第21章 一元二次方程小结与复习学案（附答案）

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第二十一章 一元二次方程小结与复习
知识梳理
1.一元二次方程的定义及一般形式：
在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① ；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③ ，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为 的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程 .
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是 .
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，即 .
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程 实数根.
（4）b2－4ac≥0一元二次方程有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系：
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， .
5.一元二次方程的应用：
(1)列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤一样（ 、 、 、 、 、 ）．
(2)常见类型：①几何问题；②增长率问题；③利润问题等．
(3)增长率中的等量关系：
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长以后的量，则有a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降以后的量，则有a(1－m)n＝b.
(4)利润问题中的等量关系：
①利润＝售价－成本
②利润率＝×100%
(5)几何问题中的等量关系：常见几何图形的面积、体积公式．
重点突破
知识点一 一元二次方程的定义
1.有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④，⑤x3﹣3x+8=0，⑥．其中是一元二次方程的有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】本题主要考查一元二次方程的定义。根据一元二次方程的定义得到在所给的方程中是一元二次方程的有3x（x﹣4）=0，，所以有2个方程是一元二次方程。
【答案】A
知识点二 一元二次方程的解法
1.方程x2－3=0的根是 .
【解析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
解法一：∵，∴，∴，即，.
解法二：，∴，
∴，
即，.
解法三：∵，∴，∴，即，.
【答案】，
知识点三 一元二次方程根的判别式
1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程根的情况得到根的判别式的取值范围．①根据方程有两个不相等的实数根，得知根的判别式为正；②根据上面的结论列出不等式，解之即得m的取值范围；③根据m的取值范围，选取一个适当的m的值（易于计算即可）；④把选取的m的值代入方程；⑤解这个方程即可．
【答案】解：（1）∵原方程有两个不相等实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞；
（2）m＝1，则原方程为x2＋3x＝0，即x(x＋3)＝0，∴x1＝0，x2＝－3．（m取其他符合题意的值也可以）
知识点四 一元二次方程根与系数的关系
1.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
【解析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键. 解：由根与系数的关系式得：2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，解得：x2=﹣4，m=2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
【答案】D
知识点五 一元二次方程的应用
1.某市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28．8万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．20(1+2x)=28．8 B．28．8(1+x)2=20
C．20(1+x)2=28．8 D．20+ 20(1+x)+ 20(1+x)2=28．8
【解析】本题主要考查一元二次方程有关增长率应用问题，解题的关键是寻找等量关系构建方程．解：设观赏人数年均增长率为x，根据等量关系：2014年的观赏人数（1+年均增长率）2=2016年的观赏人数，列出方程为20(1+x)2=28．8，故选择C ．
【答案】C
基础过关
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A、 B、 C、 D、
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）
A． x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2
3.方程2（x+1）2=1化为一般式为（　　）
A．2x2+4x+2=1 B．x2+4x=﹣1 C．2x2+4x+1=0 D．2x2+2x+1=0
4.一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5.解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（　　）
（A）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
（C）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
（D）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
6.方程的解是（　　）
A. B. C. D.
7．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（　　）
A. B. 1 C. 或1 D. 2
8.方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．
9.已知m是关于x的方程的一个根，则= ．
10.若方程的两个根是和3，则的值分别为 。
11.已知方程的两根是；则： ， 。
12. 小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程 。（列出方程，不要求解方程）。
13．按要求解下列方程。
①（直接开平方法） ②（配方法）
③（因式分解法） ④2x2-10x-3=0（公式法）
14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是 . 请判断理由.
能力拓展
1.用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A. x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B. x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C. 2t2-7t-4=0化为 D. 3y2-4y-2=0化为
2.若x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
3.知x=-1是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
4.已知关于x的一元二次方程有两个实数根 .
(1)求m的取值范围；
(2)当 时，求m的值．
5.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.
（1）用含的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
参考答案
知识梳理
1. 2 ，，，，，
2.（1） ，
（2）化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数，配方，，，无解
（3）.
（4）0，一次因式
3. ，不等，，两个，，没有
4．，-
5.审、设、列、解、验、答
基础过关
1.D
2.D
3.C
4.A
5.D
6.B
7．C
8. x1＝－2，x2＝3
9.6
10. -1，6
11.7，3
12.π（x+5）2=4πx2
13．
① 2x-1=±3,∴x1=2,x2=－1；
② ，∴x+=±,∴x1=1, x2=－4
③ (x+2)(x-4)=0,∴x1=－2, x2=4;
④ 2x2-10x-3=0 ∴x1= x2=
14.选B，
理由如下：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
即
即一次函数的图像经过一、三、四象限。
能力拓展
1.B
2. B
3.1
4.解：(1)∵原方程有两个实数根
∴ 即：
解得：
(2)∵， 且
∴，即
∴
∴
∵
∴符合条件的m的值为
5.解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；
所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，
当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，
解得a1=2，a2=48（舍去），
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．
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