第22章二次函数小结与复习学案（附答案）
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第二十二章 二次函数小结与复习
知识梳理
1.二次函数的概念：
一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。（强调：二次项系数，而可以为零．二次函数自变量的取值范围是 ．）
2. 二次函数图象平移规律：
左 右 ，改变 ；上 下 ，改变 ．
3.二次函数的性质：
(1)当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 ．
当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最小值．
(2)当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 ．当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最大值．
4.二次函数解析式的表示方法：
一般式： （，，为常数，）；
顶点式： （，，为常数，）；
两根式(交点式)： （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
5.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1）二次项系数
⑴当时，抛物线开口向 ，的值越大，开口越 ，反之的值越小，开口越 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，的值越小，开口越 ，反之的值越大，开口越 ．
总结起来，决定了抛物线 ，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2）一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴 侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的 侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴 侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的 侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“ ”
总结：
3） 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
6. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于 ，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴 ；
③ 当时，图象与轴 .
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
7.二次函数的实际应用
（1）主要思想
转化思想——实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题.
建模思想——从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题思维过程
运动思想——图象上的动点问题及几何图形的形状的确定.
分类讨论思想——二次函数与其他知识综合题时经常用到.
（2）一般步骤
审:读懂题目、审清题意，明确已知和未知之间关系．
画:画出符合题意的草图，建立恰当的平面直角坐标系.
设:设符合题意和图形的二次函数解析式．
解:根据待定系数法或方程确定二次函数的解析式求解.
答:写答案注意解题时的解可能不符合题意，定要检验.
（3）实际应用的类型题
确定解析式问题 分析数量关系问题 利润最值问题
几何图形问题 建构函数模型问题 运动变化问题
重点突破
知识点一 二次函数的图象与性质
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣，其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【答案】C
知识点二 二次函数与一元二次方程的关系
1.若函数y＝（a－1）x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
【解析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图象与性质.当a＝1时，函数y＝（a－1）x2－4x＋2a＝－4x＋2，其图象与x轴的交点为（，0）；当a≠1时，因为△= ，解得a＝2或－1 .
【答案】1，2或－1 .
基础过关
1.下列函数中：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .不是二次函数的是( )
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(3) D. (2)(4)
2.若是关于的二次函数，则( )
A. B. C. D.
3.二次函数y＝x 2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A. 开口向上、顶点坐标为（ －1，－4） B. 开口向下、顶点坐标为（ 1，4）
C. 开口向上、顶点坐标为（ 1，4） D. 开口向下、顶点坐标为（ －1，－4）
4.抛物线y=x2+2x+m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．m>2 C．05.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.以为自变量的二次函数＝的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是( )
A．≥ B．≥1或≤－1 C．≥2 D．1≤≤2
7.如图，已知二次函数的图象经过A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下列说法中错误的是 （ ）
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1
8.如图，抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：①4ac＜；②方程＝0的两个根是，；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大.其中结论正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.已知：如图，一次函数y＝－2x＋3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B．若AC∶CB＝1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为 ．
10.已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小： _（填“>”，“<”或“=”）
11.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元．为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
能力拓展
1.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P,抛物线L经过OPA三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.
（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出O、P、A三点坐标；求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
2.如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．21cnjy.com
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标；21·世纪*教育网
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG．当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M．DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
知识梳理
1.y=ax2+bx+c，全体实数．
2.加，减，自变量；加，减，函数值．
3. (1)．减小；增大；
(2 )．增大；减小；
4.；；
5.1）上，小，大；下，小，大．开口的大小和方向
2）左，右；右，左；左同右异
3） 正，0，负
6. 两点，只有一个交点， 没有交点.
基础过关
1.B
2.D
3.A
4.A
5.C
6.A
7.B
8.B
9.．
10.＞
11.解：（1）根据题意，得
y＝(6－x)(200＋20x)＝－20x2－80x＋1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝－20x2－80x＋1200；
（2）令y＝960，得－20x2－80x＋1200＝960，
解得x1＝2，x2＝－6（舍去），
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
能力拓展
1. 解：
（1） 建立如图所示的坐标系，∵四边形OABC是正方形，点P是对角线的交点，∴O（﹣2,0），A（2,0），P（0,2）；
（注意：由于本题要求建立适当的坐标系，所以此答案不是唯一的.）
∵抛物线的顶点在y轴上
∴设抛物线的表达式为y=ax2+b（a≠0）
把A（2,0），P（0,2）代入y=ax2+b（a≠0）中，
得0=4a+2
∴a= ∴表达式为y=x2+2.
