22.2 二次函数与一元二次方程学案（附答案）

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22.2二次函数与一元二次方程
知识梳理
1.二次函数与一元二次方程的关系：
二次函数，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程即.此时，函数图象与 即方程有 .函数与x轴交点的横坐标即为方程的根（与坐标轴几个交点,方程就有几个根）.
2.抛物线的图象与坐标轴的交点：
（1）抛物线与y轴交点：
二次函数图象与 ，交点坐标为 .即一元二次方程当x=0时，y=c.
（2）抛物线与x轴交点：
①当 时，抛物线与x轴有2个交点，交于两点A和B，x1、x2是方程的两根，，这两点间的距离AB= .
②当 时，抛物线与x轴有 个交点；
③当 时，抛物线与x轴 交点.
3.其他：
（1）当a＞0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y＞0；当a＜0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y＜0．
（2）利用二次函数的图像求方程的 ，就是对方程进行变形，把所求方程的解分解为求两个函数的 ，然后观察图像的交点得到坐标值，把这个坐标的x值作为方程的近似解。
重点突破
知识点一 二次函数与一元二次方程之间的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的坐标为（2，0）（－5，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是_____________
【解析】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系.二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标即是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根。所以方程的根为x1=2,x2=-5.
【答案】x1=2,x2=-5
2.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2
【解析】本题主要考查函数值与自变量取值范围之间的关系，需要数形结合考虑.由图象可知抛物线与x轴两个交点的横坐标为-1 ，2 。即y=0时，x1=-1，x2=2。函数值y＜0对应的图象为x轴下方的部分，结合所给的图象可以判断函数值y＜0时x的取值范围-1＜x＜2
【答案】C
知识点二 利用二次函数估算一元二次方程的近似解
1.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
【解析】本题主要考察利用二次函数估算一元二次方程的近似解.设y=ax2+bx+c。由表格可知x＞3.23时，y随x的增大而减小。当x=3.24时，y=-0.02；当x=0.25时，y=0.03；所以ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是3.24＜x＜3.25
【答案】C
基础过关
1.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A、 a>0 B、c<0
C、3是方程的一个根 D、当x<1时，y随x的增大而减小
2.抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是( )
A.x＜2 B.x＞-3 C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1
3.若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为( )
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
4.方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.3 的实根所在的范围是( )．
A． B． C． HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" EMBED Equation.3 D．
5.若二次涵数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1A． a>0 B．b2－4ac≥0 C．x16.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
7.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是( )
A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
8．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为( )
A． B． C． D．
9.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　 　．
11.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　　　.
12.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是
13.若二次函数y＝x2－2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是____________．
14.已知：一元二次方程x2+kx+k﹣1=0．
（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式.
能力拓展
1.已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．－3 D．0
2.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（　 　）
A． ①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
3.已知：二次函数y=x2－2（m－1）x+m2－2m－3，其中，m为实数。
求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴总有两个交点
4.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0，x2<0；
(3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.
5.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
6.已知抛物线y=mx2+(1－2m)x+1－3m与x轴相交于不同的两点A，B．
(1)求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由．
参考答案
知识梳理
1.x轴有无交点 无实数根
2.（1）y轴一定相交， (0，c).
（2）① ，2， |x2-x1|.
② ，1
③，没有.
3.其他：
（2）近似解，交点坐标
基础过关
1.C
2.C
3.D
4.C
5.D
6.D
7.D
8．D
9.B
10.8
11. x=-1
12.
13.m＜1．
14.解：（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．
∵xA+xB=﹣2k，xA xB=2k﹣1，
∴|xA﹣xB|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，
解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．
∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣1.
能力拓展
1.A
2.C
3.y＝x2-2(m-1)x＋m2-2m-3
令y=0
即x2-2(m-1)x＋m2-2m-3 =0
△=4(m-1)2-4(m2-2m-4)
=4m2-8m+4-4m2+8m+16
=20>0
∴方程有2个不等的实数解,
即不论m取任何实数,该抛物线必与x轴有两个交点
4.(1)由题意可知：
Δ=［-(2k-3)］2-4(k2+1)>0，
即-12k+5>0，∴k<.
(2)∵k<，∴x1+x2=2k-3<0,
x1·x2=k2+1>0.
∴x1<0，x2<0.
(3)依题意，不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，
∵x1<0，x2<0，
∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1.
∵OA+OB=2OA·OB-3，
∴-(2k-3)=2(k2+1)-3.
解得k1=1，k2=-2.
∵k<，∴k=-2.
5.（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S= AM EM=．
6.解：（1）∵y=mx2+(1－2m)x+1－3m是二次函数，∴m≠0．∵抛物线与x轴相交于不同的两点，∴△=(1－2m)2－4m(1－3m)=16m2－8m+1=(4m－1)2＞0，∴4m－1≠0，解得m≠．
综上可知，m的取值范围是m≠0，且m≠．
（2）y=mx2+(1－2m)x+1－3m=mx2+x－2mx+1－3m=m(x2－2x－3)+x+1，故只要x2－2x－3=0，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点．解x2－2x－3=0，得x1=3，x2=－1．
当x=3时，y=9m+3－6m+1－3m=4，即P(3，4)；
当x=－1时，y=m－1+2m+1－3m=0，点(－1，0)是x轴上的一点，不合题意，舍去．
∴该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，点P的坐标为(3，4)．
（3）一元二次方程mx2+(1－2m)x+1－3m=0中，由求根公式，得
∴x=，即x=，∴x1=3－，x2=－1．
当＜m≤8时，3－＞－1，∴AB=3－－(－1)=4－；
S△ABP=×(4－)×4=2(4－)．
∵＜m≤8，∴≤＜4，
∴当取最小值时，2(4－)有最大值，
即△ABP的面积有最大值，此时m=8．
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