2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金20题之大题好拿分【基础版】
一、解答题
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
（2）若正方体的棱长为1，求
2．设复数（， ， 是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
⑴求复数；
(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
4．某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：
（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出和的值；
（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？
5．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.
（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；
（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.
6．已知两圆，的圆心分别为c1，c2，，P为一个动点，且.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得C1C＝C1D?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
7．已知复数，（其中为虚数单位）
（1）求复数；
（2）若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围。
8．（本小题满分14分）已知，.
（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
9．已知一个圆经过直线l：与圆C：的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．
10．如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．
（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？
11．如图，表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．
（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；
（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；
（4）当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）
12．设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对任意恒成立．
（Ⅰ）如果p是真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．
13．已知函数
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.
（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）设各项为正的数列满足：求证：
14．已知函数的图像在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)设是[)上的增函数, 求实数的最大值.
15．已知复数，其中，，为虚数单位，且是方程的一个根．
（1）求与的值；
（2）若（为实数），求满足的点表示的图形的面积．
16．已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数单调增区间；
(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
17．如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积．
18．如图，在四棱锥中，⊥平面，为的中点，为 的中点，底面是菱形，对角线，交于点．
求证：（1）平面平面；
（2）平面⊥平面．
19．（本题满分16分）已知直线：
（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.
（2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
20．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线。
（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程。
一、解答题
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
（2）若正方体的棱长为1，求
【答案】（1）见解析；（2）．
∴。
即。21世纪教育网
2．设复数（， ， 是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
⑴求复数；
(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
⑴设，由得： .①
又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.②.
由①②联立方程组,解得, 或， ，
，∴， .
∴.
⑵由,可得,
为纯虚数，∴，21世纪教育网
解得.
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
【答案】（1）；（2）．
考点：椭圆的标准方程，椭圆的定义，余弦定理，三角形面积．
4．某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：
（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出和的值；
（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？
【答案】（1）（2）150
考点：频率分布表及频率分布直方图
5．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.
（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；
（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.
【答案】（1）（2）
（1）由题意可设直线PQ的方程为，
即
因为PQ与圆A相切，21世纪教育网
所以，解得，
故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.
答：（1）当点P距O处2百米时，OQ的长为百米；（2）当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用21世纪教育网
6．已知两圆，的圆心分别为c1，c2，，P为一个动点，且.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得C1C＝C1D?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.
（2）当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，此时直线l不存在.
故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为
由得 ①
依题意，有，解得21世纪教育网
当时，设交点C(x1，y1)，D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），则，所以.
要使C1C＝C1D必须C1N⊥l，即，所以，
即－1＝0，矛盾. 21世纪教育网
所以不存在直线l，使得C1C＝C1D.
综上所述，不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.
考点：直线与圆锥曲线的关系；圆与圆的位置关系及其判定
7．已知复数，（其中为虚数单位）
（1）求复数；
（2）若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）.
所对应的点在第四象限
实数的取值范围是
考点：复数的概念和几何意义；复数的四则运算. 21世纪教育网
8．（本小题满分14分）已知，.
（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
考点：1.复合命题；2.充分条件、必要条件.
9．已知一个圆经过直线l：与圆C：的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．
【答案】
考点：圆方程
10．如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．
（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题解析：（1）连接交于，连接，因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，，从而OF//C1E，OF面ADF，平面，所以平面；
（2）当BM=1时，平面平面．
在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC，由于AB=AC，是中点，所以，又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1， 而CM平面B1BCC1，于是ADCM，因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所CMDF，
DF与AD相交，所以CM平面，CM平面CAM，所以平面平面，∴当BM=1时，平面平面．21世纪教育网
考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、面面垂直的性质.
11．如图，表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．
（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；
（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；
（4）当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）
【答案】（1）y=x（2）y=（3）x=4（4）x＞4
考点：函数的运用
点评：主要是考查了待定系数法求解解析式，以及运用函数与不等式来求解范围，属于基础题。
12．设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对任意恒成立．
（Ⅰ）如果p是真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）实数的取值范围是．（Ⅱ）实数的取值范围是．
考点：复合命题与简单命题真假的关系.
13．已知函数
（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.
（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）设各项为正的数列满足：求证：
【答案】（1） ； （2） ； （3）
【解析】
试题分析：（I）依题意，对任意的恒成立，即在x1恒成立．则a.
而0，所以，在是减函数，最大值为1，所以，，实数的最小值。
（II）因为，且在上恰有两个不相等的实数根，
即在上恰有两个不相等的实数根，
设g（x）=，则g'（x）=
列表：
X
(0, )
(,2)
2
(2,4)
+
0
-
0
+
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以，g（x）极大值=g（）=-ln2-b，g（x）极大值=g（2）=ln2-b-2，，g（4）=2ln2-b-1
因为，方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则，解得．
14．已知函数的图像在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)设是[)上的增函数, 求实数的最大值.
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ）
15．已知复数，其中，，为虚数单位，且是方程的一个根．
（1）求与的值；
（2）若（为实数），求满足的点表示的图形的面积．
【答案】（1）=，a=（2）
【解析】
试题分析：解：（1）由方程x+2x+2=0得x=-1±i 2分
z=-1+I 4分
又z=(a-4)+2(+1)i
6分
a（0，+），
=，a= 8分
（2） 10分
，表示以为圆心，为半径的圆， 12分
面积为 14分
考点：复数的概念和几何意义的运用
点评：解决的关键是利用复数的概念和相等得到求解，同时根据两点的距离公式来得到轨迹方程进而求解面积，属于中档题。
16．已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数单调增区间；
(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) 单调增区间为 (3)
（3）因为存在，使得成立，
而当时， ，
所以只要即可．
又因为， ， 的变化情况如下表所示：
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以当时， 的最小值，
的最大值为和中的最大值．
因为，
令 ，因为，
17．如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1） ……2分
……4分
所以该几何体的体积为． ……6分
（2）设为四棱锥的高，
为的中点，为的中点，
，，，
所以， ……10分
所以该几何体的表面积为
……14分
考点：本小题主要考查空间组合体的体积和表面积计算.
点评：要求空间组合体的体积和表面积，只要分别求出各个简单几何体的体积和表面积即可，要仔细计算.
18．如图，在四棱锥中，⊥平面，为的中点，为 的中点，底面是菱形，对角线，交于点．
求证：（1）平面平面；
（2）平面⊥平面．
【答案】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，平面，即得证
（2）先利用线面垂直的判定定理证明⊥平面，即得证
因为底面是菱形，所以，又
所以⊥平面 ……12分
又平面，所以平面⊥平面． ……14分
考点：本小题主要考查线面平行和线面垂直的判定.
点评：要解决此类问题，要充分发挥空间想象能力，紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，缺一不可.
19．（本题满分16分）已知直线：
（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.
（2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【答案】（1）直线方程整理得：所以直线恒过定点
（2） (3)
20．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线。
（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程。
【答案】（1）。（2）。
