21.3 实际问题与一元二次方程学案（附答案）

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21.3 实际问题与一元二次方程
知识梳理
1.一元二次方程的解法： 、 、 、 等.
2.一元二次方程的应用：
（1）列方程解决实际问题的一般步骤：审题，设未知数（直接未知数、间接未知数、辅助未知数等），列方程，解方程，检验和作答.21·cn·jy·com
（2）几何问题：根据几何图形的面积、体积等关系建立一元二次方程的数学模型，并解决这类问题.
（3）增长率问题：①增长率＝×100%；
②设a为原来量，当m为平均增长率，n为增 ( http: / / www.21cnjy.com )长次数，b为增长以后的量，则有 ；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降以后的量，则有 .
（4）其他问题：数学模型就是把所解决的 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，转化为 .通过对数学问题的求解，使实际问题得以解决的一种数学方法.通过建构一元二次方程的形成 思想.
重点突破
知识点一 利用一元二次方程解决几何问题
1.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为cm，则可列方程为 _____________．2·1·c·n·j·y
【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用—面积问题，解题的关键是掌握矩形的面积来列方程求解。
解：∵设矩形的一边长为xcm,由矩形的周长为40cm，可得矩形的另一边长为（20－x）cm，根据矩形的面积是相邻两边长的积，可列出方程为 .
【答案】
知识点二 利用一元二次方程解决增长率问题
1.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月 ( http: / / www.21cnjy.com )份加工了13吨干果，设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．21cnjy.com
【解析】本题主要考查一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程应用中的增长率问题，解题的关键是找出题中的等量关系，根据等量关系列出方程．
解：由题意得：十月份加工干果数量为10(1+x)，十一月份加工干果数量为10(1+x)2，又已知十一月份加工了13吨干果，所以可方程为：10(1+x)2=13，
【答案】10(1+x)2=13www-2-1-cnjy-com
知识点三 利用一元二次方程解决其他实际问题
1.某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？2-1-c-n-j-y
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，本题的关键是弄清楚单循环赛的形式：即每两队之间都赛一场。设应邀请x支球队参赛，则每队共打 （x﹣1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为x（x﹣1）．21*cnjy*com
【答案】解：设应邀请x支球队参赛，根据题意可列出方程x（x﹣1）=28．整理得x2﹣x=28，解这个方程得 x1=8，x2=﹣7（不符合题意，舍去）， ∴x=8．
答：应邀请 8支球队参赛．
基础过关
1.已知3是关于x的方程x2－(m＋1 ( http: / / www.21cnjy.com ))x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )21·世纪*教育网
A．7 B．10 C．11 D．10或11
2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为( )【出处：21教育名师】
A．8 B．10 C．8或10 D．12
3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值达175亿元，若二、三月份工业产值不断上升，问二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程为( )【版权所有：21教育】
A. B.
C. D.
4.随着居民经济收入的不断提高以及 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得( )
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9
C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
5.公园有一块正方形的空地，后来从 ( http: / / www.21cnjy.com )这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图）原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为( )21*cnjy*com
A．(x+1) (x+2)=18 B．x2-3x＋16=0 C．(x-1) (x-2)=18 D．x2+3x＋16=0
6.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )．
A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36
7.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
8．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人.
A．12 B．10 C．9 D．8
9．如图，小李要在一幅长90 cm、宽40 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整幅挂图面积的54%.若设金色纸边的宽度是x(cm)，根据题意所列的方程是( )2
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A．(90＋x)(40＋x)×54%＝90×40 B．(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40
C．(90＋x)(40＋2x)×54%＝90×40 D．(90＋2x)(40＋x)×54%＝90×40
10.把棱长为30毫米的正方体钢材压成半径为x毫米,高为100毫米的圆柱形零件毛坯,那么可列出的方程是 .
11.如图，是长方形鸡场平 ( http: / / www.21cnjy.com )面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．某初三一班学生上军训课，把全班人数 ( http: / / www.21cnjy.com )的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生　 　人．
13.一个长为10m为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8cm,梯子的顶端下滑2m后,底端滑动__ _米．
14．商场某种商品平均每 ( http: / / www.21cnjy.com )天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)．
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
15．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮， ( http: / / www.21cnjy.com )他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求铁皮的面积
16.为进一步发展基础教育，自2014 ( http: / / www.21cnjy.com )年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．www.21-cn-jy.com
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
能力突破
1.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶 ( http: / / www.21cnjy.com )有宽度相同的花边． 如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．则花边的宽是（ ）分米．
( http: / / www.21cnjy.com )
A.1 B. C.1或 D.
