.（1，-3）或（3，-1）
4.
5.19或21或23
6.解：,,,
7.解：设，则方程可化为,∴,∴,∴，.∴的值是或2.
8.解：有两种情况：
（1）如图1，当老鼠在AO上运动时，设xs后两只老鼠与O点组成的三角形面积为1800cm2，
由题意，得×3x×（100-2x）=1800，
整理，得x2-50x+600=0，
解得x1=20，x2=30．
（2）如图2，当老鼠在OB上运动时，
设x秒钟后，两只老鼠与O点组成的三角形面积为1800cm2，
由题意，得×3x（2x-100）=1800，
整理，得x2-50x-600=0，
解得x1=600，x2=-10（舍去）．
答：20s，30s，60s后，两老鼠与O点组成的三角形的面积均为1800cm2．
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