（注意：由于本题要求建立适当的坐标系，所以此答案不是唯一的.）
(2) ∵E点在正方形内的抛物线上，
∴设E点的坐标为（x，x2+2），且x2+2>0，
过E点做EN⊥OA，交OA于点N，
过E点做EM⊥OC,交OC于点M，
∴ME+EN=x+（x2+2）
=x2+x+2
∵﹣2≤x≤2
∴ 当x==1时， (ME+EN)最大值=×12 +1+2=
∵S△OAE+S△OCE
=×OC×ME+×OA×EN
∵OC=OA=4
∴S△OAE+S△OCE
＝×4×(ME+EN)
＝×4×
＝5.
∴△OAE与△OCE面积之和的最大值为5.
2.解：（1）∵点B与点A(－1，2)关于y轴对称，
∴点B的坐标为(1，2)．
∵抛物线经过点A和点B，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的顶点为，
∴可设抛物线表达式为，
将点(1，2)代入得2＝a＋，∴a＝－，
∴抛物线的函数关系表达式为y＝－x2＋；
（2）令y＝－x2＋＝0，解得x1＝3，x2＝－3．
∴点C的坐标为(3，0)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋m（k≠0），则
，解得，
∴直线AC的表达式为y＝－x＋．
设点F的坐标为，
如解图①，要四边形OEFG是正方形，则点F只能在第一象限，且f＝－ f＋，
解得f＝1，则点F的坐标为(1，1)；（6分）
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图① 图②
（3）如解图②，∵平移距离为t（0≤ t ≤2），
∴点E的坐标为(1＋t，0)，点D的坐标为(t，0)，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
∴．
要使△DMN是等腰三角形，
则有（i）DM＝MN，即，解得t1＝1，t2＝3（舍）；
（ii）DM＝DN，即，解得t＝；
(iii)DN＝MN，即，解得t1＝3－，t2＝3＋（舍）．
综上，当t＝1或或3－时，△DMN为等腰三角形．
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第二十二章 二次函数小结与复习
知识梳理
1.二次函数的概念：
一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。（强调：二次项系数，而可以为零．二次函数自变量的取值范围是 ．）
2. 二次函数图象平移规律：
左 右 ，改变 ；上 下 ，改变 ．
3.二次函数的性质：
(1)当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 ．
当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最小值．
(2)当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 ．当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最大值．
4.二次函数解析式的表示方法：
一般式： （，，为常数，）；
顶点式： （，，为常数，）；
两根式(交点式)： （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
5.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1）二次项系数
⑴当时，抛物线开口向 ，的值越大，开口越 ，反之的值越小，开口越 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，的值越小，开口越 ，反之的值越大，开口越 ．
总结起来，决定了抛物线 ，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2）一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴 侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的 侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴 侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的 侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“ ”
总结：
3） 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
6. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于 ，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴 ；
③ 当时，图象与轴 .
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
7.二次函数的实际应用
（1）主要思想
转化思想——实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题.
建模思想——从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题思维过程
运动思想——图象上的动点问题及几何图形的形状的确定.
分类讨论思想——二次函数与其他知识综合题时经常用到.
（2）一般步骤
审:读懂题目、审清题意，明确已知和未知之间关系．
画:画出符合题意的草图，建立恰当的平面直角坐标系.
设:设符合题意和图形的二次函数解析式．
解:根据待定系数法或方程确定二次函数的解析式求解.
答:写答案注意解题时的解可能不符合题意，定要检验.
（3）实际应用的类型题
确定解析式问题 分析数量关系问题 利润最值问题
几何图形问题 建构函数模型问题 运动变化问题
重点突破
知识点一 二次函数的图象与性质
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣，其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【答案】C
知识点二 二次函数与一元二次方程的关系
1.若函数y＝（a－1）x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
【解析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图象与性质.当a＝1时，函数y＝（a－1）x2－4x＋2a＝－4x＋2，其图象与x轴的交点为（，0）；当a≠1时，因为△= ，解得a＝2或－1 .
【答案】1，2或－1 .
