21.2.4 一元二次方程根与系数的关系学案（附答案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识梳理
1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设一元二次方程的两根是x1和x2，则 .21世纪教育网版权所有
2.当一元二次方程的两根是x1和x2时：
（1）若，则方程有 根；
（2）若，则方程有 个正根；
（3）若，则方程有 个负根．
重点突破
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1.若x1、x2是一元二次方程x2+10x+16的两个根，则x1+x2的值是( )
A.-10 B.10 C.-16 D.16
【解析】本题主要考查利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值。根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=21cnjy.com
【答案】A
【点评】本题考查了根与系数的关系。
2.方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（　　）
A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定
【解析】本题主要考查利用根与系数的关系求方程中待定字母的值。首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=＜0可知两根异号．www.21-cn-jy.com
【答案】B
3. 设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则2x1x2的值为________．
【解析】本题主要考查根与系数的关系知识的巧妙运用。首先根据根与系数的关系求出，再求出的值。解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴2x1x2=﹣2，
【答案】-2.
基础过关
1.已知、是方程的两个实数根，那么下列结论正确的是( )
A．＋＝－1 B．＋＝－3 C．＋＝1 D． ＋＝3
2.已知方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2＝( )
A．-3 B． 3 C． D．
3.已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2等于( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则( )
A.b>0 B.b=0 C.b<0 D.c=0
5.已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等于两根之积，则m的值为( )21·cn·jy·com
A.1 B.-1 C.2 D.-2
6.已知一元二次方程x2-x+2=0，则下列说法正确的是( )
A.两根之和为1 B.两根之积为2 C.两根的平方和为-3 D.没有实数根
7．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
8. 一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为( )
A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
9.已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两根为m、n，则m2+n2= ___ _．
10.关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根分别为1和2，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， ( http: / / www.21cnjy.com ) .
11.已知 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两实数根，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值是 .
12.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　 　，m的值是　 　．
13.关于的一元二次方程＝0的两实数根之积为负，则实数的取值范围是________．
14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、.
（1）求m的值；
（2）当时，求另一个根的值.
能力拓展
1．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( )2·1·c·n·j·y
A. 　 B．－ 　 C．4 　 D．－1
2.关于x的一元二次方程：x2—4x—m2＝0有两个实数根x1，x2，则（ ）
A． 　 B． 　 C．4 　 D．－4
3.已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( )
A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0
4.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a·c≠0，a≠c，以下四个结论中，错误的是 ( )
A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
5.一若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.2-1-c-n-j-y
6.关于的一元二次方程有两个不等实根、．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程两实根、满足，求的值．
7.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．
①求m的取值范围；
②如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
8．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC=8m，BD=6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为
【来源：21·世纪·教育·网】
9.设m是不小于-1的实数，使得关于x的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2.www.21-cn-jy.com21·世纪*教育网
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
参考答案
知识梳理
1..
2.一正一负，2，2
基础过关
1.B
2.D
3.C
4.B
5.A
6.D
7.A
8.C
9.
10.-3，2
11.10
12.3，-4
13.
14. 解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，∴，∴.
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，∴.
能力拓展
1.A
2.D
3.D
4.D
5.解：由根与系数的关系，得 ( http: / / www.21cnjy.com )
又∵x1=3x2，③，
联立①、③，解方程组，得 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
答：方程两根为x1=3,x2=1;k=6.
6.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴， 解得： ．
（2）由根与系数的关系，得， ．
∵，
∴，
解得：或，
又∵，
∴．
7.解：①根据题意得b2－4ac＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4；
②根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m ( http: / / www.21cnjy.com )＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的取值范围为3≤m≤421教育网
8．解：设解：设出发后x秒时，
（1）当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．（4-2x）（3-x）=；
解得x1=，x2=
∵x＜2，
∴；
（2）当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，（2x-4）（3-x）=；
解得；
（3）当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，（2x-4）（x-3）=；
解得或x=s．
综上所述，出发后或s或时，△MON的面积为．
9. 解：(1)∵＝1，
∴＝1，即，
解得，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝[2(m－2)] 2－4(m2－3m＋3)>0，
解得m＜1，
又∵m不小于－1，
∴－1≤m＜1，
∴m＝，
将m＝代入得，原式＝－2；世纪*教育网
(2)
＝
＝
＝
＝
＝
＝－2(m－1)－m2
＝－m2－2m＋2
＝－(m＋1)2＋3， om
∵－1≤m<1，
∴当m＝－1时，有最大值，最大值是3.
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)