22.3 实际问题与二次函数(1)学案（附答案）

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22.3实际问题与二次函数(1)
知识梳理
1.二次函数实际应用题的主要思想：
（1） 思想——实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题.
①方案设计最优问题：费用最低、利润最大、储量最大等等
②面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题.
（2） 思想——从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题思维过程.
①建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题.
②方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题.
③根据实际问题情境抽象出二次函数模型.
（3） 思想——图象上的动点问题及几何图形的形状的确定.
（4） 的思想——二次函数与其他知识的综合题时经常用到.
2.利用二次函数解决抛物线形问题：一般是先根据实际问题的特点建立 ，设出合适的 的解析式，把实际问题已知条件转化为 ，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为 的答案.
重点突破
知识点一 利用二次函数解决实际问题
1.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，求水面的宽度.
【解析】本题主要考查利用二次函数解决实际问题，合理的建立坐标系是解题的关键.因为此题拱桥为抛物线形，故根据题意建立合理的坐标系，将此问题转化成二次函数问题.
【答案】解：
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为y=mx2，
将A（2，-2）代入得，
得 ∴
把y=-3代入的
故水面宽为
知识点二 利用二次函数解决最大面积问题
1.如图所示,某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成,若花园的BC边长为x米,花园的面积为y（m2）
（1）求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能,求出此时x的值;若不能,说明理由;
（3）请结合题意,判断当x取何值时,花园的面积最大？
【解析】本题主要考查利用二次函数解决最大面积问题，利用已知条件列出函数表达式是解题的关键。（1）已知矩形的长和周长可表示宽,运用公式表示面积,根据墙宽得x的取值范围;
（2）求当y=200时x的值,根据自变量的取值范围回答问题;
（3）根据函数关系式运用性质求最值．
【答案】解：（1）根据题意得： （0＜x≤15）
（2）不能
∵,解得：x1=x2=20＞15,
∴花园面积不能达到200m2;
（3）∵=
∴函数图象顶点为（20,200）且开口向下,∴当x＜20时,
y随x的增大而增大,而0＜x≤15
∴当x=15时,y最大,即x=15m时,花园面积最大
基础过关
1．长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）．
A．y=(10－x)(20－x) (0＜x＜5) B．y=10×20－4x2 (0＜x＜5)
C．y=(10－2x)(20－2x) (0＜x＜5) D．y=200+4x2 (0＜x＜5)
2．下列关系中，可看作二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ）．
A．在一定距离内，汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年增长率为0.5%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．圆的周长与半径之间的关系
D．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不记空气阻力)
3.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2
4如图，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（ ）．
A．6 B．4 C．3 D．1
5.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
6.写出等边三角形的面积S与其边长之间的函数关系式为 .
7.已知一个长方形场地的周长为60，一边长为m，请你写出这个长方形场地的面积S与这条边长m之间的函数关系式_ _．
8.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，那么该矩形面积的最大值为 m2．
9.用铝合金型材做一个形状如图(1)所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图(2)所示．观察图象，当x＝ 时，窗户透光面积最大
10.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－18x2＋12x＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 _米．
11.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 ．
12.把一根长为120cm的铁丝分成两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和是多少？它们的面积和最小是多少？
13.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
能力拓展
1.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2，4)与B（6，0）.
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标X的函数表达式，并求S的最大值.
3.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m.
①问此球能否投中
②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功
参考答案
知识梳理
1.转化；建模；运动；分类讨论.
2.平面直角坐标系，二次函数，点的坐标，实际问题.
基础过关
1．C
2．D
3. C
4. C
5.2
6.
7. S＝－m2＋30m (0＜m＜30)
8.144
9.1
10.2
11. y=
12.解：设将铁丝分成长为xcm、(120－x)cm的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为cm，cm，由题意设面积和为y，则：y＝()2＋()2＝－15x＋900＝(x－60)2＋450(0＜x＜120)．当x＝60时，最小值y＝450．
答：它们的面积和为y＝－15x＋900(0＜x＜120)；最小值为450．
13.解：以抛物线对称轴为y轴，以直线AB为x轴建立坐标系。
可设抛物线方程为y=a(x+2)(x-2),且过点
（0,3.2）代入可求出a=-0.8
抛物线解析式为y=-0.8x2+3.2
代入x=2.4/2=1.2,得
y=3.2-0.8×1.44=3.2-1.152=2.048
故不能通过.
能力拓展
1.C
2.解：（1）将A(2，4)与B（6,0）代入y=ax2+bx,得，解得.
（2）如图过点A作x轴的垂线，垂足为D（2,0），连接CD,过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥x轴于点F.
S△OAD=,S△ACD==2x-4,
S△BCD=(-x2+3x)=-x2+6x.
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+（2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,
所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2＜x＜6)
因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时，四边形ABCD的面积S取最大值，最大值为16.
3.解：
①首先建立坐标系，由题意得，顶点B（4，4），
令抛物线的解析式为y=a（x-4）2+4，
解得：
∴．
当x=7时，y=3．
∴球能准确投中．
（2）由（1）求得的函数解析式，
当y=3.19时，
解得：x1=6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x2=1.3，
∴球员乙距离甲球员距离小于1.3米时，即可盖帽成功．
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