基础过关
1.下列函数中：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .不是二次函数的是( )
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(3) D. (2)(4)
2.若是关于的二次函数，则( )
A. B. C. D.
3.二次函数y＝x 2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A. 开口向上、顶点坐标为（ －1，－4） B. 开口向下、顶点坐标为（ 1，4）
C. 开口向上、顶点坐标为（ 1，4） D. 开口向下、顶点坐标为（ －1，－4）
4.抛物线y=x2+2x+m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．m>2 C．0
A．1 B．2 C．3 D．4
6.以为自变量的二次函数＝的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是( )
A．≥ B．≥1或≤－1 C．≥2 D．1≤≤2
7.如图，已知二次函数的图象经过A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下列说法中错误的是 （ ）
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1
8.如图，抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：①4ac＜；②方程＝0的两个根是，；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大.其中结论正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.已知：如图，一次函数y＝－2x＋3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B．若AC∶CB＝1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为 ．
10.已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小： _（填“>”，“<”或“=”）
11.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元．为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
能力拓展
1.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P,抛物线L经过OPA三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.
（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出O、P、A三点坐标；求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
2.如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．21cnjy.com
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标；21·世纪*教育网
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG．当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M．DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
知识梳理
1.y=ax2+bx+c，全体实数．
2.加，减，自变量；加，减，函数值．
3. (1)．减小；增大；
(2 )．增大；减小；
4.；；
5.1）上，小，大；下，小，大．开口的大小和方向
2）左，右；右，左；左同右异
3） 正，0，负
6. 两点，只有一个交点， 没有交点.
基础过关
1.B
2.D
3.A
4.A
5.C
6.A
7.B
8.B
9.．
10.＞
11.解：（1）根据题意，得
y＝(6－x)(200＋20x)＝－20x2－80x＋1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝－20x2－80x＋1200；
（2）令y＝960，得－20x2－80x＋1200＝960，
解得x1＝2，x2＝－6（舍去），
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
能力拓展
1. 解：
（1） 建立如图所示的坐标系，∵四边形OABC是正方形，点P是对角线的交点，∴O（﹣2,0），A（2,0），P（0,2）；
（注意：由于本题要求建立适当的坐标系，所以此答案不是唯一的.）
∵抛物线的顶点在y轴上
∴设抛物线的表达式为y=ax2+b（a≠0）
把A（2,0），P（0,2）代入y=ax2+b（a≠0）中，
得0=4a+2
∴a= ∴表达式为y=x2+2.
（注意：由于本题要求建立适当的坐标系，所以此答案不是唯一的.）
(2) ∵E点在正方形内的抛物线上，
∴设E点的坐标为（x，x2+2），且x2+2>0，
过E点做EN⊥OA，交OA于点N，
过E点做EM⊥OC,交OC于点M，
∴ME+EN=x+（x2+2）
=x2+x+2
∵﹣2≤x≤2
∴ 当x==1时， (ME+EN)最大值=×12 +1+2=
∵S△OAE+S△OCE
=×OC×ME+×OA×EN
∵OC=OA=4
∴S△OAE+S△OCE
＝×4×(ME+EN)
＝×4×
＝5.
∴△OAE与△OCE面积之和的最大值为5.
2.解：（1）∵点B与点A(－1，2)关于y轴对称，
∴点B的坐标为(1，2)．
∵抛物线经过点A和点B，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的顶点为，
∴可设抛物线表达式为，
将点(1，2)代入得2＝a＋，∴a＝－，
∴抛物线的函数关系表达式为y＝－x2＋；
（2）令y＝－x2＋＝0，解得x1＝3，x2＝－3．
∴点C的坐标为(3，0)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋m（k≠0），则
，解得，
∴直线AC的表达式为y＝－x＋．
设点F的坐标为，
如解图①，要四边形OEFG是正方形，则点F只能在第一象限，且f＝－ f＋，
解得f＝1，则点F的坐标为(1，1)；（6分）
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图① 图②
（3）如解图②，∵平移距离为t（0≤ t ≤2），
∴点E的坐标为(1＋t，0)，点D的坐标为(t，0)，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
∴．
要使△DMN是等腰三角形，
则有（i）DM＝MN，即，解得t1＝1，t2＝3（舍）；
（ii）DM＝DN，即，解得t＝；
(iii)DN＝MN，即，解得t1＝3－，t2＝3＋（舍）．
综上，当t＝1或或3－时，△DMN为等腰三角形．
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