22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质学案（附答案）

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22.1.4二次函数的图象和性质
知识梳理
1.二次函数的图象和性质：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a＞0 直线 最 点 y最小= y随x的 y随x的
a＜0 最 点 y最大= y随x的 y随x的
决定抛物线开口程度.越 开口越 .
2.二次函数图象与系数关系的判断方法归纳：
（1）二次项系数a（a≠0）决定抛物线的开口方向和大小：
当 时，抛物线 开口；
当 时，抛物线 开口；
|a|越 ，则抛物线的开口越 .
（2）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
当a与b同号时（即 ），对称轴在 ；
当a与b异号时（即 ），对称轴在 .
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点：
抛物线与y轴交于 . 交于 ， 交于 .
（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数：
当 时，抛物线与x轴有 交点；
当 时，抛物线与x轴有 交点(此交点为抛物线顶点)；
当 时，抛物线与x轴 交点；
（5）当x=±1时，可以求出代数式 的值或取值范围.
3.待定系数法求二次函数的解析式：
(1)已知条件为图象经过三个已知点或已知x、y的 对应值时，可设解析式为一般形式： .
(2)当题给条件为已知图象的 时，可设解析式为顶点式： .
(3)当题给条件为已知图象与 时，可设解析式为两根（交点）式： .
重点突破
知识点一 二次函数的性质
1.点P1(-1，yl)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+ c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1 B．y3>y1=y2 C．y1>y2>y3 D．y1=y2>y3
【解析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性等性质．解：当x=-1时y1=-(-1)2+2(-1)+c=-3+c；当x=3时y2=-32+2×3+c=-3+c；当x=5时y3=-52+2×5+c=-15+c，因为-3+c=-3+c>-15+c，所以y1=y2>y3，故选择D .
【答案】D
知识点二 二次函数图象与系数关系
1.一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ 　 ）
【解析】本题主要考查一次函数、二次函数图象与系数之间的关系. 当x＝0时，都有y＝c，所以直线和抛物线都过点（0，c），排除A；对于B，由直线知a<0，由二次函数知a＞0，矛盾；对于C，由直线知a＞0，由二次函数图象知a＜0，矛盾，只有D符合，故选择D.
【答案】D
知识点三 待定系数法求二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为_ ____ _.
【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式.将(-1,0)，（0，-2），(1,-2)的坐标代入二次函数y=ax2+bx+c的解析式中，可以得出一个关于a、b、c的方程组，即0=a-b+c, -2=c , -2=a+b+c. 解方程组得 a=1 b=-1 c=-2.所以解析式为y=x2-bx-2.
【答案】y=x2-bx-2
基础过关
1.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y=(x-1)2+2 B．y=(x-1)2+3 C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-2)2+4
2.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是（ ）
A.(-3,-6) B.(1,-4) C.(1,-6) D.(-3,-4)
3.二次函数的图象如图3所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a+c0，其中正确的个数是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）
A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
5.无论m为任何实数，抛物线y＝＋（2－m）x＋m总过的点是（ ）
A（1，3） B（1，0） C（－1，3） D（－1，0）
6.如果抛物线的顶点到轴的距离是3，那么的值等于（ ）
A、8 B、14 C、8或14 D、-8或-14
7.若二次函数y=x2-2mx+1+m2．当≤3时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A．=3 B．>3 C．≥3 D．≤3
8.对于二次函数y=x2＋x－4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为（－2，－7） D．图象与x轴有两个交点
9.抛物线的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线为，原抛物线为（ ）
10.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线__________________________.
11.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________．
12.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_________________________.
13. 已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.
（1）求二次函数的图象的解析式；
（2）设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.
14.如图，抛物线过点O（0，0），A（3，3）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，求四边形OMAB的面积．
能力拓展
1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、B(1，0)．直线x= -0.5与次抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD．某同学根据图象写出下列结论：①a-b=0； ②当-20; ③四边形ABCD是菱形； ④9a+3b+c>0．你认为其中正确的是（　 　）
A、②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②③
2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（-1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1
3.如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－．其中正确的结论是______．（只填写序号）
5.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由.
6.如图，已知二次函数的图象经过A(2,0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
参考答案
知识梳理
1.上，下，，，低，，高，，，增大而增大，增大而减小，增大而减小，增大而增大，大，小
2.（1）a＞0，向上；a＜0，向下；大，小.
（2）ab＞0， y轴左；ab＜0， y轴右.
（3）（0，c）.c＞0 y轴正半轴，c＜0 y轴负半轴.
（4）b2-4ac＞0，两个；b2-4ac=0，一个；b2-4ac＜0，没有；
（5） a+b+c和a-b+c.
3.(1)三对，．
(2)顶点坐标或对称轴， .
(3) x轴的两个交点坐标，
基础过关
1.B
2.C
3.C
4.A
5.A
6.C
7.C
8.B
9.D
10. x=-1
11.（1，4）
12.
13. 解：(1)因为图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0），所以设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-3),因为A（-2，0）、B（3，0），所以对称轴为，所以顶点为,代入得 ，所以解析式为
(2)∵A（-2，0）、B（3，0）
∴AB=5
∵函数有最大值是2.
∴yp=2
∴
14.解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点O（0，0），A（3，3）和B（4，0），
∴c＝0；9a+3b+c＝3；16a+4b+c＝0
解得
a＝ 1，b＝4，c＝0
所以，抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（2）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4；
∴顶点坐标为（2，4），
能力拓展
1.D
2.B
3.
4.①③④
5.解：(1)将点O(0，0)代入二次函数y=x2-2mx+m2-1中，得0=m2-1.解得m=±1.
∴二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2-2x.
(2)
当m=2时，二次函数解析式为
y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，-1).
(3)存在.连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC+PD最短.设经过C、D两 点的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，则将C(0，3),D(2，-1)两点坐标代入解析式中
解得k=-2，b=3.∴y=-2x+3.
令y=0，可得-2x+3=0，解得x=.
∴当P点坐标为( ，0)时，PC+PD最短.
6.解：(1)把A(2,0)，B(0，－6)代入，
解得b=4 c=-6.
∴这个二次函数的解析式为.
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝4，
∴点C的坐标为(4,0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.
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