22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学案（附答案）

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22.1.2二次函数的图象和性质
基础梳理
1.二次函数的图象：
二次函数的图象是 .二次函数的图象都是一条抛物线。
2.抛物线的意义：
（1）所有二次函数的图象都是一条抛物线，但是抛物线 都是二次函数的图象，开口 的抛物线才是二次函数的图象.
（2）抛物线是 ，每一条抛物线都有 ，如y=ax2的二次函数对称轴是 。
（3）顶点： 的交点叫做抛物线的顶点， 是抛物线的最低点或最高点.
3.二次函数的图象和性质：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a＞0 上 直线x=0 (y轴) (0,0)最低点 x=0,y最小值=0 x＞0，y随x的增大而增大x＜0，y随x的增大而减小
a＜0 下 （0,0）最高点 x=0,y最大值=0 x＞0，y随x的增大而减小x＜0，y随x的增大而增大
决定抛物线开口程度.越大开口越小.
重点突破
知识点一 二次函数的性质
1.抛物线，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】本题主要考查二次函数的性质。抛物线，y＝x2的开口向下，①错误；
抛物线，y＝x2，y＝－x2的顶点为（0，0），②③正确，④错误，故选择B．
【答案】B
知识点二 二次函数的图像与系数的关系
1.二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
【解析】本题主要考查一次函数、二次函数的图象与系数的关系。A 由抛物线知a＞0，有直线知a＜0，矛盾；B 由直线上升知a＞0，由直线与y轴交点在负半轴知a＜0，矛盾；C 由抛物线知a＜0，由直线知a＜0；D 由抛物线知a＜0，由直线知a＞0，矛盾。 故选C
【答案】C
基础过关
1.函数y＝2x2，y＝－3x2，y＝x2的图象的共同点是( )
A．都关于y轴对称，开口向上 B．都关于y轴对称，开口向下
C．都关于原点对称，顶点在原点 D．都关于y轴对称，顶点在原点
2.抛物线y=x2，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A． y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
3.二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a＞0)在同一坐标系里，大致图象是( )
4.二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知点A(－1，y1)、点B(－，y2)、点C(－2，y3)都在函数y＝－x2的图象上，则( )
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3
6.下列说法错误的是( )
A．二次函数y＝3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C．二次函数y＝ax2图象中，开口方向与a无关
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
7.给出下列函数：①y＝3x；②y＝－3x－1；③y＝－5x2(x<0)；④y＝x2(x<0)，其中y随x的增大而增大的函数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8.当m= 时，抛物线开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
9.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 .
10.抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= .
11.抛物线y＝(m＋1)x2上有点A(－5，2)，则它的对称点B的坐标是___________.
12.在函数y＝－x2中，当－313.已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A,B两点，则△AOB的面积为________________.
14.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与y=x2开口大小相同，方向相反.
15.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
能力拓展
1.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c＞d B.a＞b＞d＞c C.b＞a＞c＞d D.b＞a＞d＞c
2.如图，是函数y1＝3x2，y2＝(1－k)x2，y3＝(k－2)x2的图象，则k的取值范围是__________．
3.函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数．
(1)若其图象开口向上，求函数的关系式；
(2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式．
4.已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x为何值时，它有最大(小)值，是多少？
5.有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6 m，跨度为8 m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)若要在离地面4.5 m的隧道壁上，安装两盏照明灯，求两灯之间的距离．
6.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
参考答案
基础梳理
1.一条抛物线
2.（1）不一定，向上或者向下
（2）轴对称图形，对称轴， y轴
（3）抛物线与对称轴，顶点
基础过关
1.D
2.C
3.B
4.C
5.A
6.C
7.C
8.2，y轴，减小，增大
9.向下,y轴,(0,0)
10.±3,-24
11. (5，2)
12.－913.2
14.(1)∵y=ax2过点(-3，2)， ∴2=a×(-3)2，则a=.
∴解析式为y=x2.
(2)∵y=ax2与抛物线y=x2开口大小相同，方向相反，
∴a=-. ∴解析式为y=-x2.
15. (1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).
将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12， 得a=1.
即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
能力拓展
1.A
2.13.解：∵函数y＝(m－3)xm2－3m－2为二次函数，∴m2－3m－2＝2，解得m＝－1或m＝4　(1)∵函数图象开口向上，∴m－3＞0，∴m＝4，此时函数关系式为y＝x2　(2)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－3＜0，∴m＝－1，此时函数关系式为y＝－4x2
4.解：(1)y＝－2x2
(2)x>0　(3)x＝0，y最大值＝0
5.解：(1)y＝－x2
(2)设两灯为点P、点Q，则它们的纵坐标为－1.5，令－x2＝－，解得x1＝－2，x2＝2，∴两灯间的距离PQ＝4 m
6.解：∵点A(-1,-1)在抛物线y=ax2(a≠0)上，也在直线y=kx-2上，
∴-1=a·(-1)2,-1=k·(-1)-2,
解得a=-1,k=-1.
∴两函数的解析式分别为y=-x2,y=-x-2.
解得x1=-1,x2=2,
y1=-1,y2=-4.
∴点B的坐标为(2，-4).
∵y=-x-2与y轴交于点G，则G(0,-2)，
∴S△OAB=S△OAG+S△OBG=×(1+2)×2=3.
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