2.李明同学在演算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案减少了35，则这个数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. -7 B. -5或7 C. 5或7 D. 7
3．一个直角三角形的两条直角边相差5㎝，面积是7㎝2，斜边的长是 。
4.一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒 ( http: / / www.21cnjy.com )出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，则每次倒出的液体是____L.21教育名师原创作品
5.一幅长20cm，宽12cm的图案 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图9，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2. 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度.
6.在直角墙角AOB（OA⊥OB,且O ( http: / / www.21cnjy.com )A,OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2,
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.8 ( http: / / www.21cnjy.com )0和1.00×1.00（单位；m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块。若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少
( http: / / www.21cnjy.com )
7.青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了万元，建成个公共自行车站点、配置辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资万元，新建个公共自行车站点、配置辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
8.全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2016年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．21教育网
（1）若2016年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ( http: / / www.21cnjy.com )，问2016年最低投入多少万元购买药品？
（2）2017年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 ( http: / / www.21cnjy.com )，但社区在这两方面的总投入仍与2016年相同．
①求2016年社区购买药品的总费用；
②据统计，2016年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 ( http: / / www.21cnjy.com )，与2016年相比，如果2017年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2017年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ( http: / / www.21cnjy.com )，求2017年该社区健身家庭的户数．
参考答案
知识梳理
1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
2. a(1＋m)n＝b，a(1－m)n＝b；实际问题，数学问题，建模
基础过关
1.D
2.B
3.D
4.A
5.C
6.C
7.A
8.C
9．B
10.
11.20m和7.5m或15m和10m
12．56
13.8
14．解：(1)2x，50－x.
(2)(50－x)(30＋2x)＝2100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.21教育
∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．
15．解：设此长方体箱子的底面宽是米，则长是米．
根据题意，得：，
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
∴此矩形铁皮的面积是（平方米）
答：铁皮的面积为35平方米。
16.解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：
6000(1＋x)2＝8640．
解得x＝0.2＝20%．
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）因为2016年该县投入教育经费为 ( http: / / www.21cnjy.com )8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为8640×（1＋0.2）＝10368（万元）．21世纪教育网版权所有
能力突破
1.A
2.B
3．
4.20
5.解：(1)根据题意可知：横彩条的宽度为xcm.
∴,整理得.
（2）根据题意可知：y==96. ∴.
整理，得.解得：x1=2，x2=16(舍去).∴=3.
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm.
6.解：（1）设矩形的长为x米，宽为（20﹣x）米，由题意得：
x（20﹣x）＝96，
x2 －20x+96=0
x1=12，x2=8 （舍去）
∴矩形的长为12米.
（2）规格为0.80×0.80的地板砖块数：96÷（0.8×0.8）＝150块；
规格为0.80×0.80的地板砖总费用：55×150＝8250元；
规格为1.00×1.00的地板砖块数：96÷（1.0×1.0）＝96块；
规格为1.00×1.00的地板砖总费用 :80×96＝7680元；
∵7680＜8250
∴用规格为1.00×1.00的地板砖费用少.
7.解：（1）设每个站点造价万元，自行车单价为万元．根据题意可得
解得：
答：每个站点造价为万元，自行车单价为万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为．
根据题意可得：
解此方程：　　　　
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为．
8.解：（1）设2016年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：30﹣x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )×30，
解得：x≥10，
则2016年最低投入10万元购买商品；
（2）①设2016年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2017年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，
则2016年购买药品的总费用为16万元；
②设这个相同的百分数为m，则2017年健身家庭的药品费用为200（1+m），
2017年平均每户健身家庭的药品费用为 ( http: / / www.21cnjy.com )（1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m） ( http: / / www.21cnjy.com )（1﹣m）=（1+50%）×14× ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：m=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵m＞0，∴m= ( http: / / www.21cnjy.com )=50%，
∴200（1+m）=300（户），
则2017年该社区健身家庭的户数为300户．
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