22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学案（附答案）

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22.1.3 二次函数的图象和性质
知识梳理
1.二次函数的图象和性质：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a＞0 直线 ( ) ( )最低点 x= ,y最小= x＞0，y随x的 x＜0，y随x的
a＜0 （ ）最高点 x= ,y最大= x＞0，y随x的 x＜0，y随x的
决定抛物线开口程度.越 开口越 .
2.二次函数的图象和性质：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a＞0 直线 ( )最低点 x= ,y最小= x＞h,y随x的 x＜h,y随x的
a＜0 ( )最高点 x= ,y最大= x＞h,y随x的 x＜h,y随x的
决定抛物线开口程度.越 开口越 .
3.二次函数的图象和性质：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a＞0 直线 ( )最低点 x= ,y最小= x＞0，y随x的 x＜0，y随x的
a＜0 （ ）最高点 x= ,y最大= x＞0，y随x的 x＜0，y随x的
决定抛物线开口程度.越大开口越小.
4. 二次函数图象平移规律：抛物线的平移遵循“左 右 ，上 下 ”的原则，具体为：
重点突破
知识点一 二次函数的性质
1.抛物线y = 3(x 2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( )
　　A．开口向下，对称轴为x = 2，顶点坐标为( 2，4)
　　B．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4)
　　C．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2， 4)
D．开口向下，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4)
【解析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。此题对照顶点式，a=-3，h=2，k=4.所以开口向下，对称轴轴为x=2，顶点坐标为(2,4)
【答案】D
2.二次函数的最小值为 ．
【解析】本题主要考查二次函数的基本性质—最值问题，解题的关键是掌握二次函数的性质．此题根据函数的表示形式可直接读出图象的顶点坐标，即可得到答案．∵a＝2，抛物线开口向上，顶点位置最低，∴这个二次函数有最小值．当x＝3时，y的最小值为－4．故答案为－4．
【答案】－4
知识点二 二次函数图象的平移规律
1. ( cm )将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线对应的函数解析式是( )
A． B．
C． D．
【解析】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律．按照“左加右减、上加下减”的变换方式先把x变为x-2，再整体-3．即，故选择B．
【答案】B
基础过关
1.二次函数和，以下说法：①它们的图象都是开口向上；
②它们的对称轴都是轴，顶点坐标都是原点（0,0）；
③当时，它们的函数值都是随着的增大而增大；
④它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.一次函数和二次函数的图象大致所示中的（　 　）
A B． C． D．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k，则下列结论正确的是( )
A.h>0,k>0 B.h<0,k>0 C.h<0,k<0 D.h>0,k<0
4.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是( )
A.（3，1） B. （3，-1） C. （-3，1） D. （-3，-1）
5.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )
A.y=(x+2)2+3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-2)2-3
6.已知二次函数y=2（x-3）2+1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2
9.已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y=x2-1上，下列说法中正确的是( )
A.若y1=y2，则x1=x2 B.若x1=-x2，则y1=-y2
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2
10.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须( )
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
11.将二次三项式x2＋4x＋5化成（x＋p）2＋q的形式应为 ．
12.将抛物线y＝3(x－4)2＋2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式是____________．
13.如图，隧道的截图由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用y=-x2+4表示.（1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
14.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
能力拓展
1.如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是( )
A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1
2.已知二次函数 在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
3.二次函数y=－（x－1）2+5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为( )
（A） （B）2 （C） （D）
4.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上. (1)求抛物线的解析式；(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形ABCD的周长为 ,求与t之间函数关系式.
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与轴的交点为D。
（1）求直线BC的解析式。
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为轴上两点，其中，，F分别垂直于轴，交抛物线与点，，交BC于点M，N，当的值最大时，在轴上找一点R，使得值最大，请求出R点的坐标及的最大值。
6.如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．
参考答案
知识梳理
1.上，下，x=0，y轴，(0,k)，(0,k)，0，k，0，k，增大而增大，增大而减小，增大而减小，增大而增大，大，小
2. 上，下，x=h,(h,0)，(h,0)，h，0，h，0，增大而增大，增大而减小，增大而减小，增大而增大，大，小
3. 上，下，x=h,(h,k)，(h,k)，h，k，h，k，增大而增大，增大而减小，增大而减小，增大而增大，大，小
4. 加，减，加，减
基础过关
1.B
2.B
3.A
4.A
5.B
6.A
7.D
8.A
9.D
10.B
11.（x＋2）2＋1
12. y＝3(x－5)2－1
13. 解：（1）把y=4-2=2代入y=-x2+4得： 2=-x2+4， 解得x=±2，
∴此时可通过物体的宽度为2-（-2）=4＞2，
∴能通过.
（2）∵货车上面有2 m在矩形上面，当y=2时 2=-x2+4，
解得x=±2，∵2＞2，∴能通过.
14.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-4.
∵二次函数的图象过点B(3,0)，
∴0=4a-4，解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x-1)2-4，
即y=x2-2x-3.
(2)令y=0，得x2-2x-3=0，
解得x1=3，x2=-1.
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0).
∴二次函数的图象向右平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得的图象与x轴的另一个交点的坐标为(4,0).
能力拓展
1.C
2. B
3.D
4. 解：（1）∵OM=ON=4
∴M（4,0），N（0,4）
设抛物线的解析式为y=a(x-4)2(a≠0)
把N（0,4）代入上式得
∴
（2）设
,
CD=2DM=2(t-4)
5.解：⑴
⑵
故：
当时，最大，
此时
∴
∴,
6.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2，
∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值=32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．
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