2017~2018学年度上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分【提升版】
一、填空题
1．已知椭圆的离心率为, 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且,则直线的方程为_______.
2．已知椭圆的右顶点为, 点,过椭圆上任意一点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为_________.
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为_____．
5．在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是_____．
6．已知线段的长为2，动点满足（为常数， ），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．
7．已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，
则直线被圆截得的弦长最大值是__________．
8．（文科选做）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。
（理科选做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
9．若函数在上有最大值，则实数的取值范围是______________
10．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆 相交于两点，且为正三角形，则实数的值是 .
12．若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.
13．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为 ．
14．直线与圆相交于、两点，若,则_________．（其中为坐标原点）
15．已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.
16．已知函数在区间取得最小值4，则 ．
17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， 若，则的大小关系为___________.（用“<”连接）
18．有下列命题：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；
④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；
其中是真命题的有： ．（把你认为正确命题的序号都填上）
19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是 ．
20．设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
21．已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为 ．
22．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
23．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，过A，B作直线的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记， 若直线l的斜率≥,则的取值范围为 ．
24．．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为 ．
25．设函数，，不等式对恒成立，则的取值集合是 ．
26．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
28．已知函数，若对任意实数，关于的方程最多有两个不同的实数解，则实数的取值范围是___________________________________
29．已知A(-1,0),B(2,0),直线l:x+2y+a=0上存在点M,使得MA2+2MB2=10,则实数a的取值范围为_________
30．椭圆左、右焦点分别为若椭圆上存在点,使得为椭圆的离心率,则椭圆的离心率的取值范围为_________.
一、填空题
1．已知椭圆的离心率为, 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且,则直线的方程为_______.
【答案】
答案：
2．已知椭圆的右顶点为, 点,过椭圆上任意一点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为_________.
【答案】
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】设右焦点F（c，0），21世纪教育网
将直线方程 代入椭圆方程可得 ，
可得
由 可得 ，
即有
化简为 ，
由 ，即有，
由21世纪教育网
故答案为 ．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为_____．
【答案】
5．在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是_____．
【答案】
【解析】如图建立坐标系，如图 的外接圆满足
∵若 取最大值，
在同一直线上，
设点坐标为 21世纪教育网
解得 的外接圆的圆心
故答案为
6．已知线段的长为2，动点满足（为常数， ），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．
【答案】
7．已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，
则直线被圆截得的弦长最大值是__________．
【答案】
8．（文科选做）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。
（理科选做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
【答案】
【解析】（文科选做）如下图所示：
取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，21世纪教育网
在Rt△A1B1M中， ，
同理在Rt△A1B1N中，可求得，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，
又.
所以线段A1P长度的取值范围是．答案： 。
点睛：解题的关键是作出辅助线，即分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，证平面A1MN∥平面AEF，得到点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得，本题体现了立体几何中“先找后证再计算”的解题思路。
（理科选做）
建立如图所示的空间直角坐标系。设正方体的棱长为2，则
。21世纪教育网
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则。
又平面ABCD的发向量为。
∴。21世纪教育网
故所求锐二面角的余弦值为。答案： 。
9．若函数在上有最大值，则实数的取值范围是______________
【答案】；
【解析】，令得或， 当或时， ，当时， ， 所以当时取得极大值，当时取得极小值， 令，得，要使在区间上有最大值，只需，解得，所以实数的取值范围是，故答案为.
10．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是 ．
【答案】
作函数的图象与y=-kx-1的图象如下，
易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C（x，xlnx-2x），y′=lnx-1，
故，解得，x=1；故kAC=-1；设直线AB与相切于点B，
y′=2x+，故，解得，x=-1；故；故-1＜-k＜-，故＜k＜1；
考点：函数的性质的判断与应用21世纪教育网
11．在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆 相交于两点，且为正三角形，则实数的值是 .
【答案】0
考点：直线与圆相交问题
12．若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.
【答案】
【解析】
考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程
13．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为 ．
【答案】3x﹣2y﹣7=0
14．直线与圆相交于、两点，若,则_________．（其中为坐标原点）
【答案】
【解析】
试题分析：由可知圆心到直线的距离等于1，
考点：直线与圆相交问题21世纪教育网
15．已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
令
，又
.21世纪教育网
16．已知函数在区间取得最小值4，则 ．
【答案】
值,从而写出符合题设条件的参数的值.
17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， 若，则的大小关系为___________.（用“<”连接）
【答案】
18．有下列命题：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；
④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；
其中是真命题的有： ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
试题分析：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为②2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）故②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”故是真命题．④将已知转化为命题间的相互推出关系；利用推出的传递性及充要条件的定义判断出各个命题的真假．21世纪教育网
解：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为
②∵2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）
∴“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件
③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：“若xy≠0，则x、y都不为0”
故是真命题．
④∵p是q的充分条件
∴p?q
∵r是q的必要条件
∴q?r
∵r是s的充要条件
∴r?s
∴p?s
故s是p的必要条件
答案为：①③④
考点：圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用．
19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是 ．
【答案】（0，4）∪（6，+∞）
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，
∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．
故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．21世纪教育网
考点：直线与圆的位置关系．
20．设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
21．已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为 ．
【答案】
考点：抛物线的性质，直线与圆的位置关系．
22．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率
考点：椭圆离心率
23．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，过A，B作直线的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记， 若直线l的斜率≥,则的取值范围为 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据已知条件求出椭圆C的方程，再由直线l过椭圆C的右焦点，设出直线l的方程，联系椭圆C和直线l的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围．
考点：(1)直线与圆锥曲线的综合问题；(2)椭圆的应用．
24．．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为 ．
【答案】m＞4或m=2 .
考点：（1）圆的方程；（2）数形结合思想.
25．设函数，，不等式对恒成立，则的取值集合是 ．
【答案】
【解析】试题分析：法一：因为，且，，要使不等式对恒成立，只须满足
当时，对时，恒有，所以在单调递减，所以，，依题意此时需要满足条件
综上可知的取值的集合为.
法二：因为不等式对恒成立，所以必有即，又因为
此时由可知，当时，，所以函数在上单调递增，所以，
要使不等式对恒成立，必须满足即即
综上可知的取值的集合为.
考点：1.分类讨论的思想；2.函数的单调性与导数；3.不等式的恒成立问题.
26．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
考点：1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
设,
即.
28．已知函数，若对任意实数，关于的方程最多有两个不同的实数解，则实数的取值范围是___________________________________
【答案】
【解析】即对任意实数，方程最多有两个不同的实数解的否定为存在，方程最少有三个不同的实数解，令，即，因为为连续函数，要使得至少有三解，即函数图象与轴由三个交点，需满足由数形结合可得如下：(1)
即存在满足，可得即，得或；
点睛：本题主要考查了分段函数，二次函数中方程与根的关系，考查了数形结合与含有量词命题的否定的应用，计算量较大，具有一定难度；该题通过等价转化，将题意转化为存在，方程最少有三个不同的实数解，将函数用分段函数进行表示，通过分析可得共有两种情形，分别用数形结合思想进行考查.
29．已知A(-1,0),B(2,0),直线l:x+2y+a=0上存在点M,使得MA2+2MB2=10,则实数a的取值范围为_________
【答案】
30．椭圆左、右焦点分别为若椭圆上存在点,使得为椭圆的离心率,则椭圆的离心率的取值范围为_________.
【答案】
【解析】由题意得，解得，
∵，即，
∴，
整理得，解得或（舍去），
又，
